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1、 复数 考点对点练 保分必拿 考点一复数的概念与几何意义i为虚数单位,aR,若za ia i i为实数,则实数a()A B C D 若复数z满足(i)z i,则z的实部为()A B C D 设z,zC,则“z、z中至少有一个数是虚数”是“zz是虚数”的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件设复数z满足z(i)i(i为虚数单位),则z的共轭复数的虚部为()AB CiD i已知复数z(ai)i i是纯虚数,其中a是实数,则z等于()A iB iCiD i设复数z l g(m)mi,则z在复平面内对应的点()A一定不在第一、二象限B一定不在第二、三象限C一定不在第三、四
2、象限D一定不在第二、三、四象限若虚数(x)yi(x,yR)的模为,则yx的最大值是()ABCD规定运算acbda db c,若z ii i(i为虚数单位),则复数z,|z|考点二复数代数形式的四则运算 i i()A iB iC iD i 设z i i i,则|z|()A BC D 已知i()abi(a,bR,i为虚数单位),则ab()A B C D 已知aR,i是虚数单位若za i,zz,则a()A 或B或 C D i是虚数单位,复数za i i(a),若|z|,则a()AB C D (多选)已知i为虚数单位,则下面命题正确的是()A若复数z i,则z i B复数z满足|z i|,z在复平面内
3、对应的点为(x,y),则x(y)C若复数z,z满足zz,则zz D复数z i的虚部是 (i)(i)()A B C D 已知复数z满足zz,则|z|素养提升练 高分必抢一、单项选择题欧拉是十八世纪伟大的数学家,他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数c o s和s i n联系在一起,得到公式eic o s i s i n,这个公式被誉为“数学的天桥”,根据该公式,可得|ei|()A B C D若复数z满足z(i)|i|,则在复平面内z的共轭复数对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限微点特训数学(新)已知复数z i(i),则|z|z在复平面内对应的点位于()A第四象限B第
4、三象限C第二象限D第一象限已知复数z满足|z|z|的复数z的对应点的轨迹是()A 个圆B线段C 个点D 个圆已知i是虚数单位,z是复数,则下列叙述正确的是()Azz是纯虚数Bzn(nZ)C对于任意的zC,|z|z|D满足zz的z仅有一个已知i为虚数单位,复数z满足(i)z i,则下列关于复数z的说法正确的是()Az i B|z|Czz Dz若i为虚数单位,复数z满足|z i|,则|z i|的最大值为()A B C D 世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数,使复数及其运算具有了几何意义,例如,|z|O Z|,也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离在复平面内,复
5、数za i i(i是虚数单位,aR)是纯虚数,其对应的点为Z,Z为曲线|z|上的动点,则Z与Z之间的最小距离为()AB CD 二、多项选择题若复数z i,则()A|z|B|z|Cz的共轭复数z iDz i 已知复数z c o s i s i n()(其中i为虚数单位)下列说法正确的是()A复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限Bz可能为实数C|z|c o sDz的实部为三、填空题 一般的,复数都可以表示为zr(c o s i s i n)的形式,这也叫做复数的三角表示,世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系:如果zr(c o s i s i n),zr(c o s
6、is i n),那么zzrrc o s()i s i n(),这也称为棣莫弗定理结合以上定理计算:c o s i s i n()c o s i s i n()(结果表示为abi,a,bR的形式)国际数学教育大会(I CME)是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议,第十四届大会将在上海召开,其会标如图,包含着许多数学元素主画面是非常优美的几何化的中心对称图形,由弦图、圆和螺线组成,主画面标明的I CME 下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数 ,也可以读出其二进制码(),换算成十进制的数是n,则 in(其中i为虚数单位)真题体验练 实战抢分(新高考卷,)已知z i,则z(z
7、i)()A iB iC iD i(新高考卷,)复数 i i在复平面内对应的点所在的象限为()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(全国乙卷,)设(zz)(zz)i,则z()A iB iC iD i(全国甲卷,)已知(i)z i,则z()A iB iC iD i微点特训数学(新)a(),aaa(a),所以D(X)E(X),D(X)E(X),故选项C正确,选项D错误 B 因为随机变量N(,),且P()P(a),则a,可 得a,xaxxxx x()x(x)xxx x()xxx x,当且仅当x时,等号成立,所以,xax(xa)的最小值为 A B 随机变量X服从两点分布,其中P(X),P(X),E(
