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1、第八章欧氏空间和酉空第八章欧氏空间和酉空间间宁波工程学院理学院高等代数课程组制作本讲稿第一页，共七十九页在几何学中（编者按在几何学中（编者按在几何学中（编者按在几何学中（编者按:在数学中），没有专门为国王设在数学中），没有专门为国王设在数学中），没有专门为国王设在数学中），没有专门为国王设置的捷径。置的捷径。置的捷径。置的捷径。-欧几里德欧几里德(Euclid,(Euclid,约前约前325-325-约前约前265)265)本讲稿第二页，共七十九页8.1 8.1 8.1 8.1 向量的内积向量的内积向量的内积向量的内积一、内容分布一、内容分布一、内容分布一、内容分布 8.1.18.1.1向量的
2、内积、欧氏空间的定义向量的内积、欧氏空间的定义8.1.28.1.2向量的长度、两非零向量的夹角向量的长度、两非零向量的夹角8.1.38.1.3两向量正交、正交向量组的定义、性质两向量正交、正交向量组的定义、性质 二、教学目的二、教学目的二、教学目的二、教学目的：1 1准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的长度、准确理解并掌握以下概念及其基本性质：向量的内积、欧氏空间、向量的长度、单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离单位向量、两非零向量的夹角、两向量正交、两向量的距离2 2掌握常见的几种欧氏空间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量掌握常见的几种欧氏空
3、间；会用向量的内积及欧氏空间的定义判断向量 与与 的内积的内积，以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间以及向量空间关于这个内积构成欧氏空间3 3掌握掌握 及其它不等式，并会用它来证明另 三、重点难点三、重点难点：1.准确理解并掌握向量的内积、欧氏空间及两向量正交的概念;2.不等式 的灵活运用.一些不等式本讲稿第三页，共七十九页8.1.18.1.1向量的内积、欧氏空间的定义向量的内积、欧氏空间的定义 1)2)3)4)当时,定义定义1 设设V是实数域是实数域R上一个向量空间上一个向量空间.如果对于如果对于V中任意一对向量中任意一对向量 有一个有一个确定确定的记作的记作 的实数与它们对应，并且下列条件
4、被满足：的实数与它们对应，并且下列条件被满足：这里是V的任意向量，a是任意实数，那么这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.叫做向量与的内积，而V叫做对于本讲稿第四页，共七十九页例例1 在规定 里,对于任意两个向量容易验证,关于内积的公理被满足,因而 对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间.例例2 在规定 里,对于任意向量不难验证,也作成一个欧氏空间.本讲稿第五页，共七十九页例例3 3 令Ca,b是定义在a,b上一切连续实函数我们规定所成的向量空间,根据定积分的基本性质可知,内积的公理1)-4)都被满足,因而Ca,b作成一个欧氏空间.例例4 4 令H是一切平方和收敛的实数列所成的集合.在H
5、中用自然的方式定义加法和标量与向量的乘法:本讲稿第六页，共七十九页设 规定 向量 的内积由公式给出，那么H是一个欧氏空间.练习练习1 为向量空间中任意两向量,证明:对作成欧氏空间的充分必要条件是m 0,n 0.本讲稿第七页，共七十九页8.1.2 8.1.2 向量的长度、两非零向量的夹角向量的长度、两非零向量的夹角定定义义2 设是欧氏空间的一个向量，非负实数的算术根叫做的长度，向量的长度用符号表示：定理定理8.1.1 在一个欧氏空间里,对于任意向量 有不等式(6)当且仅当与线性相关时，上式才取等号.本讲稿第八页，共七十九页定义定义3 3 设与是欧氏空间的两个非零向量，与的夹角由以下公式定义：例例
