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1、插值法插值牛顿插值第1页，此课件共76页哦第二章 插值法 2.1 引言引言 2.2 拉格朗日插值拉格朗日插值 2.3 差商与牛顿插值公式差商与牛顿插值公式 2.4 差分与等距节点插值差分与等距节点插值 2.5 埃尔米特插值埃尔米特插值 2.6 分段低次插值分段低次插值 2.7 三次样条插值三次样条插值2022/10/142第2页，此课件共76页哦本章要点用简单的函数(如多项式函数)作为一个复杂函数的近似,最简单实用的方法就是插值.本章主要介绍有关插值法的一些基本概念，及多项式插值的基础理论和几个常用的插值方法：拉格朗日插值、分段线性插值、牛顿插值、埃尔米特插值和三次样条插值.2022/10/1
2、43第3页，此课件共76页哦能否存在一个性能优良、便于计算的函数一、插值问题2022/10/144第4页，此课件共76页哦这就是插值问题，上式为插值条件其插值函数的图象如下图2022/10/145第5页，此课件共76页哦2022/10/146第6页，此课件共76页哦二、代数插值多项式的存在唯一性整体误差的大小反映了插值函数的好坏为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函数都使用代数多项式和有理函数本章讨论的就是代数插值多项式且满足-(2)-(3)72022/10/14第7页，此课件共76页哦-(4)上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式82022/10/14第8页，此课
3、件共76页哦定理1.由Cramer法则,线性方程组(4)有唯一解-(2)-(3)则满足插值条件的插值多项式存在且唯一.虽然线性方程组(4)推出的插值多项式存在且唯一但通过解线性方程组(4)求插值多项式却不是好方法92022/10/14第9页，此课件共76页哦三、插值法的类型且满足其中 为实数，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若P(x)为分段的多项式，就称为分段插值；若P(x)为三角多项式，就称为三角插值。本章只讨论多项式插值与分段插值2022/10/1410第10页，此课件共76页哦此插值问题可表述为如下：问题问题 求作次数 多项式 ，使满足条件这就是所谓的拉格朗日（拉格
4、朗日（Lagrange）插值）插值。拉格朗日（Lagrange）插值公式(以下统称为Lagrange插值公式)的基本思想是，把pn(x)的构 造 问 题 转 化 为n+1个 插 值 基 函 数li(x)(i=0,1,n)的构造。2022/10/1411第11页，此课件共76页哦2022/10/1412第12页，此课件共76页哦问题问题 已知函数y=f(x)在点x0,x1上的值为y0,y1，求 作一次一次式 ，使满足条件 其几何意义，就是通过两点 的一条直线。2022/10/1413第13页，此课件共76页哦L12022/10/1414第14页，此课件共76页哦由直线两点式可知，通过A，B的直线
5、方程为 称为线性插值(n=1的情况)，分为内插与外推。适用情况：适用情况：很小时2022/10/1415第15页，此课件共76页哦也可表示为如下对称形式：其中，显然，2022/10/1416第16页，此课件共76页哦线性插值举例线性插值举例例1:已知 ，求代入点斜式插值多项式得 y=10.71428精确值为 10.723805，故这个结果有3位有效数字。2022/10/1417第17页，此课件共76页哦 问题问题 求作二次二次式 ，使满足条件二次插值的几何解释是用通过三个点 的抛物线来近似考察曲线，故称为拋物插值。类似于线性插值，构造基函数，要求满足下式：2022/10/1418第18页，此课
6、件共76页哦2022/10/1419第19页，此课件共76页哦x0=100,x1=121,x2=144f(x0)=10,f(x1)=11,f(x2)=12(121100)(121144)L2(115)=(100121)(100144)(115121)(115144)*10+(115100)(115144)*11+(144100)(144121)(115100)(115121)*12=10.7228抛物插值抛物插值举例2(x0 x1)(x0 x2)(xx1)(xx2)f(x0)+(x1x0)(x1x2)(xx0)(xx2)f(x1)+(x2x0)(x2x1)(xx0)(xx1)f(x2)L L2
7、 2(x)=(x)=和用线性插值相比，有效数字增加一位2022/10/1420第20页，此课件共76页哦为了构造 ，我们先定义n次插值基函数。定义：若n次多项式在n+1个节点上满足条件2022/10/1421第21页，此课件共76页哦n+1次多项式对n=1及n=2时的情况前面已经讨论，用类似的推导方法，可得到n次插值基函数为：2022/10/1422第22页，此课件共76页哦且从而2022/10/1423第23页，此课件共76页哦总总结结称为y=f(x)的拉格朗日插值多项式称为n次拉格朗日插值基函数2022/10/1424第24页，此课件共76页哦例3：求过点(2，0)(4，3)(6，5)(8
