第八章欧氏空间优秀PPT.ppt

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1、第八章欧氏空间第一页，本课件共有61页8.1 向量的内积一、内容分布一、内容分布 8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角8.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质 二、教学目的二、教学目的：1理解以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离2掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量与的内积3掌握 三、重点难点三、重点难点：1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念;2.不等式 的灵活运用.一些不等式第二页，本课件共有61页8.1.1向量的内积、欧氏空间的定义

2、 1)2)3)4)当时,定义定义1 设设V是实数域是实数域R上一个向量空间上一个向量空间.如果对于如果对于V中任意一对向量中任意一对向量 有一个有一个确定确定的记作的记作 的实数与它们对应，并且下列条件被满足：的实数与它们对应，并且下列条件被满足：这里是V的任意向量，a是任意实数，那么这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.叫做向量与的内积，而V叫做对于第三页，本课件共有61页例例1 在规定 里,对于任意两个向量容易验证,关于内积的公理被满足,因而 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间.例例2 在规定 里,对于任意向量不难验证,也作成一个欧氏空间.第四页，本课件共有61页例例3 3 令C

3、a,b是定义在a,b上一切连续实函数我们规定所成的向量空间,根据定积分的基本性质可知,内积的公理1)-4)都被满足,因而Ca,b作成一个欧氏空间.例例4 4 令H是一切平方和收敛的实数列所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标量与向量的乘法:第五页，本课件共有61页设 规定 向量 的内积由公式给出，那么H是一个欧氏空间.练习练习1 为向量空间中任意两向量,证明:对作成欧氏空间的充分必要条件是m 0,n 0.第六页，本课件共有61页8.1.2 向量的长度、两非零向量的夹角定定义义2 设是欧氏空间的一个向量，非负实数的算术根叫做的长度，向量的长度用符号表示：定理定理8.1.1 在一个欧氏空间里,

4、对于任意向量 有不等式(6)当且仅当与线性相关时，上式才取等号.第七页，本课件共有61页定义定义3 3 设与是欧氏空间的两个非零向量，与的夹角由以下公式定义：例例5 5 令 是例1 中的欧氏空间.中向量 的长度是由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量 和任意实数a,有 第八页，本课件共有61页注：一个实数注：一个实数a a与一个向量与一个向量的乘积的长度的乘积的长度 等于等于a a的绝对值与的绝对值与的长度的乘积的长度的乘积.例例 6 6 考虑例 1 的欧式空间 由不等式(6)推出,对于任意实数 有不等式(7)(7)式称为柯西(Cauchy)不等式.第九页，本课件共有61页例例7 7 考虑例3的

5、欧氏空间Ca,b，由不等式（6）推出，对于定义在a,b上的任意连续函数 有不等式(8)(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式.（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被统一 起来.因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不等式.第十页，本课件共有61页例例8 8 设 为欧氏空间V 中任意两个(1)当且仅当 的夹角为0;非零向量.证明:(2)当且仅当 的夹角为;第十一页，本课件共有61页8.1.3 向量的正交 定义定义4 4 欧氏空间的两个向量与说是正交的,如果定理定理8.1.28.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量中每一个正交，那么与 的任意一个线性组合也正交.与第十二页，本课件共有61页思考题

6、思考题1 1：设设 是 n 维欧氏空间V 中证明:两个不同的向量,且 思考题思考题2 2：在欧氏空间在欧氏空间 中,设 两两正交,且 的长度 求 A 的行列式 的值.第十三页，本课件共有61页8.2 正交基第十四页，本课件共有61页一、内容分布一、内容分布 8.2.1正交组的定义、性质正交组的定义、性质 8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性标准正交基的定义、性质及存在性8.2.3子空间的正交补子空间的正交补 8.2.4正交矩阵的概念正交矩阵的概念 8.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别维欧氏空间同构的概念及判别 二、教学目的：二、教学目的：1掌握正交向量组、掌握正交向量组、n维欧氏空间的

7、标准正交基等概念及基本性质维欧氏空间的标准正交基等概念及基本性质 2熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一个标准正交向量熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一个标准正交向量组组3掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及基本性质，掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及基本性质，并会求某些子空间的正交补并会求某些子空间的正交补4掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系5掌握掌握n维欧氏空间同构的概念及基本理论维欧氏空间同构的概念及基本理论三、重点难点：正交向量组、三、重点难点：正交向量组、n维欧氏空间