6、5 5 令 是例1 中的欧氏空间.中向量 的长度是由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量 和任意实数a,有 本讲稿第九页，共七十九页注：一个实数注：一个实数a a与一个向量与一个向量的乘积的长度的乘积的长度 等于等于a a的绝对值与的绝对值与的长度的乘积的长度的乘积.例例 6 6 考虑例 1 的欧式空间 由不等式(6)推出,对于任意实数 有不等式(7)(7)式称为柯西(Cauchy)不等式.本讲稿第十页，共七十九页例例7 7 考虑例3的欧氏空间Ca,b，由不等式（6）推出，对于定义在a,b上的任意连续函数 有不等式(8)(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式.（7）和（8）在欧氏空间的不等式
7、（6）里被统一 起来.因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不等式.本讲稿第十一页，共七十九页例例8 8 设 为欧氏空间V 中任意两个(1)当且仅当 的夹角为0;非零向量.证明:(2)当且仅当 的夹角为;本讲稿第十二页，共七十九页8.1.3 8.1.3 向量的正交向量的正交 定义定义4 4 欧氏空间的两个向量与说是正交的,如果定理定理8.1.28.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量中每一个正交，那么与 的任意一个线性组合也正交.与本讲稿第十三页，共七十九页思考题思考题1 1：设设 是 n 维欧氏空间V 中证明:两个不同的向量,且 思考题思考题2 2：在欧氏空间在欧氏空间 中,设 两两正交,且 的长
8、度 求 A 的行列式 的值.本讲稿第十四页，共七十九页8.2 8.2 正交基正交基一、内容分布一、内容分布一、内容分布一、内容分布 n n8.2.18.2.1正交组的定义、性质正交组的定义、性质正交组的定义、性质正交组的定义、性质 n n8.2.28.2.2标准正交基的定义、性质及存在性标准正交基的定义、性质及存在性标准正交基的定义、性质及存在性标准正交基的定义、性质及存在性n n8.2.38.2.3子空间的正交补子空间的正交补子空间的正交补子空间的正交补 n n8.2.48.2.4正交矩阵的概念正交矩阵的概念正交矩阵的概念正交矩阵的概念 n n8.2.5 8.2.5 n n维欧氏空间同构的概
9、念及判别维欧氏空间同构的概念及判别维欧氏空间同构的概念及判别维欧氏空间同构的概念及判别 二、教学目的：二、教学目的：二、教学目的：二、教学目的：n n1 1准确理解和掌握正交向量组、准确理解和掌握正交向量组、准确理解和掌握正交向量组、准确理解和掌握正交向量组、n n维欧氏空间的标准正交基等概念及基本维欧氏空间的标准正交基等概念及基本维欧氏空间的标准正交基等概念及基本维欧氏空间的标准正交基等概念及基本性质性质性质性质 n n2 2能熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一个标准正交向能熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一个标准正交向能熟练运用施密特正交化方法，由一个线
10、性无关向量组求出一个标准正交向能熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一个标准正交向量组量组量组量组n n3 3能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及基本性质，能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及基本性质，能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及基本性质，能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及基本性质，并会求某些子空间的正交补并会求某些子空间的正交补并会求某些子空间的正交补并会求某些子空间的正交补n n4 4掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系掌握正交矩阵的概念及其与
