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1、数学答案 第 1页 共 7页广东省广东省 2023 届高考综合能力测试(三)数学参考答案与评分标准届高考综合能力测试(三)数学参考答案与评分标准1.【解析解析】A；由AB R 可知BR和A无公共部分,画图可知AB,ABA,ABB.2.【解析解析】D；依题意得23iz ,123 i3 i3 i86i43i3 i3i3 i1055zz .3.【解析解析】C；如图,过点A作底面的垂线,垂足为B,过点B作底棱的垂线,垂足为C,考虑ABC,结合题干条件即可得2AC,即正四棱台侧面的高为2,根据梯形的面积公式可得该正四棱台的侧面积为12 2,其表面积为2012 2.4.【解析解析】B；依题意得2133AC
2、ABAM ,所以32ACABAM ,即32AMACAB ,所以2AM 229124ACAB ACAB 229(2 2)12 2 2 2 cos4 2A 40,所以|2 10AM ,即2 10AM 5.【解析解析】B；根据题意,53223232lg232lg232 0.30109.6320.6329521212101010101010F ,因为0.63211010,所以5F的位数至少是10位,53323233lg233lg233 0.3010521212101010F 9.9330.9339101010，因为0.9331 1010,所以5F的位数最多是10位，综上可知5F的位数是 10 位.事实
3、上,54294967297641 6700417F.6.【解析解析】C；不妨设 sinf xx,因为 f x的图象关于直线3x对称,所以32k,k N,所以33,2kkN,又 f x在0,6上是单调函数,所以124,故03,故32.7.【解析解析】D；依题意得,0Fc,设直线MN方程为3xyc,由椭圆离心率33cea可得223ac,又222abc,所以222bc,故椭圆E：2222132xycc,即2222360 xyc,设11(,)M x y,22(,)N xy,联立22223603xycxyc,消x整理得2294 340ycyc,所以124 39cyy,21249cyy,又由MFFN得21
4、2122112()12yyyyyyyy ,所以2248181249cc ,整理得231030,解得3或13(舍去)8.【解析解析】B；以 10 个一组为例,每组 10 个样本.在一组中,检测 1 次的概率为1010(1)0.99p,检测 11次的概率为10101(1)10.99p,这一组检测的期望值为1011 10 0.99,因为一共有10组,所以总的检测次数的期望值为10110 100 0.9919.6；同理可得以5个一组的期望值为：5120 100 0.9924.9,以20个一组的期望值为20105 100 0.9923.2,而逐个检验的期望值为 100.9.【解析解析】BD；对选项 A,
5、只有0ab才正确,所以 A 错误；因为22aabb,所以 B 正确；C数学答案 第 2页 共 7页选项,当4,1ab,1c,2d 时,结论不正确,所以 C 错误；对于 D 选项,根据不等式的性质可知,结论正确.10.【解析解析】BC；设APB,则可得PAB的面积215sinsin22Sl,当2时,S取到最大值,故选项A错误；PAB的周长22 5ClABAB,当AB为O的直径时,AB取到最大值,此时PAB的周长取到最大值2 54,故选项 B 正确；设AB的中点为M,连接PM,OM,结合题干条件易知PMO为平面PAB与底面所成角,其中tanOPPMOOM,在O内,当2AB 时,3OM,1OP,即可
6、得3tan3PMO,即可得平面PAB与底面所成角为定值,故选项 C 正确；在圆锥OP中,设母线l与底面的夹角为,可知2 5cos5,对任意一条母线,存在直线lO ,且使得l与l夹角的余弦值为2 55,当AB与l平行时,AB与母线l的夹角的余弦值为2 55,故选项D 错误.11.【解析解析】ABC；设动圆Q圆心为(,)x y,11(,)A x y,11(,)B x y,0(,1)D x,依题意得：22(1)|1|xyy,即的方程为24xy,故 A 正确；由24xy得,214yx,所以12yx,所以切线DA的方程为：1111()2yyx xx,即21111122yx xxy,又211=4xy,所以
7、1112yx xy,同理可得切线DB的方程为2212yx xy,又切线DA,DB经过点0(,1)D x,所以1011+12yx x,2021+12yx x,故直线AB的方程为0112yx x,所以直线AB过定点(0,1)F,故 B 正确；联立021124yx xxy消y整理得20240 xx x,故1202xxx,124x x ,1212x xy yOA OB 12010211(+1)(+1)22x xx xx x201201211(1)()142xx xx xx30 ,所以AOB为钝角,故 C 答案正确；由于直线AB恒过抛物线焦点(0,1)F,设AB中点为M,过,A M B向直线1y 作垂线