8、，4)(10，1)的 拉格朗日插值多项式。2022/10/1425第25页，此课件共76页哦2022/10/1426第26页，此课件共76页哦2022/10/1427第27页，此课件共76页哦2022/10/1428第28页，此课件共76页哦一、插值余项满足不会完全成立因此，插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估计这个截断误差呢？2022/10/1429第29页，此课件共76页哦2022/10/1430第30页，此课件共76页哦令设其中证明：证明：假设在区间a,b上f(x)的插值多项式为2022/10/1431第31页，此课件共76页哦若引入辅助函数2022/10/1432第32页，此课件共
9、76页哦根据Rolle定理,再由Rolle定理,依此类推由于2022/10/1433第33页，此课件共76页哦所以因此2022/10/1434第34页，此课件共76页哦则注意注意:（1）余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时 才能应用。（2）在内的具体位置通常不可能给出，所以，设2022/10/1435第35页，此课件共76页哦例1:已测得某地大气压强随高度变化的一组数据高度(m)0 100 300 1000 1500 2000 .压强(kgf/m2)0.9689 0.9322 0.8969 0.8515 0.7984 0.7485 试用二次插值法二次插值法求1200米处的压强值.解：设x为
10、高度，y为大气压强的值，选取(1000,0.8515),(1500,0.7984),(2000,0.7485)三点构造二次插值多项式 (x-x1)(x-x2)(x-x0)(x-x2)(x-x0)(x-x1)p2(x)=-y0+-y1+-y2 (x0-x1)(x0-x2)(x1-x0)(x1-x2)(x2-x0)(x2-x1)362022/10/14第36页，此课件共76页哦 所以 y(1200)p2(1200)=0.82980(kgf/m2)372022/10/14第37页，此课件共76页哦例2:解:2022/10/1438第38页，此课件共76页哦2022/10/1439第39页，此课件共7
11、6页哦不同次数的Lagrange插值多项式的比较图Runge现象402022/10/14第40页，此课件共76页哦P44 1、2本章作业拉格朗日插值多项式的缺点：（1）插值基函数计算复杂（2）函数的高阶导数不易求（3）高次插值的精度不一定高2022/10/1441第41页，此课件共76页哦1、给定正弦函数表如下，试用拉格朗日二次插值，求sin0.57891的近似值并估计误差。0.50.60.70.479340.564640.644222、已知函数表x1.131.151.171.20y=f(x)1.1911.3951.5931.790应用拉格朗日插值公式计算f(1.16)422022/10/14
12、第42页，此课件共76页哦开始输入（xi,yi)及x i=0,1,2,.,nP=0,k=0T=1T=t(x-xi)/(xk-xi)i=0,1,2,.,k-1,k+1,.,nP=p+yktK=nK=k+1输出p结束FT编程思想432022/10/14第43页，此课件共76页哦 2.3 差商与牛顿插值公式差商与牛顿插值公式我们知道,拉格朗日插值多项式的插值基函数为形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多，且由于插值基函数L(x)L(x)依赖于全部基点，若算出所有L(x)后如需要增加插值节点，则必须重新计算,为了克服这个缺点，我们引进牛顿插值多牛顿插值多项式项式。2022/10/1444第44页
13、，此课件共76页哦由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成共n+1个多项式的线性组合那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？2022/10/1445第45页，此课件共76页哦显然，多项式组线性无关，因此，可以作为插值基函数462022/10/14第46页，此课件共76页哦2022/10/1447第47页，此课件共76页哦有为写出系数 的一般表达式，现引入差商差商概念再继续下去待定系数的形式将更复杂2022/10/1448第48页，此课件共76页哦定义:称一、差商的定义2022/10/1449第49页，此课件共76页哦二、差商具有如下性质（请同学们自证）：2022/10/1
