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1、理科数学试卷 第 1 页（共 4 页）理科数学试卷 第 2 页（共 4 页）装 订 线 学校：班级：姓名：准考证号：2022 年高三 11 月大联考（全国乙卷）（旧教材）理科数学 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本
2、试卷上无效。项是符合题目要求的 1已知集合=+=Ax x|20，=Bx x|032，则R=AB()Axx|33 Bxx|33 C2 Dxx|03或=x2 2命题“+xaxx1,3,102”的否定是 A+xaxx1,3,102B+xaxx1,3,100002C+xaxx1,3,100002D+xaxx1,3,102 3 已知a，b，c为实数，且ab0，有下列结论：若ab，则ab|，则ab22；+ab222的充要条件是+ab2；若ab，则acbc22其中不正确的结论的个数为 A1 B2 C3 D44函数=g xxx()25sin的部分图象大致是 ABC D5已知=alog 113，=b20.8，=
3、c0.80.5，则 Acba Bcab Cbac Dacb 6如图，在ABC中，=AB1，=AC2，=BAC120，=BDBC，若ADAC，则=A61B51C52D417北京 2022 年冬奥会奖牌“同心”，表达了“天地合，人心同”的中华文化内涵奖牌正面设计源于古代同心圆玉璧，背面设计的视觉灵感来自周髀算经中的“七衡六间图”“七衡六间图”上有 7 个间隔等分的同心圆，每一圆为一“衡”，衡与衡之间称为“间”，一间为定值，相当于“一万九千八百三十三里又一百步”，每一衡表示太阳在不同季节的运行轨道若各衡的直径由小到大构成数列an，其前 n 项和为Sn，=n1,2,7，且+=aa24，+=aa35，则
4、=S6A+B+4()5 C+2()3 D+2()8已知函数=+f xAx()sin(4)(0)的图象与y轴的交点为(0,3)，且关于直线=x24对称，将f x()图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 2 倍，得到函数g x()的图象，则函数g x()在区间120,上的最大值为 A21B1 C3D29已知函数=+f xxx()log(23)22，若+f afa(3)(13)，则实数a的取值范围为 A+2,)1 B 2(,1 C2,31 D+2(,3,)110刍甍，中国古代算术中的一种几何体，九章算术中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也；甍，屋盖也”翻译为“底面有长又有宽为
5、矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍的字面意思为茅草屋顶”现有一刍甍如图所示，四边形ABCD为矩形，ADE和BCF均为等边三角形，EF底面 ABCD，且EFAB.若AFFC，=AB2 3，=AD2，则=EF 理科数学试卷 第 3 页（共 4 页）理科数学试卷 第 4 页（共 4 页）/装 订 线 考生注意清点试卷有无漏印或缺页，若有要及时更换，否则责任自负 A34 3 B32 3 C2 D1 11已知等腰三角形ABC，BC是底边，点D满足=ADDC，=BD2.当ABC的面积取得最大值时，底边BC上的中线长为 A2 B2 2 C2 3 D4 12 已知定义在+(0,)上的函数f x()具有二阶导数
6、f x()（f x()的导函数的导函数）且f x()0，若=+xfxaxxxxf x()ln()2，其中 fx()是f x()的导函数，则实数a的取值范围是 A+2 e,)13 B+3 e,)2 C 2(,e3 D 3(,2 e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13写出一个满足下列条件的函数：f x()的导函数为偶函数；f x()的导函数在+x(0,)上单调递减则=f x()_ 14 已知向量=AB(2,2)，=BC(cos,sin1)，若A B C,三点共线，则=sin2_ 15已知数列an 的前 n 项和为Sn，+=aa812，=+naSnn121，则数列an