8、,垂足分别为A、M、B,连结AM、BM,由抛物线定义AAAF,BBBF,所以11()()22MMAABBAFBF12AB,所以以AB为直径为圆与直线1y 相切,故 D 错误.12.【解析解析】CD；令211()()()lnxF xf xg xaxaxex,求导得1211()2xF xaxexx.易知(1)0F,根据导数定义可得(1)210Fa,即有12a.反之,当1,)2a时,易得221(1)(1)2a xx在1,)内恒成立,2111()(1)ln2xF xxxex.令右侧函数为()h x 数学答案 第 3页 共 7页2111(1)ln2xxxex,求导得1211()xh xxexx21112
9、20 xxxxxx.又(1)0h,所以()0h x,即对应结论成立,综上,a的取值范围是1,)2,故 CD 满足题意.13.【解析解析】36；所求为234336C A.14.【解析解析】31f xxx(答案不唯一)15.【解析解析】3；依题意得sin22sincos2 cos22cos2,又,02,sin02,所以22cos22cos,即1 cos2 cos,所以1cos2,又,02,故3,tan3.16.【解析解析】255256；第一次构造得11Rt ABC的面积为12,第二次构造得22Rt A B C的面积为14,第三次构造得33Rt A B C的面积为18,以此类推,第n次构造得Rtnn
10、A B C的面积为12n,每构造一次,nCB绕点C顺时针旋转45,故当360845n 时构造停止,此时构造出的所有等腰直角三角形的面积之和为231112228811255122256.17.【解析解析】(1)证明：当1n 时,211121aa S,即211a,所以211S；1 分当2n 时,1nnnaSS,所以21121nnnnnSSSSS,3 分整理得2211nnSS,所以2nS是以1为首项,公差为 1 的等差数列.5 分(2)证明：由(1)可得2nSn,又0na,所以0nS,故nSn.6 分因为11222(1)21nnnSnnnn ,8 分所以1002(101100)(10099)(21)
11、2(101 1)18T,即10018T.10 分18.【解析解析】(1)解法一：(等体积法)如图,连接1DC,1EC,考虑三棱锥1FDEC的体积.因为三棱柱111ABCABC为直三棱柱,即可得1CC 底面ABC,所以1CCBC.又因为ABC为等腰直角三角形,可得BCAC,又由1CCACC.从而可得BC 平面11ACC A,又因为11/BCBC,所以1FC 平面1DEC2 分所以11113F DECDECVSFC,其中13DECS,11FC,即可得11F DECV.3 分由等体积法得1113F DECCDEFDEFVVSh,4 分数学答案 第 4页 共 7页考虑DEF,5DE,3DF,3 2EF
12、,从而可得412DEFS.5 分综上可知6 4141h,即点1C到平面DEF的距离为6 4141.6 分解法二：(向量法)以点C为原点,建立空间直角坐标系如图所示.1 分点D,E,F,1C的坐标分别为(2,0,2),(1,0,0),(0,1,4),(0,0,4)2 分设平面DEF的法向量为,x y zm,则00DEDFmm,即20220 xzxyz 令1z,可得2,6,1 m.4 分易知向量1(1,0,4)EC ,向量1EC 在向量m的投影为16 4141EC mm.5 分即可知点1C到平面DEF的距离为6 4141.6 分(2)在上述解法 2 的基础上,设点平面CDF的法向量为(,)x y
13、zn则可得00CDCF nn,即有22040 xzyz.令1z,可得1,4,1 n.8 分所以9 82cos,82m nm nmn.11 分所以平面DEF与平面CDF夹角的余弦值为9 8282.12 分19.【解析解析】(1)由3cosCb,3sinBc得31sincosBcCb,1 分由正弦定理得31sinsincossinBCCB,因为1sin0B,所以3tanC,因为0C,所以3C,3 分由ac3得21sin33sinCA,所以6A或56A(舍去),所以6A.5 分(2)法一:法一:设xa,则xc3,由三角形性质得232232x,由余弦定理xxxxxC488316cos222,7 分22
14、42166432cos1sinxxxCC,9 分所以64322116643242124224xxxxxxSABC,11 分所以当4x时,ABC面积的最大值为34.12 分数学答案 第 5页 共 7页法二:法二:以AC所在直线为x轴,AC中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy,则)0,2(A,)0,2(C,设),(yxB,由ac3得2222)2(3)2(yxyx,7 分化简得)0(12)4(22xyyx,8 分所以点B的轨迹是以)0,4(为圆心,32为半径的圆(剔除该圆与坐标轴交点),9 分B到x轴的最大距离为圆的半径长32,即B到边AC的最大距离h为32.10分所以ABC面积的最大值14 32b
15、h.12 分20.【解析解析】由题意,可得10(0.0100.0300.0160.008)1ba,即0.036ab,1 分又由平均数为77分,可得10(0.010 55650.030 750.016 85950.008 105)77ba ,即65952.7ba,联立方程组7.29565036.0abba,解得0.012,0.024ab.3 分因为前250名进入复赛,在1000名大学生中占比前25%,原问题等价于估计频率直方图中的75百分位数.经统计,落到区间50,60),60,70),70,80),80,90)的概率分别为0.1,0.24,0.3,0.16.因为0.10.240.30.750.