14、450第50页，此课件共76页哦性质2：差商与节点的排列顺序无关，即任意调换节点的次序,差商的值不变(差商的对称性)2022/10/1451第51页，此课件共76页哦用余项的相等证明2022/10/1452第52页，此课件共76页哦规定函数值为零阶差商差商表三、差商的计算方法(表格法):532022/10/14第53页，此课件共76页哦2.3.2 牛顿插值公式2022/10/1454第54页，此课件共76页哦把后一项依次带入前一项，可得（2.3.7）我们称 为牛顿(Newton)差商插值多项式。称 为牛顿差商插值多项式的截断误差。2022/10/1455第55页，此课件共76页哦 因此，每增加
15、一个结点，Newton插值多项式只增加一项，克服了 Lagrange插值的缺点。562022/10/14第56页，此课件共76页哦根据满足给定插值条件的插值多项式存在的唯一性，可得因此Newton插值估计误差的重要公式即为n+1次多项式2022/10/1457第57页，此课件共76页哦例例1：2022/10/1458第58页，此课件共76页哦解：2022/10/1459第59页，此课件共76页哦2022/10/1460第60页，此课件共76页哦例例2:给定数据表f(x)=lnx数据表 xi 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00f(xi)0.78846 0.87547 0.95551
16、 1.02962 1.098611.构造差商表2.用二次Newton差商插值多项式，近似计算f(2.65)的值3.写出四次Newton差商插值多项式N4(x)解解:差商表612022/10/14第61页，此课件共76页哦N2(x)=0.87547+0.40010(x-2.40)-0.073875(x-2.40)(x-2.60)f(2.65)N2(2.65)N4(x)=0.78846 +0.43505(x-2.20）-0.087375(x-2.20)(x-2.40)+0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)-0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60)(x-
17、2.80)622022/10/14第62页，此课件共76页哦拉格朗日插值与牛顿插值的比较拉格朗日插值与牛顿插值的比较(1)和 均为n次多项式，且均满足插值条件：由插值多项式的唯一性，因而，两个公式的余项是相等的，即2022/10/1463第63页，此课件共76页哦P44 3、4本章作业(2)Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这点是Lagrange插值无法比的(3)Newton插值余项公式对f(x)是由离散点给出或f(x)导数不存在时均适用(4)但是Newton插值仍然没有改变Lagrange插值的插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等
18、缺点2022/10/1464第64页，此课件共76页哦3、已知 在离散点有 ，试用牛顿插值法计算 的近似值，并由误差公式给出误差界，同时与实际误差作比较。作出差商表，写出牛顿插值公式，计算 的近似值。4、给出函数表x-1123y=f(x)3.55.47.25.5第65页，此课件共76页哦一、差分定义：2.4.1 差分及其性质 2.4 差分与等距节点插值差分与等距节点插值2022/10/1466第66页，此课件共76页哦依此类推可以证明如2022/10/1467第67页，此课件共76页哦差分表2022/10/1468第68页，此课件共76页哦二、在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系2022/
19、10/1469第69页，此课件共76页哦依此类推2022/10/1470第70页，此课件共76页哦由差商与向前差分的关系Newton插值基本公式为如果假设1.Newton向前(差分)插值公式 2.4.2 等距节点插值公式712022/10/14第71页，此课件共76页哦则插值公式化为其余项化为722022/10/14第72页，此课件共76页哦称为Newton向前插值公式插值余项为732022/10/14第73页，此课件共76页哦插值余项为根据向前差分和向后差分的关系如果假设可得Newton向后插值公式2.Newton向后(差分)插值公式742022/10/14第74页，此课件共76页哦由于高次插值多项式的Runge现象,Newton插值公式一般也采用分段低次插值分段线性Newton插值(1)(2)Newton分段二次插值 2.4.3 等距节点插值公式的使用752022/10/14第75页，此课件共76页哦(3)Newton分段三次插值余项为余项为762022/10/14第76页，此课件共76页哦