7、的通项公式为_ 16已知四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，=ABACBCCDBD2,2，若二面角ABCD为钝角，且三棱锥ABCD的体积为21，则球O的表面积为_ 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，CDAB，=BAD90，=ABADDCPD222，M，N分别是AD，PB的中点 （1）求证：MN平面PCD；（2）若Q为侧棱PB上靠近 B 的三等分点，求证：AQPC 18（12 分）记ABC的内角A B C,的对边分别为a b c,，已知=+BaBcbCcos(3tan)cos
8、（1）求角B；（2）若ABC的面积Sa c421122，求b的最小值 19（12 分）记 数 列an 的 前n项 和 为Sn，数 列bn 的 前n项 积 为Tn 已 知a=11，=+nSSnnn111n(2)，=Tnnn2232（1）求数列an，bn 的通项公式；（2）若=+cabnnnn(1)(2log)2，求数列cn的前n项和Cn 20（12 分）已知=+f xaxaaxxx3()(2)e132（1）讨论函数f x()的单调性；（2）若f x()在(0,1)上有极值h a()，确定实数a的取值范围，并证明 +ah aa3()242 21（12 分）在斜三棱柱ABCABC111中，=ABBB
9、11，点E为B B1的中点，点O在ABC内，且OB1平面ABC，面平OEABC1（1）求证：ABAC11；（2）若ABB1为等边三角形，且=ACAB24，=BO21，求二面角ACCB11的余弦值 22（12 分）已知函数Z=+f xxxxaxa()(ln3cos)()23（1）若=a1，判断f x()在(0,)上的零点个数；（2）若f xxxx()3 cos2恒成立，求a的最大值 理科数学 全解全析及评分标准 第 1 页（共 10 页）2022 年高三 11 月大联考（全国乙卷）（旧教材）理科数学全解全析及评分标准 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个
10、选项中，只有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C B A B C C C A B D 1A【解析】由题可得2A ，|3Bx x 或3x，则|33BxxR，所以()|33xxAB R，故选 A 2B【解析】根据全称命题的否定为特称命题，可知命题“21,3,10 xaxx ”的否定是“20001,3,10 xaxx”，故选 B 3C【解析】当 0 ab时，11ab，故错误；因为|0ab，所以22ab，故正确；当1ab 时，2ab，故错误；当0c 时，22acbc，故错误.所以不正确的结论的个数为3，故选 C 4B【解析】由()25sin()gxxx
11、g x ，得()g x25sin,xx xR为奇函数，则函数()g x的图象关于原点对称，排除 C，D 选项；又()25cosg xx，令()0g x，解得2cos5x，可知存在0(0,)2x，使02cos5x，且当0(0,)xx时，()0g x，函数()g x单调递减，排除 A 选项，故选 B 5A【解析】因为33log 11log 92a，0.50.8222b122，0.50.50.550.8()224c，所以cba故选 A 6B【解析】由题意，知()(1)ADABBDABBCABACABABAC .因为ADAC，所 以21(1)(1)2(1)()45102AD ACABACACAB AC
12、AC ，解 得15，故选 B 7 C【解 析】由 题 可 知，数 列na为 等 差 数 列，由24aa，35aa，得1624352()aaaaaa，所以162aa，则1666()2aaS3()2故选 C 8 C【解析】因为函数()f x的图象关于直线24x 对称，则()sin()246fAA，即sin()16，则62k，k Z，2,3kk Z，又因为0，所以23，此时2()sin(4)3f xAx 又因 为23(0)sin332fAA，所 以2A，所 以2()2sin(4)3f xx，根 据 题 意 得 理科数学 全解全析及评分标准 第 4 页（共 10 页）因为M，N分别是AD，PB的中点，
13、所以EN，EM分别是PAB和PAD的中位线，所以ENAB，EMPD.（1 分）又CDAB，所以CDEN.又CD 平面,PCD EN 平面PCD，所以EN平面PCD.同理可得EM平面PCD，又ENEME，所以平面MNE平面PCD.（3 分）因为MN 平面MNE，所以MN平面PCD（5 分）（2）方法一：由题意知，,DP DA DC两两垂直，所以以D为坐标原点，,DA DC DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，（6 分）由题意可得2 4 2(1,0,0),(,),(0,0,2),(0,1,0)3 3 3AQPC，（8 分）则1 4 2(,),(0,1,2)3 3 3AQ