8、X),D(X)()(),在A中,P(X)E(X),故A正确;在B中,E(X)E(X),故B正确;在C中,D(X)D(X),故C错误;在D中,D(X),故D错误故选A B B D 设取球次数为,可知随机变量的可能取值有、,则P(),P(),P()对于A选项,抽取次后停止取球的概率为P(),A选项错误;对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P()P(),B选项正确;对于C选项,取球次数的期望为E(),C选项错误;对于D选项,取球次数的方差为D()()()(),D选项正确故选B D 至多有人成为无症状感染者包括人成为无症状感染者,人成为无症状感染者,人成为无症状感染者三种情况,且每
9、种情况间是互斥的,所以所求概为C()C()C()()故答案为:抽取次品数满足超几何分布:P(k)CkCk C,故P()CC C ,P()CC C ,P()CC C ,其期望E(),故E()E()真题体验练 实战抢分 D 考查对正态分布概念和性质的理解,属于简单题因为,该物理量在一次测量中落在(,)的概率大于落在(,)的概率,故D不正确;P()CCmnCmnCmn,所以mnP(一红一黄)CCmCmnm mm,所以n,则mnP(),P()CCC,P()CC ,E()微点特训 复数考点对点练 保分必拿 C 由 题意,可得za ia ii(a i)(a i)(a i)i(a)aiai aaaa()ia
10、a(a)ai,有a,故选C B 由(i)z i得,z i i(i)(i)(i)(i)i i i i i,所以复数z的实部为 B 若z、z皆是实数,则zz一定不是虚数,因此当zz是虚数时,则“z、z中至少有一个数是虚数”成立,即必要性成立;当z、z中至少有一个数是虚数,zz不一定是虚数,如zz i,即充分性不成立 B 因为z(i)i,z i i(i)(i)(i)(i)ii,所以复数z的共轭复数为i,所以复数z的共轭复数的虚部为 Az(ai)i ia i i(a i)(i)(i)(i)aai,因为z为纯虚数,所以ax,a,得a,所以z i Cm,m,m,此时l g(m)可正、可负,m D 因为(x
11、)yi是虚数,所以y,又因为|(x)yi|,所以(x)y因为yx是复数xyi对应 点 与 原 点 连 线 的 斜 率,所 以yx()m a xt a nA O B,所以yx的最大值为 i;依题意z iiz iz i,所以z i,|z|,故答案为:i;D i i(i)(i)(i)(i)i i Cz i i i i i i,|z|,故选C A 因为i()ii i,所以 i abi,则a,b,所以ab,故选A A 由题意可知za i,所以zz(a i)(a i)a,故a或 微点特训数学(新)Cza i i(a i)(i)(i)(i)aai,因为|z|,所以a()a(),解得a,因为a,所以a A B
12、 C 由z i i(i)(i)i,故A正确;由z在复平面内对应的点为(x,y),则|z i|x(y)i|,即x(y),则x(y),故B正确;设复数zabi,则zabi,所以zz(abi)(abi)ab,故C正确;复数z i的虚部是,故D不正确故选A B C D(i)i,(i)i,(i)(i)i,(i)(i)i,(i)(i)(i)i,(i)(i)(i)i,(i)(i)因为zz,所以z,设zabi,则zaba bi,故ab,a b,联 立aba b,解 得a,b,则|z|ab素养提升练 高分必抢 Beic o s i s i n i,所以eii|i|故选B A 由题得z i(i)(i)(i)i,所
13、以zi,所以在复平面内z的共轭复数对应的点为(,),在第一象限 D 因为z i(i)i i i i i i i i i i,所以z i,|z|(),所以|z|z i,|z|z在复平面内对应的点的坐标为(,)位于第一象限 A 因为|z|z|,所以|z|,|z|(负舍)因此复数z的对应点的轨迹是以原点为圆心以为半径的圆,选A C 当z时,zzR,所以选项A错误;当z i,n时,zn i,所以选项B错误;设zxyi(x,yR),则zxyi,则|z|xy|z|,所以选项C正确;由zz得z,解得z i,故选项D错误 C 由条件知z i i i(i)i,A错误;|z|,B错误;zz(i)(i),C正确;z
14、(i)i,D错误故选C D 因为|z i|表示以点为M(,)为圆心,半径R 的圆及其内部,又|z i|表示复平面内的点到N(,)的距离,据此作出如下示意图:所以|z i|m a xMNR()(),故选D B 由za i i(a i)(i)(i)(i)a(a)i,因为复数za i i(i是虚数单位,aR)是纯虚数,z(a i)(i)(a)(a)i所以a得a所以z i,则Z(,),由于|z|,故设Z(x,y)且xy,y,所以|Z Z|x(y)xyyy,故Z与Z之间的最小距离为 A C 依题意|z|()(),故A选项正确,B选项错误z i,C选项正确z(i)i i i,D选项错误 B C D 因为,
15、所以,所以 c o s,所以c o s,所以A选项错误;当sin,()时,复数z是实数,故B选 项 正 确;|z|(c o s)(s i n)c o s c o s,故C选项正确;zc o s i s i nc o s i s i n(c o s i s i n)(c o s i s i n)c o s i s i nc o s,z的实部是c o s c o s,故D选项正确 i c o s i s i n()c o s(i s i n)()c o s()i s i n()c o s i s i n()i i 由题意,将八进制数 换算成十进制的数得:,i i (i)(i)真题体验练 实战抢分 Cz(z i)(i)(i i)(i)(i)i i i i,故答案选C A 考查复数的四则运算和复平面内点的对应关系,属于简单题 i i(i)(i)(i)i i对应点为,(),位于第一象限 C 设zabi,则zabi,代入得abi i得a,b,z i B 由(i)z i,得z i(i)i i i,故选B微点特训数学(新)