11、标准正交基的关系掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系n n5 5掌握掌握掌握掌握n n维欧氏空间同构的概念及基本理论维欧氏空间同构的概念及基本理论维欧氏空间同构的概念及基本理论维欧氏空间同构的概念及基本理论三、重点难点：三、重点难点：三、重点难点：三、重点难点：正交向量组、正交向量组、正交向量组、正交向量组、n n维欧氏空间的标准正交基等概念维欧氏空间的标准正交基等概念维欧氏空间的标准正交基等概念维欧氏空间的标准正交基等概念;子空间的正交子空间的正交子空间的正交子空间的正交补的概念及基本性质补的概念及基本性质补的概念及基本性质补的概念及基本性质;施密特正交化方法施密特正交化方法施密特正交化
12、方法施密特正交化方法本讲稿第十五页，共七十九页8.2.18.2.1正交组的定义、性质正交组的定义、性质 定义定义1 1 欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向量,这个正交组就叫做一个标准正交组.1 1正交组的定义正交组的定义例例1 1 向量构成 一个标准正交组，因为 本讲稿第十六页，共七十九页例例2 2 考虑定义在闭区间函数所作成的欧氏空间（参看8.1例3），函数组的一个正交组。(1)1，cosx,sinx,cosnx,sinnx,构成上一切连续本讲稿第十七页，共七十九页事实上，我们有本讲稿第十八页，共七十九页把（1）中每一向量除以它长度，我
13、们就得C0，2的一个标准正交组 本讲稿第十九页，共七十九页2正交组的性质正交组的性质定理定理8.2.18.2.1 设 一个正交组，那么 线性无关.是欧氏空间的证：证：设有 使得 因为当ij 时 ，所以 但 ，所以 即 线性无关.本讲稿第二十页，共七十九页8.2.28.2.2标准正交基的定义、性质及存在性标准正交基的定义、性质及存在性 1 1标准正交基的定义标准正交基的定义 设V 是一个n 维欧氏空间，如果V 中有n 个向量构成一个正交组，那么由定理8.2.1，这个n 个向量构成V 的一个基，叫做V 的一个正交基。如果V 的一个正交基 还是一个规范正交级，那么就称这个基是一个规范的正交基。本讲稿
14、第二十一页，共七十九页 例例2 2 欧氏空间 的基是 i=1,2,n,的一个标准正交基.如果 正交基。令是V的任意一个向量那么是可是是n 维欧氏空间V的一个标准以唯一写成 是关于 的坐标。由于是规范正交基，我们有本讲稿第二十二页，共七十九页（3）这就是说，向量关于一个规范正交基的第i i个坐标等于与第i i个基向量的内积；其次，令那么 （4）由此得 （5）（6）本讲稿第二十三页，共七十九页2 2标准正交基的性质标准正交基的性质设 是的一个基，但不一定是正交基 问题就解决了,因为将 再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交借助几何直观，为了求出 正交基。从这个基出发，只要能得出 的一个基。先取我
15、们考虑线性组合 从这里决定实数a，使 正交，由 本讲稿第二十四页，共七十九页及及 得得 取取 那么 又因为又因为 线性无关，所以对于任意实数 a因而这就得到 的一个正交基 本讲稿第二十五页，共七十九页3 3标准正交基的存在性标准正交基的存在性 定理定理8.2.28.2.2（施密特正交化方法（施密特正交化方法)设设 是欧氏空间V的一组线性无关的向量,那么可以求使得 可以由 线性表示，k=1,2,m.出V 的一个正交组 证证 先取 那么 是 的线性组合，且 其次取 本讲稿第二十六页，共七十九页又由 所以所以 正交。正交。假设假设1 1 k m k m，而满足定理要求的，而满足定理要求的 都已作出.
16、那么那么是是 的线性组合，并且因为 线性无关，所以 本讲稿第二十七页，共七十九页取所以 是 的线性组合。由于假定了 i=1,2,k-1，所以把这些线性组合代入上式，得 的线性组合，线性无关，由 得 本讲稿第二十八页，共七十九页又因为假定了 两两正交。这样，这样，也满足定理的要求。所以定理得证。本讲稿第二十九页，共七十九页定理定理8.2.38.2.3 任意任意n（n 0）维欧氏空间一定有正交基，因而有标准正交基.例例4 4 在欧氏空间 中对基 施行正交化方法得出 的一个标准正交基.解解:第一步，取本讲稿第三十页，共七十九页第二步，先取然后令本讲稿第三十一页，共七十九页第三步，取 再令于是 就是