16、10.240.30.16,所以75百分位数在区间80,90)内,为0.750.6455801080+870.168,5 分由此估计进入复赛的分数线为87分(注:回答86分也可以得分).6 分(2)由题知,321P,3115731)1(54111nnnnPPPP,8 分所以1575()8158nnPP，又0241851P，所以58nP是以241为首项,157为公比的等比数列.10 分所以1517()82415nnP,即1)157(24185nnP,11 分故910)157(24185P.12 分21.【解析解析】(1)因为双曲线C的离心率2cea,所以222222cabaa,所以ab,2 分又因
17、为12MFF是正三角形,所以2 63c,所以2 2c,3 分又2228abc,解得2ab,所以双曲线C的方程为22144xy.4 分(2)1211SS存在最小值.设直线直线AB的方程为xmyt,5 分联立22144xmytxy,消x并整理得222(1)240mymtyt,6 分依题意得210m ,2 22244(1)(4)0m tmt,即2244mt,7 分数学答案 第 6页 共 7页由于双曲线C的渐近线方程为yx,所以OAOB,8 分联立xmytyx解得：11txmtym,所以,11ttAmm联立xmytyx 解得：11txmtym,所以,11ttBmm,9 分所以2222114422422
18、1111OABtttmSOA OBmmmm,即124OABSSS,11 分所以1221212121211441()2SSSSSSS SS S,当且仅当12SS时=“”成立.所以1211SS存在最小值,且最小值为1.12 分22.【解析解析】(1)fx的定义域为0,),当0n 时,1()exf xmx,1()e2xmfxx,1 分当0m 时,()0fx,所以()f x在0,)上单调递增,所以()(0)ef xf,此时()f x无零点，即()f x有 0 个零点；2 分当0m 时,令1()e2xmg xx,则321()e04xmg xx,所以()g x在0,)上单调递增,又0 x 时,()g x
19、,x 时,()g x ,所以存在0(0,)x,使得0()0g x,即010e02xmx,0102exmx,当0(0,)xx时,()0g x,即()0fx,所以()f x单调递减,当0(,)xx时,()0g x,即()0fx,所以()f x单调递增,所以1021min00()()exf xf xmx00110e2exxx010e(12)xx,当01 20 x,即012x 时,min0()()0f xf x,此时32em,()f x有 1 个零点；3 分当01 20 x,即012x 时,min0()()0f xf x,32em,又(0)e0f,x 时,()g x ,所以()f x在0(0,)x和0
20、(,)x 上各有一个零点,即()f x有 2 个零点；4 分当01 20 x,即0102x时,min0()()0f xf x,此时302em,()f x无零点,即()f x有 0个零点；5 分综上所述,当32em 时,()f x有 0 个零点；当32em 时,()f x有 1 个零点；数学答案 第 7页 共 7页当32em 时,()f x有 2 个零点.6 分(2)因为函数()f x有零点,设1x为函数()f x的一个零点,即1()0f x,由(1)知10 x,所以1111esin0 xm xnx,即1111esinxm xnx,所以11 2221111(e)(sin)(sin)xm xnxm
21、xnx,7 分令()sin(0)h xxx x,所以()1 cos0h xx,所以()h x在(0,)上单调递增,所以()(0)0h xh,即sinxx.当0,1x时,sinsinxxx；1,x时,sin1xx,故都有sin xx,8 分又因为sin0,1x,故2sinsinxxx,故sin xx所以22222111111(sin)()2mxnxmxnxmnxmnx9分所以1122222211eee22xxmnxx10 分令2e()(0)2xp xxx,所以22222e212e22e()42xxxxxp xxx,令()0p x得12x,当1(0,)2x时,()0p x,()p x单调递减,当1(,)2x时,()0p x,()p x单调递增,所以min1()()()e2p xp xp,所以2ee2xx,11 分所以122231eeeee2xx,所以223emn.12 分