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1、第第14讲大数定律与中心讲大数定律与中心极限定理极限定理现在学习的是第1页，共42页第第14讲讲 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理一、背景一、背景 1.1.为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估计？2.2.2.2.为何能以样本均值作为总体期望的估计？为何能以样本均值作为总体期望的估计？为何能以样本均值作为总体期望的估计？为何能以样本均值作为总体期望的估计？3.3.为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？4.4.大样本统计推断的理论基础是什么？大样本统计推断的理论基础是什么？现在学习的是
2、第2页，共42页第第14讲讲 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理二、大数定律二、大数定律1.1.切比雪夫不等式切比雪夫不等式 设随机变量设随机变量X的数学期望的数学期望E(X)=,方差方差D(X)=2,则则对任意的正数对任意的正数，不等式，不等式或或成立成立.现在学习的是第3页，共42页第第14讲讲 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理二、大数定律二、大数定律2.2.切比雪夫切比雪夫大数定理大数定理 若若X1，X2，Xn，为独为独立同分布随机变量序列立同分布随机变量序列,E(Xk)=D(Xk)=2(k=1,2,=1,2,)，则对任意，则对任意的正数的正数 0,0,有有或或现在
3、学习的是第4页，共42页证证 根据已知条件根据已知条件由切比雪夫不等式，有由切比雪夫不等式，有又又所以所以现在学习的是第5页，共42页第第14讲讲 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理二、大数定律二、大数定律3.3.伯努例伯努例大数定理大数定理 设设nA为为 是是 n次次独独立立重重复复试试验验中中事事 件件 A发发生生的的次次数数,p是是事事件件 A在在 每每次次试试验验中中发发生生的的概概率率,则则对对任任意意的的正数正数 0,0,有有或或现在学习的是第6页，共42页证证 设设那么那么 相互独立，且服从参数为相互独立，且服从参数为p的的0 01 1分分布，布，E(Xk)=p，D(X
4、k)=p(1-(1-p).).由切比雪夫大数定理由切比雪夫大数定理,有有即即现在学习的是第7页，共42页第第14讲讲 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理二、大数定律二、大数定律4.4.辛钦大数定理辛钦大数定理 若若X1，X2，Xn，为独为独立同分布随机变量序列立同分布随机变量序列,E(Xk)=(k=1,2,=1,2,)，则对任意的正数，则对任意的正数 0,0,有有或或现在学习的是第8页，共42页 定义定义1 1 设设Y1，Y2，Yn，,是一随机变量序列，是一随机变量序列，a为一常数为一常数.若对任意给定正数若对任意给定正数 0,0,有有则称随机变量序列则称随机变量序列Y1,Y2,Yn
5、,依概率收敛于依概率收敛于a第第14讲讲 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理二、大数定律二、大数定律 定定 义义 2 2 设设X1，X2，Xn，是是一一随随机机变变量量序序列列 .若若 存存 在在 常常 数数 列列 an 使使 对对 任任 意意 给给 定定 的的 正正 数数 ，恒恒 有有 ,则则称称随随机机变变量量序序列列 Yn服从大数定律服从大数定律现在学习的是第9页，共42页第第14讲讲 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理三、中心极限定理三、中心极限定理1.1.独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理 若若X1，X2，Xn，为独立同分布随机变量序为独立同分布随机变量
6、序列列,E(Xk)=D(Xk)=2(k=1,2,=1,2,)，则随机变量标，则随机变量标准化量准化量的分布函数的分布函数Fn(x)对于任意对于任意x满足满足现在学习的是第10页，共42页现在学习的是第11页，共42页 例例1 1 一个加法器同时收到一个加法器同时收到2020个噪声电压个噪声电压Vk,(,(k=1,2,=1,2,20),20),设他们是相互独立的随机变量设他们是相互独立的随机变量,且都在区间且都在区间(0,10)(0,10)内服从均匀分布内服从均匀分布.记记 ，求，求 .解解 由题意由题意随机变量随机变量于是于是现在学习的是第12页，共42页所以所以现在学习的是第13页，共42页
7、第第14讲讲 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理三、中心极限定理三、中心极限定理2.2.李雅普诺夫中心极限定理李雅普诺夫中心极限定理 若若X1，X2，Xn，为独立同分布随机变量序为独立同分布随机变量序列列,，若存在正数若存在正数，使当，使当 时，时，则随机变量标准化量则随机变量标准化量Zn的分布函数的分布函数Fn(x)对于任意对于任意x满足满足现在学习的是第14页，共42页 说说明明：无无论论各各随随机机变变量量Xk(k=1 1,2 2,)服服从从什什么么分分布布，只只要要满满足足定定理理的的条条件件，那那么么他他们们的的和和当当n很很大大时时，就就近近似似服服从从正正态态 分分 布
