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1、一、一、数学期望数学期望 三、随机变量的数字特征三、随机变量的数字特征二、二、方差方差 三 随机变量的数字特征1、数学期望(1)数学期望定义例 2（2）旅客8：20分到达X的分布率为(2）数学期望的性质若x,y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)(3）随机变量函数的数学期望设设X是一个随机变量，是一个随机变量，Y=g(X)，则，则 当当X为离散型时为离散型时,P(X=xk)=pk;当当X为连续型时为连续型时,X的密度函数为的密度函数为f(x).某零件的真实长度为某零件的真实长度为a，乙仪器测量结果乙仪器测量结果 甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为
2、乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近2 方差方差现用甲、乙两台仪器现用甲、乙两台仪器各测量各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用数轴上的点表示如图：用数轴上的点表示如图：甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，发炮弹，甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果较好较好因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心中心中心其落点其落点距目标的位置如图：距目标的位置如图：设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若EX-E(X)2，EX-E(X)2 为为X的方差的方差.则称则称(1）方差的定义）方差的定义
3、仪器测量结果仪器测量结果D(X)=若若X的取值比较分散，则方差的取值比较分散，则方差若若X的取值比较集中，则方差的取值比较集中，则方差较小；较小；较大较大.称称 为为X标准差标准差.X为离散型，为离散型，PX=xk=pkX为连续型，为连续型，Xf(x)D(X)=EX-E(X)2简化公式简化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展开展开D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性质性质-2E(X)2+E(X)2证：证：例例3.要在甲乙两射手之间选送一个人去参加奥运会，要在甲乙两射手之间选送一个人去参加奥运会，送谁去参加奥运会
4、更合理呢？送谁去参加奥运会更合理呢？已知两人的射击成绩的分布律分别为：已知两人的射击成绩的分布律分别为：首先评选的指标是首先评选的指标是平均成绩平均成绩评选的第二个指标是评选的第二个指标是方差方差送送甲甲去参加奥运会更合理。去参加奥运会更合理。D(X)=EX-E(X)2 1)设设C是常数是常数,则则D(C)=2)若若C是常数是常数,则则D(CX)=3)若若X1与与X2 独立，则独立，则可推广为：若可推广为：若X1,X2,Xn相互相互独立独立,则则D(X1+X2)=D(X1)+D(X2);C2 D(X);0;(2）方差的性质）方差的性质 两点分布两点分布 二项分布二项分布泊松分布泊松分布离散型离散型3 常见常见分布的数学期望和方差分布的数学期望和方差若若X服从服从若若X服从参数为服从参数为连续连续型型若若XUa,b,即即X服从服从a,b上的均匀分布上的均匀分布,则则例例5 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立且相互独立且XN(1,2),解解:XN(1,2),YN(0,1)，且，且X与与Y独立独立,D(Z)=E(Z)=故故 ZN(E(Z),D(Z)ZN(5,32)2E(X)-E(Y)+3=2+3=54D(X)+D(Y)=8+1=9YN(0,1).试求试求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度.故故Z的概率密度是的概率密度是