17、的一个规范正交基。本讲稿第三十二页，共七十九页练习练习1 1 设 试把 的基的一个基,并将它标准正交化.扩充成本讲稿第三十三页，共七十九页8.2.3 8.2.3 子空间的正交补子空间的正交补 1.1.向量与一个非空子集正交向量与一个非空子集正交 定理定理8.2.48.2.4 令W是欧氏空间V的一个有限维子空间，那么因而V的每一个向量可以唯一写成这里(7)(7)本讲稿第三十四页，共七十九页设令证明证明 当W=0W=0时，定理显然成立，这时 设由于 W的维数有限，因而可以取到W的一个规范正交基本讲稿第三十五页，共七十九页那么而由于是W的基，所以与W正交，这就证明了即剩下来只要证明这个和是直和。这是
18、那么从而定理被证明。显然的，因为如果本讲稿第三十六页，共七十九页证明证明 对于任意对于任意 所以定理定理8.2.58.2.5 设W 是欧氏空间V 的一个有限维子空间，是V 的任意向量，是在W 上的正射影，那么对于W 中任意向量，都有 本讲稿第三十七页，共七十九页于是如果 那么 所以 即我们也把向量我们也把向量在子空间在子空间W W上的正射影上的正射影叫做叫做W W到到的的最佳逼近。最佳逼近。本讲稿第三十八页，共七十九页例例5 5 考虑上一切连续实函数所作成的所生成的子空间.由例2 看到,欧氏空间令W是由以下2n+1个函数1,cosx,sinx,cosnx,sinnx是W的一个规范正交基.本讲稿
19、第三十九页，共七十九页W的每一元素都可以写成 (8)的形式.叫做一个n次三角多项式.设我们求一个n次三角多项式 使得 的值最小.用欧氏空间的语言来说就是：求 使得 本讲稿第四十页，共七十九页这正是上面所说的W 对于f(x)的最佳逼近问题.最小.因此,所求的 应该是f(x)在W上的正射影.由定理8.2.4,我们有与等式(8)作比较,我们得到 本讲稿第四十一页，共七十九页从而 k=1,2,n.本讲稿第四十二页，共七十九页注意到cos0 x=1,我们有系数 叫做f(x)的富利叶系数.本讲稿第四十三页，共七十九页8.2.4 8.2.4 正交矩阵的概念正交矩阵的概念 定义定义2 一个n 阶实矩阵U 叫做
20、一个正交矩阵，如果 定理定理8.2.6 n 维欧氏空间一个标准正交基到另一标准正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵.例例6 设 是欧氏空间V的标准正交基，且 证明证明：当T是正交矩阵时,是标准正交基.本讲稿第四十四页，共七十九页练习练习2 设 标准正交基,证明:也是V的一个标准正交基.是三维欧氏空间V的本讲稿第四十五页，共七十九页8.2.5 8.2.5 n n维欧氏空间同构的概念及判别维欧氏空间同构的概念及判别1n维欧氏空间同构的定义维欧氏空间同构的定义定义定义3 欧氏空间V与 说是同构的，如果(i)作为实数域上向量空间，存在作为实数域上向量空间，存在V 到 的一个同构映射(ii)对于任意对于任意，
21、都有 本讲稿第四十六页，共七十九页2n维欧氏空间同构的概念及判别维欧氏空间同构的概念及判别定理定理8.2.7 两个有限维欧氏空间同构的充分且必要条件是它们的维数相等.推论推论8.2.8 任意n维欧氏空间都与 同构.思考题思考题 求求的解空间W的一个标准正交基.的一个标准正交基.并求其正交补本讲稿第四十七页，共七十九页8.3 8.3 正交变换正交变换一、内容分布一、内容分布8.3.2 正交变换的等价条件正交变换的等价条件8.3.1 正交变换的定义正交变换的定义1掌握并会用正交变换的概念及几个等价条件 3掌握并会用正交矩阵的某些性质 二、教学目的：二、教学目的：2掌握的正交变换的全部类型三、重点难
22、点：三、重点难点：正交变换的概念及几个等价条件正交变换的概念及几个等价条件 8.3.3 的正交变换的类型8.3.3 的正交的正交变换变换的的类类型型本讲稿第四十八页，共七十九页8.3.1 8.3.1 正交变换的定义正交变换的定义定义定义1 欧氏空间V的一个线性变换叫做一个正交变换，如果对于任意 都有例例1 在 里,把每一向量旋转一个角的的一个正交变换.线性变换是 例例2 令H是空间 里过原点的一个平面.对于每一向量，令对于H的镜面反射 与它对应.是 的一个正交变换.本讲稿第四十九页，共七十九页例例3 3 欧氏空间欧氏空间V V的一个线性变换是正交变换的充要的一个线性变换是正交变换的充要条件是使