8、布，这这 就就 是是 为为 什什 么么 正正 态态 随随 机机 变变 量量 在在 概概率论中占有非常重要地位的一个基本原因率论中占有非常重要地位的一个基本原因.现在学习的是第15页，共42页第第14讲讲 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理三、中心极限定理三、中心极限定理3.3.棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 设随机变量服设随机变量服 从参数为从参数为n,p的二项分布，的二项分布，则则对任对任意意x，有，有现在学习的是第16页，共42页 证证 设设Xk(k=1,2,=1,2,)服从参数为服从参数为p的的0-10-1分布，那么分布，那么于是由独立同分布中心极限定理，
9、得于是由独立同分布中心极限定理，得现在学习的是第17页，共42页 分分 析析 我我们们将将每每使使用用一一部部电电话话分分机机看看作作是是一一次次试试验验，那那么么2 26 60 0部部电电话话分分机机同同时时使使用用外外线线通通话话的的分分机机数数记记X,则则X是是一一个个随随机机变变量量，且且有有X服服从从参参数数为为 2 26 60 0，0 0.0 04 4的的二二项项分分布布.总总机机需需备备m条条外外线线才才能能 9 9 5 5%满满足足每每部部分分机机在在使用外线时不用等候使用外线时不用等候,即即PXm 0.95.例例2 2 某某单单位位内内部部有有 2 26 60 0部部电电话话
10、分分机机，每每部部分分机机有有 4 4%的的时时间间使使用用外外线线与与外外界界通通话话，可可以以认认为为每每部部电电话话分分机机使使用用不不同同的的外外线线是是 相相 互互 独独 立立 的的，问问 总总 机机 需需 备备 多多 少少 条条 外外 线线 才才能能95%95%满足每部分机在使用外线时不用等候满足每部分机在使用外线时不用等候?现在学习的是第18页，共42页 例例2 2 某某单单位位内内部部有有 2 26 60 0部部电电话话分分机机，每每部部分分机机有有 4 4%的的时时间间使使用用外外线线与与外外界界通通话话，可可以以认认为为每每部部电电话话分分机机使使用用不不同同的的外外线线是
11、是 相相 互互 独独 立立 的的，问问 总总 机机 需需 备备 多多 少少 条条 外外 线线 才才能能95%95%满足每部分机在使用外线时不用等候满足每部分机在使用外线时不用等候?解解 设设2 26 60 0部部电电话话分分机机同同时时使使用用外外线线通通话话的的分分机机数数为为X,则则X服服从从参参数数为为 2 26 60 0，0 0.0 04 4的的二二项项分分布布.总总机机需需备备 m条条外外线线才才能能 9 9 5 5%满满足足每每部部分分机机在在使使用用外外线线时时不不用用等等候候.由已知条件及拉普拉斯中心极限定理，有由已知条件及拉普拉斯中心极限定理，有现在学习的是第19页，共42页
12、查表查表 .不妨取不妨取这就是说，总机至少需备这就是说，总机至少需备1616条外线才能条外线才能95%95%满足每部分机在使满足每部分机在使用外线时不用等候用外线时不用等候.现在学习的是第20页，共42页 例例3 3 对对于于一一个个学学生生而而言言，来来参参加加家家长长会会的的家家长长人人数数是是一一个个随随机机变变量量，设设一一个个学学生生无无家家长长、1 1名名家家长长、2 2名名家家长长来来参参加加会会议议的的概概率率分分别别为为 0 0.0 05 5、0 0.8 8、0 0.1 15 5.若若学学校校共共有有 4 40 00 0名名学学生生，设设各各学学生生参参加加会会议议的的家家长
13、长数数相相互互独独立立，且且服服从从统统一一分分布布.(1 1)求求参参加加会会议议的的家家长长人人数数X超超 过过 4 45 50 0的的概概率率；(2 2)求求 有有 1 1名名家家长长来来参参加加会会议议的的学学生生人人数数不不多多于于 3 34 40 0的概率的概率.现在学习的是第21页，共42页 解解 (1)(1)以以Xk记第记第k个学生来参加会议的家长人数，则由个学生来参加会议的家长人数，则由已知条件已知条件Xk的分布率为的分布率为X Xk k0 01 12 2P P0.050.050.80.80.150.15可以计算可以计算E(Xk)=1.1，D(Xk)=0.19，k=1，2，4
14、00.由独立由独立同分布中心极限定理，得同分布中心极限定理，得现在学习的是第22页，共42页 解解 (2)(2)以以Y记由一名家长参加会议的学生人数，则记由一名家长参加会议的学生人数，则Y Y服从服从参数为参数为400400，0.80.8的二项分布的二项分布.于是由于是由棣莫弗棣莫弗拉普拉斯中心拉普拉斯中心极限定理，得极限定理，得从而有从而有1 1名家长来参加会议的学生人数不多于名家长来参加会议的学生人数不多于340340的概率约为的概率约为0.9938.0.9938.现在学习的是第23页，共42页 例例4 4 某某车车间间有有 200台台车车床床,假假设设每每台台独独立立工工作作，开开工工率