8、的标准正交基等概念维欧氏空间的标准正交基等概念;子空间的正交子空间的正交补的概念及基本性质补的概念及基本性质;施密特正交化方法施密特正交化方法第十五页，本课件共有61页8.2.1正交组的定义、性质 定义定义1 1 欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向量,这个正交组就叫做一个标准正交组.1 1正交组的定义正交组的定义例例1 1 向量构成 一个标准正交组，因为 第十六页，本课件共有61页2正交组的性质正交组的性质定理定理8.2.18.2.1 设 一个正交组，那么 线性无关.是欧氏空间的证：证：设有 使得 因为当ij 时 ，所以 但 ，所以 即

9、线性无关.第十七页，本课件共有61页8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 1 1标准正交基的定义标准正交基的定义 设V 是一个n 维欧氏空间，如果V 中有n 个向量构成一个正交组，那么由定理8.2.1，这个n 个向量构成V 的一个基，叫做V 的一个正交基。如果V 的一个正交基 还是一个规范正交级，那么就称这个基是一个规范的正交基。第十八页，本课件共有61页 例例2 2 欧氏空间 的基是 i=1,2,n,的一个标准正交基.如果 正交基。令是V的任意一个向量那么是可是是n 维欧氏空间V的一个标准以唯一写成 是关于 的坐标。由于是规范正交基，我们有第十九页，本课件共有61页（3）这就是说，向量关

10、于一个规范正交基的第i i个坐标等于与第i i个基向量的内积；其次，令那么 （4）由此得 （5）（6）第二十页，本课件共有61页2 2标准正交基的性质标准正交基的性质设 是的一个基，但不一定是正交基 问题就解决了,因为将 再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交借助几何直观，为了求出 正交基。从这个基出发，只要能得出 的一个基。先取我们考虑线性组合 从这里决定实数a，使 正交，由 第二十一页，本课件共有61页及及 得得 取取 那么 又因为又因为 线性无关，所以对于任意实数 a因而这就得到 的一个正交基 第二十二页，本课件共有61页3 3标准正交基的存在性标准正交基的存在性 定理定理8.2.28

11、.2.2（施密特正交化方法（施密特正交化方法)设设 是欧氏空间V的一组线性无关的向量,那么可以求使得 可以由 线性表示，k=1,2,m.出V 的一个正交组 证证 先取 那么 是 的线性组合，且 其次取 第二十三页，本课件共有61页又由 所以所以 正交。正交。假设假设1 1 k m k m，而满足定理要求的，而满足定理要求的 都已作出.那么那么是是 的线性组合，并且因为 线性无关，所以 第二十四页，本课件共有61页取所以 是 的线性组合。由于假定了 i=1,2,k-1，所以把这些线性组合代入上式，得 的线性组合，线性无关，由 得 第二十五页，本课件共有61页又因为假定了 两两正交。这样，这样，也

12、满足定理的要求。所以定理得证。第二十六页，本课件共有61页定理定理8.2.38.2.3 任意任意n（n 0）维欧氏空间一定有正交基，因而有标准正交基.例例4 4 在欧氏空间 中对基 施行正交化方法得出 的一个标准正交基.解解:第一步，取第二十七页，本课件共有61页第二步，先取然后令第二十八页，本课件共有61页第三步，取 再令于是 就是 的一个规范正交基。第二十九页，本课件共有61页练习练习1 1 设 试把 的基的一个基,并将它标准正交化.扩充成第三十页，本课件共有61页8.2.3 8.2.3 子空间的正交补子空间的正交补 1.1.向量与一个非空子集正交向量与一个非空子集正交 定理定理8.2.4

13、8.2.4 令W是欧氏空间V的一个有限维子空间，那么因而V的每一个向量可以唯一写成这里(7)(7)第三十一页，本课件共有61页设令证明证明 当W=0W=0时，定理显然成立，这时 设由于 W的维数有限，因而可以取到W的一个规范正交基第三十二页，本课件共有61页那么而由于是W的基，所以与W正交，这就证明了即剩下来只要证明这个和是直和。这是那么从而定理被证明。显然的，因为如果第三十三页，本课件共有61页证明证明 对于任意对于任意 所以定理定理8.2.58.2.5 设W 是欧氏空间V 的一个有限维子空间，是V 的任意向量，是在W 上的正射影，那么对于W 中任意向量，都有 第三十四页，本课件共有61页于

