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1、第六讲密度与随机变量函数的分布第一页，本课件共有41页第六讲第六讲 密度与随机变量函数的分布密度与随机变量函数的分布一、复习：密度与分布和区间概率一、复习：密度与分布和区间概率第二页，本课件共有41页因随机变量因随机变量 X 在在2,5上服从均匀分布上服从均匀分布,则则 X 的概率密度的概率密度:解解:独立观测独立观测,试求至少有试求至少有2次观测值大于次观测值大于3的概率的概率.设随机变量设随机变量 X 在在2,5上服从均匀分布上服从均匀分布,现对现对 X 进行进行3次次例例6-1-1(1989)观测值大于观测值大于3的概率的概率:3次观测中有次观测中有2次观测值大于次观测值大于3的概率为的
2、概率为:第六讲第六讲 密度与随机变量函数的分布密度与随机变量函数的分布第三页，本课件共有41页解解已知某电子管的寿命已知某电子管的寿命X（小时）服从指数分布：（小时）服从指数分布：求这种电子管使用求这种电子管使用1000小时以上的概率。小时以上的概率。例例6-1-2 某仪器装有某仪器装有3只独立工作的同型号电子元件只独立工作的同型号电子元件,其寿命其寿命(单位单位:h)都服从同一指数分布都服从同一指数分布,概率密度为概率密度为:例例6-1-3(1989)：第六讲第六讲 密度与随机变量函数的分布密度与随机变量函数的分布第四页，本课件共有41页试求试求:在仪器使用的最初在仪器使用的最初200小时内
3、至少有一只元件损坏的概率小时内至少有一只元件损坏的概率 .解解设随机变量设随机变量X表示电子元件的寿命表示电子元件的寿命(单位单位:h),P(A)=P(0 X 200)第六讲第六讲 密度与随机变量函数的分布密度与随机变量函数的分布第五页，本课件共有41页二、随机变量的函数的分布二、随机变量的函数的分布设设 g(x)是定义在随机变量是定义在随机变量X 的一切可能值的一切可能值 x 的集合上的函数的集合上的函数,若存在随机变量若存在随机变量Y，当变量当变量X 取值取值 x 时，时，Y 有唯一值有唯一值 y=g(x)与与之对应，则称之对应，则称Y Y是随机变量是随机变量 X 的函数的函数(一）离散型
4、随机变量的函数的概率分布一）离散型随机变量的函数的概率分布1.1.定义定义：设随机变量设随机变量X 的概率分布为：的概率分布为：则随机变量函数则随机变量函数 的概率分布是：的概率分布是：第六讲第六讲 密度与随机变量函数的分布密度与随机变量函数的分布第六页，本课件共有41页2.定义说明：定义说明：第六讲第六讲 密度与随机变量函数的分布密度与随机变量函数的分布第七页，本课件共有41页例例6-2-1 设随机变量设随机变量X 的概率分布为：的概率分布为：-2 -1 01230.100.20 0.250.200.150.10求：求：(1)随机变量随机变量Y1=-2X的概率分布；的概率分布；(2)随机变量
5、随机变量Y2=X 2的概率分布。的概率分布。XP(X=xi)解解（1）由已知有由已知有420-2 -4 -6 0.100.20 0.250.200.150.10把随机变量的可能值由小到大排列把随机变量的可能值由小到大排列的概率分布为的概率分布为第六讲第六讲 密度与随机变量函数的分布密度与随机变量函数的分布第八页，本课件共有41页-6 -4 -2 0 240.100.150.200.250.200.10（2）显然有：显然有：4101490.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.1001490.250.400.250.10整理得整理得的概率分布的概率分布第六讲第六讲 密度与随机变量函数
6、的分布密度与随机变量函数的分布第九页，本课件共有41页求随机变量求随机变量 的概率分布。的概率分布。12n例例6-2-2 设随机变量设随机变量的概率分布为：的概率分布为：解解由于由于所以，随机变量函数所以，随机变量函数 只有三个取值只有三个取值-1，0，1。第六讲第六讲 密度与随机变量函数的分布密度与随机变量函数的分布第十页，本课件共有41页同理可解：同理可解：第六讲第六讲 密度与随机变量函数的分布密度与随机变量函数的分布第十一页，本课件共有41页整理得整理得 的概率分布的概率分布 -101第六讲第六讲 密度与随机变量函数的分布密度与随机变量函数的分布第十二页，本课件共有41页（二）连续随机变
7、量函数的分布（二）连续随机变量函数的分布设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 ,又又x的函数的函数 存在反函数存在反函数 ，则函数，则函数 也是一个连续型随机变量，也是一个连续型随机变量，且：且：1.定义：定义：2.定义说明定义说明(1)设函数设函数 g(x)单调增加单调增加,则它的反函数则它的反函数 x=g-1-1(y)也单调增加也单调增加.第六讲第六讲 密度与随机变量函数的分布密度与随机变量函数的分布第十三页，本课件共有41页(2)设函数设函数是单调减函数，是单调减函数，则它的反函数函数则它的反函数函数 也是单调减函数。也是单调减函数。第六讲第六讲 密度与随机
8、变量函数的分布密度与随机变量函数的分布第十四页，本课件共有41页第六讲第六讲 密度与随机变量函数的分布密度与随机变量函数的分布第十五页，本课件共有41页例例6-2-3 解解第六讲第六讲 密度与随机变量函数的分布密度与随机变量函数的分布第十六页，本课件共有41页为单调函数，为单调函数，第六讲第六讲 密度与随机变量函数的分布密度与随机变量函数的分布第十七页，本课件共有41页解解:1yyxo例例6-2-4：设随机变量设随机变量X在区间在区间 服从均匀分布，即概率密度服从均匀分布，即概率密度第六讲第六讲 密度与随机变量函数的分布密度与随机变量函数的分布第十八页，本课件共有41页上式两边对上式两边对y求
9、导数，即得求导数，即得Y 的概率密度的概率密度第六讲第六讲 密度与随机变量函数的分布密度与随机变量函数的分布第十九页，本课件共有41页解解:yxo例例6-2-5：设随机变量设随机变量X的概率密度的概率密度:求求:的概率密度的概率密度.第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布当当第二十页，本课件共有41页例例6-2-6(1988)：设随机变量：设随机变量 X 在在1,2上服从均匀分布上服从均匀分布,求随机变量求随机变量的概率密度函数的概率密度函数解解:因随机变量因随机变量 X 在在1,2上服从均匀分布上服从均匀分布:对任意实数对任意实数 y,随机变量随机变量
