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1、试卷第 1 页，共 4 页 天津南开中学天津南开中学 2023 届第二次月考试卷届第二次月考试卷 一、单选题 一、单选题 1设集合=UAB1,2,3,4,5,6,1,3,6,2,3,4，则=ABU)(（）A.3B.1,6C.5,6D.1,32已知Ra，则“a6”是“a362”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则数据的中位数估计值为（）A64 B65 C64.5 D66 4函数=+f xxxx9123 sin 3)(图象大致为（）ABCD5三个数=abc0.4,log 0.3,2220.6之间的大小关系是（）Aa
2、cb BabcCbacDbca6已知曲线=yx4在点1,4)(处的切线的倾斜角为2，则+=+412cos1 sincos（）A22B2 2C21D1 试卷第 2 页，共 4 页 7将函数()sin2f xx=的图象先向右平移3个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数()g x的图象，则()2g的值为（）A12B32C12D328.已知nS是等差数列na的前n项和，公差0d，11a=，若125,a a a成等比数列，则93+nnSa的最小值为 A136B2 C101 D949设函数22,0()ln,0 xx xf xx x=（1）若方程()f xa=
3、有四个不同的实根1234,x x x x，则1234xxxx的取值范围是(0,1)（2）若方程()f xa=有四个不同的实根1234,x x x x，则1234xxxx+的取值范围是(0,)+（3）若方程()f xax=有四个不同的实根，则a的取值范围是10,e（4）方程21()()()10fxaf xa+=的不同实根的个数只能是 1，2，3，6 四个结论中，正确的结论个数为（）A.1B.2C.3 D.4 二、填空题二、填空题 10已知复数2(1)1izi=+，则z=_.11732xx展开式中的常数项是_(用数字作答)12已知各项都为正的等差数列na中，若23415aaa+=，1362,4,1
4、6aaa+成等比数列，则10a_.试卷第 3 页，共 4 页 13甲箱中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙箱中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以1A，2A和3A表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以 B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则()P B=_14若正数,a b满足11ab+=1，则41611ab+的最小值为_ 15如图，在梯形ABCD中，/AB CD且22DCABBC=，E为BC的中点，AC与DE交于点O若125CB CDOA OD=，则BCD的余弦值为_三、解答题
5、三、解答题 16在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，且()()22cos2 cos2CacACbb+=(1)求B；(2)如图，若D为ABC外一点，且712BCD=，ABAD，1AB=，3AD=，求sinBDC并求BC17.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，/ABDC，2ADDCAP，1AB，点E为棱PC的中点.（）证明 BEDC；（）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（）若F为棱PC上一点，满足BFAC，求平面FAB与平面ABP的夹角余弦值.试卷第 4 页，共 4 页 18已知等差数列 na为递增数列，nS为数列 na的前n项和，561099,100a
6、 aS=(1)求 na的通项公式；(2)若数列 nb满足13nnnab=，求 nb的前n项和nT：19记nS是公差不为0的等差数列 na的前n项和，已知3453aaS+=，154a aS=，数列 nb满足()11322nnnbbn=+，且111ba=(1)求 na的通项公式，并证明数列12nnb+是等比数列；(2)若数列 nc满足111)4(11)nnnnncaa+=，求 nc的前n项和的最大值最小值.(3)求证：对于任意正整数n，1211132nbbb+20已知函数()2()xf xxa e=（）若3a=，求()fx的单调区间和极值；（）若12xx、为()fx的两个不同的极值点，且()()2