23、任意两个向量的距离保持不变条件是使任意两个向量的距离保持不变,即对一切即对一切,都有都有.本讲稿第五十页，共七十九页8.3.2 8.3.2 正交变换的等价条件正交变换的等价条件 定理定理8.3.18.3.1 欧氏空间V 的一个线性变换是正交变换的充分且必要条件是：对于V 中任意向量 ，.证明证明 条件的充分性是明显的.因为（1）中 取=，就得到 ，从而 .反过来，设是一个正交变换，那么对于,V，我们有 本讲稿第五十一页，共七十九页然而由于比较上面两个等式就得到：本讲稿第五十二页，共七十九页定理定理8.3.28.3.2 设设V V 是一个是一个n n维欧氏空间，维欧氏空间，是是V V 的一个线性
24、的一个线性变换，如果变换，如果是正交变换，那么是正交变换，那么把把V V 的任意一个标的任意一个标准正交基仍旧变成准正交基仍旧变成V V 的一个标准正交基；反过来，如果的一个标准正交基；反过来，如果把把V V 的某一标准正交基仍旧变成的某一标准正交基仍旧变成V V的一个标准正交基，的一个标准正交基，那么那么是是V V 的一个正交变换的一个正交变换.定定理理8 8.3 3.3 3 n n 维维欧欧氏氏空空间间V V的的一一个个正正交交变变换换关关于于V V的的任任意意标标准准正正交交基基的的矩矩阵阵是是一一个个正正交交矩矩阵阵；反反过过来来，如如果果V V的的一一个个线线性性变变换换关关于于某某
25、一一标标准准正正交交基基的的矩矩阵阵是是正正交交矩矩阵阵，那那么么是是一一个个正正交交变变换换.本讲稿第五十三页，共七十九页例例5 5 在欧氏空间 中,规定线性变换为:证明:是正交变换.例例6 6 将 的每一向量旋转一个角的正交变换（参看例1）关于 的任意标准正交基的矩阵是本讲稿第五十四页，共七十九页又令是例2中的正交变换.在平面H 内取两个正交的单位向量 ，再取一个垂直于H 的单位向量 ,那么 是 的一个标准正交基.关于这个基的矩阵是 以上两个矩阵都是正交矩阵.本讲稿第五十五页，共七十九页8.3.38.3.3 的正交变换的类型的正交变换的类型设是 的一个正交变换，关于 的一个规范正交基 的矩
26、阵是那么U 是一个正交矩阵.于是（2 2）由第一个等式，存在一个角，使a=cos，c=sin本讲稿第五十六页，共七十九页由于cos cos =cos()cos()，sin sin=sinsin（）因此可以令a a=cos cos，c=sin c=sin 这里=或 .同理，由（4）的第二个等式，存在一个角使b b=coscos，d d=sinsin将a,b,c,d代入（4）的第三个等式得CosCoscoscos +sin+sinsinsin=0=0或cos(cos(+)=0)=0本讲稿第五十七页，共七十九页最后等式表明，是/2的一个奇数倍.由此得所以或 本讲稿第五十八页，共七十九页 在前一情形中
27、，是将 的每一向量旋转角的旋转；这样，的正交变换或者是一个旋转，或者是关于一条过原点的直线的反射.如果是后一情形，我们可以取这条直线上一个单位向量 和垂直于这条直线的一个单位向量 作为 的一个规范正交基.坐标的向量.这时是直线的反射.在后一情形，将 中以（x,y）为坐标的变量变成以(xcos+ysin,xsinycos)为本讲稿第五十九页，共七十九页而关于基 的矩阵有形状 现在设是 的一个正交变换.的特征多项式是一个实系数三次多项式，因而至少有一个实根r.令 是的属于本征值r 的一个本征向量，并且 是一个单位向量.再添加单位向量 使 是的一个规范正交基，那么关于这个基的矩阵有形状本讲稿第六十页
28、，共七十九页由于U 是正交矩阵，我们有 于是 由U的正交性推出，矩阵 是一个二阶正交矩阵.本讲稿第六十一页，共七十九页由上面的讨论，存在一个解使 在前一情形：在后一情形，根据对 的正交变换的讨论，我的正交变换的讨论，我们可以取们可以取 的一个规范正交基 使关于这个基的矩阵是 本讲稿第六十二页，共七十九页 如果在T中左上角的元素是1，那么重新排列基向量，关于 的矩阵是 如果左上角的元素是 1，那么关于基 的矩阵是本讲稿第六十三页，共七十九页 这样，的任意正交变换关于某一正交基 的矩阵是下列的三种类型之一：在第一种情形,是绕通过 的直线 的一个旋转；在第二种情形,是对于平面 的反射；第三种情形,是
29、前两种变换的合成.本讲稿第六十四页，共七十九页思考题思考题 设 是欧氏空间V的一个标准正交基,试求正交变换,使适合 练习练习 设V是一个欧氏空间,是一个非零向量,对于 ,规定V的一个变换 证明:是V的一个正交变换,且 是单位变换.本讲稿第六十五页，共七十九页8.4 8.4 对称变换和对称矩阵对称变换和对称矩阵 一、内容分布一、内容分布 8.4.1 对称变换的定义对称变换的定义 8.4.2 对称变换和对称矩阵之间的关系对称变换和对称矩阵之间的关系 8.4.3 对称变换的性质对称变换的性质 二、教学目的：二、教学目的：1掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的掌握对称变换的概念，能够运