14、是如果 那么 所以 即我们也把向量我们也把向量在子空间在子空间W W上的正射影上的正射影叫做叫做W W到到的的最佳逼近。最佳逼近。第三十五页，本课件共有61页8.2.4 8.2.4 正交矩阵的概念正交矩阵的概念 定义定义2 一个n 阶实矩阵U 叫做一个正交矩阵，如果 定理定理8.2.6 n 维欧氏空间一个标准正交基到另一标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵.例例6 设 是欧氏空间V的标准正交基，且 证明证明：当T是正交矩阵时,是标准正交基.第三十六页，本课件共有61页练习练习2 设 标准正交基,证明:也是V的一个标准正交基.是三维欧氏空间V的第三十七页，本课件共有61页8.2.5 8.2.5 n

15、 n 维欧氏空间同构的概念及判别维欧氏空间同构的概念及判别1n维欧氏空间同构的定义维欧氏空间同构的定义定义定义3 欧氏空间V与 说是同构的，如果(i)作为实数域上向量空间，存在作为实数域上向量空间，存在V 到 的一个同构映射(ii)对于任意对于任意，都有 第三十八页，本课件共有61页2n维欧氏空间同构的概念及判别维欧氏空间同构的概念及判别定理定理8.2.7 两个有限维欧氏空间同构的充分且必要条件是它们的维数相等.推论推论8.2.8 任意n维欧氏空间都与 同构.思考题思考题 求求的解空间W的一个标准正交基.的一个标准正交基.并求其正交补第三十九页，本课件共有61页8.3 正交变换一、内容分布一、

16、内容分布8.3.2 正交变换的等价条件正交变换的等价条件8.3.1 正交变换的定义正交变换的定义1掌握并会用正交变换的概念及几个等价条件 3掌握并会用正交矩阵的某些性质 二、教学目的：二、教学目的：2掌握的正交变换的全部类型三、重点难点：三、重点难点：正交变换的概念及几个等价条件正交变换的概念及几个等价条件 第四十页，本课件共有61页8.3.1 8.3.1 正交变换的定义正交变换的定义定义定义1 欧氏空间V的一个线性变换叫做一个正交变换，如果对于任意 都有例例1 在 里,把每一向量旋转一个角的的一个正交变换.线性变换是 例例2 令H是空间 里过原点的一个平面.对于每一向量，令对于H的镜面反射

17、与它对应.是 的一个正交变换.第四十一页，本课件共有61页例例3 3 欧氏空间欧氏空间V V的一个线性变换是正交变换的充要的一个线性变换是正交变换的充要条件是使任意两个向量的距离保持不变条件是使任意两个向量的距离保持不变,即对一切即对一切,都有都有.第四十二页，本课件共有61页8.3.2 8.3.2 正交变换的等价条件正交变换的等价条件 定理定理8.3.18.3.1 欧氏空间V 的一个线性变换是正交变换的充分且必要条件是：对于V 中任意向量 ，.证明证明 条件的充分性是明显的.因为（1）中 取=，就得到 ，从而 .反过来，设是一个正交变换，那么对于,V，我们有 第四十三页，本课件共有61页然而

18、由于比较上面两个等式就得到：第四十四页，本课件共有61页定理定理8.3.28.3.2 设设V V 是一个是一个n n维欧氏空间，维欧氏空间，是是V V 的一个的一个线性变换，如果线性变换，如果是正交变换，那么是正交变换，那么把把V V 的任意一的任意一个标准正交基仍旧变成个标准正交基仍旧变成V V 的一个标准正交基；反过的一个标准正交基；反过来，如果来，如果把把V V 的某一标准正交基仍旧变成的某一标准正交基仍旧变成V V的一个的一个标准正交基，那么标准正交基，那么是是V V 的一个正交变换的一个正交变换.定定理理8 8.3 3.3 3 n n 维维欧欧氏氏空空间间V V的的一一个个正正交交变