14、PC ，（9 分）所以142()01(2)0333AQ PC ，所以AQPC.（10 分）方法二：过点Q作QFPC交BC于点F，连接AF，则13QFBFBQPCBCBP，由已知条件，知PD 平面ABCD，则PDAB，因为90BAD，所以ADAB.又ADPDD，所以AB 平面PAD，所以PAAB（6 分）理科数学 全解全析及评分标准 第 5 页（共 10 页）连接 AC，因为222ABADDCPD，由勾股定理得，5PAPC，3PB，2BCAC，所以222ACBCAB,所以ACBC.因为13QFBFBQPCBCBP，所以2PQ，2 23CF，53FQ，（8 分）在RtACF中，222826299A
15、FACCF，在RtABP中，5cos3PAAPBPB，在APQ中，由余弦定理知2222cosAQAPPQAP PQAPQ5207542 529333 所以222AFAQQF，则AQQF，所以AQPC（10 分）说明：1.第一问中直接由线线平行推得面面平行扣 3 分.2.本题可以第（1）问也可以建系求解即设平面PCD的法向量为n，求证0MN n即可.18（12 分）【解析】（1）由cos(3tan)cosbCaBcB，得(3cossin)coscosaBBbCcB，（1 分）结合正弦定理，并化简得sin(3cossin)sincossincosABBBCCB=sin()sinBCA.（3 分）因
16、为(0,)A，所以sin0A，所以3cossin1BB，（4 分）即2cos()16B，所以1cos(),62B 又(0,)B，所以63B，解得6B （6 分）（2）因为221111sin2442SacBaca c，所以2220a cac，即(1)(2)0acac，所以2ac （8 分）由余弦定理得22223(23)42 3(31)bacacac，理科数学 全解全析及评分标准 第 6 页（共 10 页）所以31,b 当且仅当2ac时取等号，所以b的最小值是31（12 分）说明：1.第（1）问未备注角 B 的取值范围扣 1 分.2.第（2）问当且仅当没有写或者 a，c 的值计算错误扣 2 分.3
17、.第（2）问结果写为42 3b 不扣分.19（12 分）【解析】（1）当2n 时，由111nnnSSn，得1(1)(1)nnSSnnn n，（1 分）所以数列(1)nSn n 是常数列，即11(1)1(1 1)2nSan n，所以(1)2nn nS，（2 分）所以当2n 时，1nnnaSSn，当1n 时，也满足上式，所以nan（3 分）当2n 时，212nnnnTbT，（4 分）当1n 时，1112bT，符合上式，（5 分）所以22nnb（6 分）（2）由（1）知2(1)(2log)(1)(32)nnnnncabn ，（7 分）2(1)1(1)4(1)(32)nnCn ，两边同时乘以1，得23
18、1(1)1(1)4(1)(32)nnCn ，以上两式作差，得 231213(1)(1)(1)(1)(32)nnnCn 111(1)13(1)(32)1(1)nnn 111(1)(3)22nn 11(1)(3)22nn，（11 分）所以161(1)44nnnC （12 分）说明：1.第（1）问未验证 n=1，各扣 1 分.2.第（1）问中，求nS的另一种解法：当2n 时，111nnSnSn，累乘法得1(1)2nSn nS，（2 分）又11S，所以(1)2nn nS.（3 分）3.第（2）问中的另一种解法：由（1）知2(1)(2log)(1)(32)nnnnncabn ，（7 分）理科数学 全解全
19、析及评分标准 第 7 页（共 10 页）1471013(1)(32)nnCn ，使用并项法求和.当n为偶数时，32nnC；（9 分）当n为奇数时，3(1)13(32)22nnnCn，（11 分）所以3,213,2nnnCnn为偶数为奇数（12 分）20（12 分）【解析】（1）因为321()(2)e3xf xaxaaxx，所以2()(2)e2(2)(e)xxfxaxaxxaxx，（1 分）设()exg xx，则()e1xg x，当(,0)x 时，()0g x，()g x单调递减，当(0,)x时，()0g x，()g x单调递增，所以()(0)10g xg，（3 分）若0a，则()0fx，()f