30、用对称变换和对称矩阵之间的关系解题关系解题 2掌握对称变换的特征根、特征向量的性质掌握对称变换的特征根、特征向量的性质 3对一个实对称矩阵对一个实对称矩阵，能熟练地找到正交矩阵，能熟练地找到正交矩阵，使，使 为对角形为对角形三、重点难点：三、重点难点：1.对称变换和对称矩阵之间的关系对称变换和对称矩阵之间的关系;对称变换的特征根、特征向量的对称变换的特征根、特征向量的性质性质;2.对实对称矩阵对实对称矩阵，能熟练地找到正交矩阵，能熟练地找到正交矩阵，使，使 为对角形为对角形本讲稿第六十六页，共七十九页8.4.1 8.4.1 对称变换的定义对称变换的定义 定义定义1 设是欧氏空间V的一个线性变换
31、，如果对于V中的任意向量 ，等式成立，那么就称是一个对称变换.例例1 以下 的线性变换中,指出哪些是对称变换?本讲稿第六十七页，共七十九页8.4.2 8.4.2 对称变换和对称矩阵之间的关系对称变换和对称矩阵之间的关系定理定理8.4.28.4.2 设是n维欧氏空间V的一个对称变换，如果关于一个标准正交基的矩阵是对称矩阵，那么是一个对称变换.证证 设关于V的一个规范正交基 的矩阵 是对称的，令 是V的任意向量。那么本讲稿第六十八页，共七十九页同样的计算可得 因为 所以 即是一个对称变换。本讲稿第六十九页，共七十九页8.4.3 8.4.3 对称变换的性质对称变换的性质 定理定理8.4.38.4.3
32、 实对称矩阵的特征根都是实数.证证 设 是一个n 阶实对称矩阵.令是A 在复数域内一个特征根。于是存在不全为零的复数 使得（2）本讲稿第七十页，共七十九页令的共轭复数。用矩阵 左乘（2）的两边得即:（3）等式（3）两端取轭复数，注意 是实数。得（4）本讲稿第七十一页，共七十九页又因为 且等式（3）与等式（4）左端相等，因此 而 不全为零，所以 是一个正实数，所以 ，是实数。本讲稿第七十二页，共七十九页定理定理8.4.4 n 维欧氏空间的一个对称变换的属于不同特征根的特征向量彼此正交.证证 设是n维欧氏空间的一个对称变换，是的本征值，且 。令和分别是属于和的本征向量：（）=，（）=我们有 =因为
33、 ,所以必须=0.本讲稿第七十三页，共七十九页定理定理8.4.5 设是n维欧氏空间V的一个对称变换，那么存在V的一个标准正交基，使得关于这个基的矩阵是对角形式.定理定理8.4.6 设A是一个n阶实对称矩阵，那么存在一个n阶正交矩阵U，使得 是对角形.本讲稿第七十四页，共七十九页为了求出为了求出U U,我们可以用以下方法我们可以用以下方法.首先由于首先由于U U是正交矩是正交矩阵阵,所以因此所以因此 与与A A相似相似.于是可以利用于是可以利用7.67.6所给的所给的步骤求出一个可逆矩阵步骤求出一个可逆矩阵T,T,使得使得 是对角形式是对角形式,这样这样求出的矩阵求出的矩阵T T一般来说还不是正
34、交矩阵一般来说还不是正交矩阵,然而注意到然而注意到T T的的列向量都是列向量都是A A的特征向量的特征向量,A A的属于不同特征根的特征向的属于不同特征根的特征向量彼此正交量彼此正交,因此只要再对因此只要再对T T中属于中属于A A的同一特征根的列的同一特征根的列向量施行正交化手续向量施行正交化手续,就得到就得到 的一个规范正交组的一个规范正交组,以以这样的规范正交组作列这样的规范正交组作列,就得到一个满足要求的正交矩就得到一个满足要求的正交矩阵阵U.U.本讲稿第七十五页，共七十九页例例2 2 设找出求一个正交矩阵U 使 是对角形矩阵。第一步，先求A的全部特征根.我们有 所以A的特征根是2，2，8.本讲稿第七十六页，共七十九页第二步，先对于特征根2，求出齐次线性方程组的一个基础解系 再 把正交化，得 本讲稿第七十七页，共七十九页对于特征根8,求出属于它的一个单位特征向量第三步，以 为列，作一个矩阵本讲稿第七十八页，共七十九页那么U是正交矩阵，并且 例例3 设是n维欧氏氏空间V的一个线性变换,证明:为对称变换的充分必要条件是有n个两两正交的特征向量.本讲稿第七十九页，共七十九页