7、11222121212xxxxef xef xex xx x+，求a的取值范围；（）对于任意实数1 1,2 2a，不等式()233332af aaab+恒成立，求b的取值范围.答案第 1 页，共 4 页 参考答案：参考答案：1B 2B 3B 4B 5C 6C 7C 8.A 9.B101i 1114 1219 13922 1416 1531716(1)23B=(2)12BDC=，42 3BC=（1）由()()22cos2 cos2CacACbb+=，得()()22cos 2cos12CacBb+=，即()2coscosacBbC+=，由正弦定理，得()2sinsincossincosACBBC+
8、=，整理，得2sincossincossincosABCBBC=+，()2sincossinsinABBCA=+=，又()0,A，sin0A，1cos2B=，又()0,B，23B=；（2）连接 BD，因为ADAB，1AB=，3AD=，所以2222132BDABAD，tan3ADABDAB=，所以3ABD=，所以3CBDABCABD=又712BCD=，所以12BDCBCDCBD=，在BCD中，由正弦定理可得sinsinBDBCBCDBDC=，即27sinsin1212BC=，所以2sin2sin341242 37sinsin1234BC=+17.证明：由PA底面ABCD，ADAB，可以A为坐标原
9、点，建立如图所示的空间直角坐标系，2ADDCAP=，1AB=，(0A，0，0)，(1B，0，0)，(0D，2，0)，(2C，2，0)，(0P，0，2)，点E为棱PC的中点，则(1E，1，1).(0BE=，1，1)，(2DC=，0，0)BE0DC=，BEDC；答案第 2 页，共 4 页(1BD=，2，0)，(1PB=，0，2)，设平面PBD的法向量(mx=，y，)z，由mBDm=0PB=得 2020 xyxz+=，令1y=，则(2m=，1，1)cosm，233|62m BEBEmBE=直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33.(1BC=，2，0)，(2CP=，2，2)，(2AC=，2，0)，由F
10、点在棱PC上，设(2CFCP=，2，2)(01)，则(22F，22，2)，(1 2BF=，22，2)由BFAC，得BF2(1 2)2(22)0AC=+=，解得34=即1(2BF=，12，3)2设平面FBA的法向量为(nx=，y，)z，由nABn=0BF=，得 01130222xxyz=+=，令1z=，则(0n=，3，1)，取平面ABP的法向量(0i=，1，0)，cosn，33 101010 1i=所求夹角的余弦值为3 1010.18(1)因为()11010101002aaS+=，所以11020aa+=，所以5620aa+=，又5699a a=，且 na为递增数列，则可解得569,11aa=，所
11、以公差为 2，所以()95221nann=+=.答案第 3 页，共 4 页(2)因为112133nnnnanb=，所以01221135232133333nnnnnT=+，123113523213333331nnnnTn+=+，-11231111(1)2111121211213312122133333333313nnnnnnnnnnT=+=+=，1133nnnT+=；19.(1)设等差数列 na的公差为()0d d，由3451543aaSa aS+=得：()()1111115 4233524 3442adadada adad+=+=+，解得：122ad=，()2212nann=+=.111 1b
12、a=，则113122b+=，由()11322nnnbbn=+得：113122 22nnnnbb=+，1131122 2nnnnbb+=+，数列12nnb+是以32为首项，32为公比的等比数列，3122nnnb+=，32nnnb=.（2）()()()()11212111(1)(1)21 212121nnnnncnnnn+=+，记 nc的前n项和为nW，则111111111(1)1335572121nnWnn=+111(1)21nn=+，当n为奇数时1121nWn=+随着n的增大而减小，可得413nW，当n为偶数时1121nWn=+随着n的增大而增大，可得415nW，所以nW的最大值为43，最小值
13、为45.答案第 4 页，共 4 页(3)1323nnn（当且仅当1n=时取等号），1211111331213nnbbb+=20.()()22()22xxxfxx exaeexxa=+=+解：()()()23,()2331xxafxexxexx=+=+当时()0,31fxxx=令得或x(),3 3()3,11()1,+()fx+0 0+()f x极大值 极小值()()()3(),3,1,3,16()(3),()(1)2f xf xff xfee+=极大极小的单调递增区间为单调递减区间为；（2）|12aa ()()()()()()()()()()()2232232232222221 13(3),332 22333231 133,22 232133331313111 1,102 2aaaaaaaaaaaeaababaaeaaag aaaeaa agaaeaaeaaeaaaaaaeaaa +=+=+=+=+不等式恒成立,即恒成立设都有令()0,0g aa=得a121,020 10,212()ga+0()g a极大值()()max00g ag=，所以，b的取值范围是()0,+