19、变换换关关于于V V的的任任意意标标准准正正交交基基的的矩矩阵阵是是一一个个正正交交矩矩阵阵；反反过过来来，如如果果V V的的一一个个线线性性变变换换关关于于某某一一标标准准正正交交基基的的矩矩阵阵是是正正交交矩矩阵阵，那那么么是是一一个个正正交交变变换换.第四十五页，本课件共有61页例例5 5 在欧氏空间 中,规定线性变换为:证明:是正交变换.第四十六页，本课件共有61页思考题思考题 设 是欧氏空间V的一个标准正交基,试求正交变换,使适合 练习练习 设V是一个欧氏空间,是一个非零向量,对于 ,规定V的一个变换 证明:是V的一个正交变换,且 是单位变换.第四十七页，本课件共有61页8.4 对称

20、变换和对称矩阵 第四十八页，本课件共有61页一、内容分布一、内容分布 8.4.1 对称变换的定义对称变换的定义 8.4.2 对称变换和对称矩阵之间的关系对称变换和对称矩阵之间的关系 8.4.3 对称变换的性质对称变换的性质 二、教学目的：二、教学目的：1掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解题关系解题 2掌握对称变换的特征根、特征向量的性质掌握对称变换的特征根、特征向量的性质 3对一个实对称矩阵对一个实对称矩阵，能熟练地找到正交矩阵，能熟练地找到正交矩阵，使，使 为对角形为对角形三、重点难点：三、重点难点：1.对称变换和对

21、称矩阵之间的关系对称变换和对称矩阵之间的关系;对称变换的特征根、特征向对称变换的特征根、特征向量的性质量的性质;2.对实对称矩阵对实对称矩阵，能熟练地找到正交矩阵，能熟练地找到正交矩阵，使，使 为对角形为对角形第四十九页，本课件共有61页8.4.1 8.4.1 对称变换的定义对称变换的定义 定义定义1 设是欧氏空间V的一个线性变换，如果对于V中的任意向量 ，等式成立，那么就称是一个对称变换.例例1 以下 的线性变换中,指出哪些是对称变换?第五十页，本课件共有61页8.4.2 8.4.2 对称变换和对称矩阵之间的关系对称变换和对称矩阵之间的关系定理定理8.4.28.4.2 设是n维欧氏空间V的一

22、个对称变换，如果关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那么是一个对称变换.证证 设关于V的一个规范正交基 的矩阵 是对称的，令 是V的任意向量。那么第五十一页，本课件共有61页同样的计算可得 因为 所以 即是一个对称变换。第五十二页，本课件共有61页8.4.3 8.4.3 对称变换的性质对称变换的性质 定理定理8.4.38.4.3 实对称矩阵的特征根都是实数.证证 设 是一个n 阶实对称矩阵.令是A 在复数域内一个特征根。于是存在不全为零的复数 使得（2）第五十三页，本课件共有61页令的共轭复数。用矩阵 左乘（2）的两边得即:（3）等式（3）两端取轭复数，注意 是实数。得（4）第五十四页，本课件

23、共有61页又因为 且等式（3）与等式（4）左端相等，因此 而 不全为零，所以 是一个正实数，所以 ，是实数。第五十五页，本课件共有61页定理定理8.4.4 n 维欧氏空间的一个对称变换的属于不同特征根的特征向量彼此正交.证证 设是n维欧氏空间的一个对称变换，是的本征值，且 。令和分别是属于和的本征向量：（）=，（）=我们有 =因为 ,所以必须=0.第五十六页，本课件共有61页定理定理8.4.5 设是n维欧氏空间V的一个对称变换，那么存在V的一个标准正交基，使得关于这个基的矩阵是对角形式.定理定理8.4.6 设A是一个n阶实对称矩阵，那么存在一个n阶正交矩阵U，使得 是对角形.第五十七页，本课件共有61页例例2 2 设找出求一个正交矩阵U 使 是对角形矩阵。第一步，先求A的全部特征根.我们有 所以A的特征根是2，2，8.第五十八页，本课件共有61页第二步，先对于特征根2，求出齐次线性方程组的一个基础解系 再 把正交化，得 第五十九页，本课件共有61页对于特征根8,求出属于它的一个单位特征向量第三步，以 为列，作一个矩阵第六十页，本课件共有61页那么U是正交矩阵，并且 第六十一页，本课件共有61页