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1、牛顿插值法你现在浏览的是第一页，共31页上一节回顾o插值问题插值问题o插值多项式的存在唯一性插值多项式的存在唯一性o插值余项插值余项oLagrange插值多项式插值多项式满满足插足插值值条件条件 Pn(xi)=f(xi),(i=0,1,2,n)n次插值多项式次插值多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn 存存在而且惟一在而且惟一.你现在浏览的是第二页，共31页插值函数插值函数O xy几何解释几何解释（插值）节点（插值）节点插值条件插值条件插值函数就是通过插值函数就是通过n+1个给定点个给定点 的几何曲线。的几何曲线。插值区间插值区间你现在浏览的是第三页，共31页Lagrange插值多
2、项式的缺点插值多项式的缺点我们知道我们知道,Lagrange,Lagrange插值多项式的插值基函数为插值多项式的插值基函数为理论分析中很方便，理论分析中很方便，但是但是当当插值节点增减插值节点增减时时全部插值全部插值基函数基函数就要随之就要随之变化变化，整个公式也将发生变化，这在实，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很际计算中是很不方便不方便的；的；Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数全部基函数 li(x)都需重新算过。都需重新算过。你现在浏览的是第四页，共31页解决解决由线性代数的知识可知由线性代数的知识可知,任何一个任何
3、一个n n次多项式都可以表示成次多项式都可以表示成共共n+1n+1个多项式的线性组合个多项式的线性组合那么，是否可以将这那么，是否可以将这n+1n+1个多项式作为插值基函数呢？个多项式作为插值基函数呢？显然，多项式组显然，多项式组线性无关，线性无关，因此，因此，可以作为插值基函数可以作为插值基函数你现在浏览的是第五页，共31页基函数基函数你现在浏览的是第六页，共31页有再继续下去待定系再继续下去待定系数的形式将更复杂数的形式将更复杂 。为此引入差商和差分的概念为此引入差商和差分的概念你现在浏览的是第七页，共31页差商差商(亦称均差亦称均差)/*divided difference*/1阶差商阶
4、差商/*the 1st divided difference of f w.r.t.xi and xj*/2阶差商阶差商定义定义2.2.11101010111010,.,.,.,.,.,+=kkkkkkkkkkkxxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxf(k+1)阶阶差差商商你现在浏览的是第八页，共31页差商的计算方法差商的计算方法(表格法表格法):):规定函数值为规定函数值为零阶差商零阶差商差商表差商表你现在浏览的是第九页，共31页例例 列出列出f(x)=x3在节点在节点x=0,2,3,5,6上的各阶差商值。上的各阶差商值。三阶差商三阶差商四阶差商四阶差商解：解：列表计算列表计算你现在浏
5、览的是第十页，共31页差商具有如下性质差商具有如下性质:Warning:my head is explodingWhat is the point of this formula?差商的值与差商的值与 xi 的顺序无关！的顺序无关！你现在浏览的是第十一页，共31页NewtonNewton插值公式及其余项插值公式及其余项你现在浏览的是第十二页，共31页12 n+11+(x x0)2+(x x0)(x xn 1)n+1Nn(x)Rn(x)ai=f x0,xi NewtonNewton插值公式及其余项插值公式及其余项你现在浏览的是第十三页，共31页你现在浏览的是第十四页，共31页例：例：已知已知x=
6、1,4,9的平方根为的平方根为1,2,3，利用牛顿基本差商，利用牛顿基本差商 公式求公式求 的近似值。的近似值。解：解：从而得二阶牛顿基本差商公式为从而得二阶牛顿基本差商公式为因此计算得因此计算得 的近似值为的近似值为你现在浏览的是第十五页，共31页性质性质3 3你现在浏览的是第十六页，共31页分段低次插值分段低次插值 /*piecewise polynomial approximation*/Remember what I have said?Increasing the degree of interpolating polynomial will NOT guarantee a good
7、 result,since high-degree polynomials are oscillating.例：例：在在 5,5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大，称为越大，称为Runge 现象现象Ln(x)f(x)分段分段低次低次插值插值你现在浏览的是第十七页，共31页也称折线插值,如右图曲线的光滑性较差在节点处有尖点 但如果增加节点的数量减小步长,会改善插值效果因此则你现在浏览的是第十八页，共31页 分段线性插值分段线性插值 /*piecewise lin
8、ear interpolation*/在每个区间在每个区间 上，用上，用1阶多项式阶多项式(直线直线)逼近逼近 f(x):记记 ，易证：当，易证：当 时，时，一致一致失去了原函数的光滑性。失去了原函数的光滑性。分段分段Hermite插值插值 /*Hermite piecewise polynomials*/给定给定在在 上利用两点的上利用两点的 y 及及 y 构造构造3次次Hermite函数函数导数一般不易得到。导数一般不易得到。How can we make a smooth interpolation without asking too much from f?Headache 你现在浏
9、览的是第十九页，共31页o以下内容自学你现在浏览的是第二十页，共31页上面我们讨论了节点任意分布的插值公式，但实际应用上面我们讨论了节点任意分布的插值公式，但实际应用时经常会遇到等距节点的情形，这时插值公式可以进一时经常会遇到等距节点的情形，这时插值公式可以进一步简化，计算也简单多了，为了给出等距节点的插值公步简化，计算也简单多了，为了给出等距节点的插值公式，我们先来看一个新概念；式，我们先来看一个新概念；你现在浏览的是第二十一页，共31页向前向前向前向前向后向后向后向后中心中心差分算子差分算子不在函数表上，要用到函不在函数表上，要用到函数表上的值数表上的值你现在浏览的是第二十二页，共31页利
10、用一阶差分可以定义二阶差分利用一阶差分可以定义二阶差分差分差分你现在浏览的是第二十三页，共31页可以用归纳法证明如差分差分你现在浏览的是第二十四页，共31页差分表差分表你现在浏览的是第二十五页，共31页差分与函数值之间的关系差分与函数值之间的关系归纳可知，归纳可知，k阶差商可表示为阶差商可表示为 你现在浏览的是第二十六页，共31页在等距节点的前提下在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系差商与差分有如下关系你现在浏览的是第二十七页，共31页依此类推你现在浏览的是第二十八页，共31页由差商与向前差分的关系Newton插值基本公式为如果假设1.Newton向前向前(差分差分)插值公式插值公式你现在
11、浏览的是第二十九页，共31页则插值公式化为其余项化为你现在浏览的是第三十页，共31页称为Newton向前插值公式插值余项为NewtonNewton插值法的优点是计算较简单插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时尤其是增加节点时,计算只要增加一项计算只要增加一项,这点是这点是LagrangeLagrange插值无法比的插值无法比的.但是但是NewtonNewton插值仍然没有改变插值仍然没有改变LagrangeLagrange插值的插值曲线插值的插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点等缺点.你现在浏览的是第三十一页，共31页