15、率为为 0.7.开开工工时时每每台台耗耗电电量量为为 15千千 瓦瓦.问问供供电电所所至至少少要要供供给给这这个个车车间间多多少少电电力力,才才能能以以 9 9.9%的的 概概 率率 保保 证证 这这 个个 车车 间间不会因供电不足而影响生产？不会因供电不足而影响生产？查表查表 ，所以，所以 解解 供电所至少要供给这个车间供电所至少要供给这个车间x千瓦的千瓦的电力电力,才能以才能以99.9%99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产.以以X记记200200台车床在同一时间段内开动的台数，则由已知条件台车床在同一时间段内开动的台数，则由已知条件
16、X服从参数为服从参数为200200，0.70.7的二项分布，于是由棣莫弗的二项分布，于是由棣莫弗拉普拉拉普拉斯中心极限定理有斯中心极限定理有即供电所至少要供给这个车间即供电所至少要供给这个车间2392.62392.6千瓦的电力千瓦的电力.现在学习的是第24页，共42页 电电视视台台需需作作节节目目 A 收收视视率率的的调调查查.每每天天在在播播电电视视的的同同时时,随随机机地地向向当当地地居居民民打打电电话话询询问问是是否否在在看看电电视视.若若在在看看电电视视,再再问问是是否否在在看看节节目目A.设设回回答答看看电电视视的的居居民民户户数数为为 n.若若要要保保证证以以 9 9 5 5%的的
17、概概率率使使调调查查误差在误差在10%10%之内之内,n应取多大？应取多大？第第1212周周 问问 题题 每每晚晚节节目目A A 播播出出一一小小时时,调调查查需需同同时时进进行行,设设每每小小时时每每人人能能调调查查 2 20 0户户,每每户户居居民民每每晚晚看看电电视视的的概概率率为为 7 70 0%,电电视视台台需需安安排排多多少少人人作作调调查查,又又若若使使调调查查误误差差在在 1 1之内之内,n取多大？取多大？现在学习的是第25页，共42页 一一本本书书有有 1 10 00 00 00 00 00 0个个印印刷刷符符号号,排排版版时时每每个个符符号号被被排排错错的的概概率率为为千千
18、分分之之一一.校校对对时时,每每个个排排版版错错误误被被改改正正的的概概率率为为 0 0.9 99 9.求求在在 校校 对对 后后 错错 误误 不不 多多 于于1515个的概率个的概率.第第1212周周 问问 题题现在学习的是第26页，共42页现在学习的是第27页，共42页中心极限定理的意义中心极限定理的意义 在第二章曾讲过有许多随机现象服从正态分布 若联系于此随机现象的随机变量为X，是由于许多彼次没有什么相依关系、对随机现象谁也不能起突出影响，而均匀地起到微小作用的随机因素共同作用则它可被看成为许多相互独立的起微小作用的因素Xk的总和 ，而这个总和服从或近似服从正态分布.(即这些因素的叠加)
19、的结果.现在学习的是第28页，共42页对此现象还可举个有趣的例子高尔顿钉板试验 加以说明.03 钉子层数现在学习的是第29页，共42页例例1 1 炮火轰击敌方防御工事 100 次,每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望为 2,均方差为1.5.若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求100 次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.现在学习的是第30页，共42页例例2 2 售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X 是出售了100份报时过路人的数目，求 P(280 X 320).解解 令Xi 为售出了第 i 1 份报纸后到售出第i
20、份报纸时的过路人数,i=1,2,100(几何分布)现在学习的是第33页，共42页相互独立,由独立同分布中心极限定理,有现在学习的是第34页，共42页例例3 3 检验员逐个检查某产品,每查一个需用10秒钟.但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟.若产品需重复检查的概率为 0.5,求检验员在 8 小时内检查的产品多于1900个的概率.解解 若在 8 小时内检查的产品多于1900个,即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时.设 X 为检查1900 个产品所用的时间(秒)设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间(单位：秒),k=1,2,1900现在学习的是第35页，共42页 XkP 10 200
21、.5 0.5相互独立同分布,现在学习的是第36页，共42页现在学习的是第37页，共42页例例5 5 设有一批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率.解解 设 X 表示6000粒种子中的良种数,X B(6000,1/6)近似由德莫佛拉普拉斯中心极限定理,则有现在学习的是第38页，共42页现在学习的是第39页，共42页比较几个近似计算的结果比较几个近似计算的结果中心极限定理二项分布(精确结果)Poisson 分布Chebyshev 不等式现在学习的是第40页，共42页 设某农贸市场某种商品每日的价格的变化是个相互独立且均值为0,方差为 2=2的随机变量 Yn，并满足其中Xn是第n天该商品的价格.如果今天的价格为100，求18天后该商品的价格在 96 与 104 之间的概率.*补充作业现在学习的是第41页，共42页解 设 表示今天该商品的价格,为18天后该商品的价格,则得现在学习的是第42页，共42页