10、Y的分布函数为的分布函数为:当当 y 0 时时,分布分布为为不可能事件概率不可能事件概率当当 y 0 时时,第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布第二十一页，本课件共有41页当当 时时,第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布当当 0 y 时时,第二十二页，本课件共有41页例例6-2-76-2-7（9595研研6 6分）分）第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布第二十三页，本课件共有41页第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布第二十四页，
11、本课件共有41页2.2维离散随机变量（维离散随机变量（X，Y）的联合概率定义：）的联合概率定义：三、二维离散型随机变量及其联合概率分布三、二维离散型随机变量及其联合概率分布1.N维离散随机变量定义：维离散随机变量定义：第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布第二十五页，本课件共有41页注意：实际上：注意：实际上：3.2维离散随机变量联合概率的性质（非负规范边缘乘全）：维离散随机变量联合概率的性质（非负规范边缘乘全）：第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布第二十六页，本课件共有41页第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二
12、维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布边缘概率是另一变量必然边缘概率是另一变量必然状态下的单变量概率状态下的单变量概率第二十七页，本课件共有41页4.联合分布列（表）联合分布列（表）一般排列是横看一般排列是横看X竖看竖看Y（或竖排（或竖排X横排横排 Y）x1x2y1y2p11p12p21p22XY第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布边缘分布背景：在表的边上边缘分布背景：在表的边上第二十八页，本课件共有41页则有联合概率函数：则有联合概率函数：设设 X 及及Y 分别是取出的分别是取出的4件产品中一等品及二等品的件数，件产品中一等品及二等品的件数，解解
13、:10件产品中有件产品中有3件一等品，件一等品，5件二等品，件二等品，2件三等品。从件三等品。从例例6-3-1：中任取中任取4件，求其中一等品、二等品件数的二维概率分布。件，求其中一等品、二等品件数的二维概率分布。2 i+j 4.其中其中i=0、1、2、3；j=0、1、2、3、4；由此得由此得(X,Y)的二维联合概率分布如下：的二维联合概率分布如下：第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布第二十九页，本课件共有41页2 i+j 4.其中其中i=0、1、2、3；j=0、1、2、3、4；由此得由此得(X,Y)的二维联合概率分布如下：的二维联合概率分布如下：00
14、030200100043210XY第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布第三十页，本课件共有41页例例6-3-2(2001)服从参数为服从参数为设某班车起点站上车乘客人数设某班车起点站上车乘客人数 X 的泊松分布，的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为每位乘客在中途下车的概率为 p(0 p 1),中途下中途下车与否相互独立车与否相互独立,以以Y表示在中途下车的人数表示在中途下车的人数,求求:(1)在发车时有在发车时有 n 个乘客的条件下个乘客的条件下,中途有中途有 m 个人下车的概率个人下车的概率;(2)二维随机变量二维随机变量(X,Y)的联合概率分布的
15、联合概率分布.解解:(1)第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布第三十一页，本课件共有41页第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布(2)因因 X 服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布,第三十二页，本课件共有41页第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布例题例题6-3-3(04,6-3-3(04,数学一，两问数学一，两问9 9分）分）第三十三页，本课件共有41页第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布第三十四页，本课件共有41页四、二维
16、连续型随机变量的联合分布函数与密度函数四、二维连续型随机变量的联合分布函数与密度函数（一）联合分布函数：（一）联合分布函数：2.二维联合分布的几何解释二维联合分布的几何解释即可以用两个事件的交分析联合分布即可以用两个事件的交分析联合分布第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布第三十五页，本课件共有41页第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布第三十六页，本课件共有41页性质：性质：（1）F(x,y)是变量是变量 x(或或 y)的单调非减函数，的单调非减函数，3.二维联合分布的性质二维联合分布的性质同样对任意固定的同样对
17、任意固定的x,即对任意固定的即对任意固定的y,由二维联合分布的几何解释，我们容易地得出下列结论：由二维联合分布的几何解释，我们容易地得出下列结论：第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布第三十七页，本课件共有41页4.二维分布下的边缘密度二维分布下的边缘密度第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布第三十八页，本课件共有41页(二）二维变量的密度函数二）二维变量的密度函数则则f(x,y)称为称为(X,Y)的的概率密度函数概率密度函数或或X与与Y 的联合概率密度。的联合概率密度。1.二维随机变量的联合密度的定义二维随机变量的联合密度的定义由分布导数求密度：根据二阶混合导数定义：由分布导数求密度：根据二阶混合导数定义：(1):2.密度与分布函数和区域概率的关系密度与分布函数和区域概率的关系第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布第三十九页，本课件共有41页第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布第四十页，本课件共有41页3.二维联合密度的性质二维联合密度的性质(1)：非负性非负性(2)：积分：积分规范规范性性 第六讲第六讲 随机变量函数的分布与二维概率分布随机变量函数的分布与二维概率分布第四十一页，本课件共有41页