20、 x在R上单调递减，（4 分）若0a，则当2(,)xa 时，()0fx，()f x单调递减，当2(,)xa时，()0fx，()f x单调递增，（5 分）若0a，则当2(,)xa 时，()0fx，()f x单调递增，当2(,)xa时，()0fx，()f x单调递减（6分）综上，当0a 时，()f x在R上单调递减，当0a 时，()f x在2(,)a上单调递减，在2(,)a上单调递增，当0a 时，()f x在2(,)a上单调递增，在2(,)a上单调递减（7 分）（2）由（1）知，若()f x在(0,1)上有极值，则201a，2a，即a的取值范围是(2,)，（9 分）易知2224()()e3ah a
21、faaa，（10 分）由（1）知0 x 时，e1,e1xxxx，所以22e1aa，2e2aaa ，所以24()23h aaa （12 分）说明：1.第（1）问学生未严格说明exx，扣 1 分；未说明扣 2 分.2.第（1）问没有综上所述，扣 1 分；未写成区间或者集合形式扣 1 分.理科数学 全解全析及评分标准 第 8 页（共 10 页）21（12 分）【解析】（1）如图，连接 BO 并延长交 AC 于点 D，连接1B D，因为OE平面1ABC，OE 平面1BB D，平面1ABC 平面11BB DB D，所以1OEB D.（1 分）因为E为1B B的中点，所以O为BD的中点，可得OBOD.（2
22、 分）连接OA，因为11ABB B，112BOABOB，11OBOB，所以11RtRtBOABOB，所以OAOB，即OAOBOD，（4 分）所以ABAC，因为11ACAC，所以11ABAC（5 分）（2）如图，以O为坐标原点，过点 O 作平行于 AB 的直线作为 x 轴，过点 O 作平行于 AC 的直线作为y 轴，以1OB所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得(1,1,0),(1,1,0),(1,3,0),ABC1(2,0,2),A1(0,0,2)B，1(2,4,2)C，则(0,4,0)AC，1(1,1,2)CC ，(2,4,0)BC ，（7 分）设平面1ACC的法向量为
23、(,)x y zn，由1,ACCC nn 得140,20,ACyCCxyz nn令1z，则0,2yx，所以平面1ACC的一个法向量为(2,0,1)n.（8 分）设平面11CC B的法向量为(,)a b cm，根据题意知，11(2,4,0)BCBC，由111,BCCC mm 得111240,20,abCBCCabc mm令2b，则4a，2c ，所以平面11CC B的一个法向量为(4,2,2)m，（9 分）设二面角11ACCB的平面角为，则为锐角，理科数学 全解全析及评分标准 第 9 页（共 10 页）所以|5 25 33|cos|33322n mn m，（11 分）所以二面角11ACCB的余弦值
24、为5 3333（12 分）说明：1.第（2）问建系描述不规范扣 1 分.2.第（2）问法向量计算方法正确但结果错误酌情给分.3.第（2）问最后结果为负扣 1 分.22（12 分）【解析】（1）当1a 时，32()(ln3cos)(ln3cos)(0)f xxxxxxxxxx，设()ln3cosg xxxx，则()g x在(0,)上的零点个数就是()f x在(0,)上的零点个数，（1 分）求导，得11()3sin2g xxxx，（3 分）当(0,)x时，110,3sin0,0,2xxx则()0g x，所以()g x在(0,)上单调递增，且(1)13cos113cos03g ，()ln30g，所以
25、()g x在(0,)上有唯一零点，即()f x在(0,)上有唯一零点（5 分）（2）由2()3 cosf xxxx得322ln0 xxaxx，因为0 x，所以分离参数a得ln xaxx，（7 分）设()h x ln xxx，则ln2()2xxh xx x，令()ln2xxx，则1()10 xx，所以()x在(0,)上单调递增，又(1)10,(2)ln20，所以0(1,2)x，使得0()0 x，（8 分）所以当0(0,)xx时，()0 x，当0(,)xx时，()0 x，又20 x x，所以当00 xx时，()0h x，()h x单调递减；当0 xx时，()0h x，()h x单调递增.所以当0 xx时，()h x取得最小值，所以0()(1)1h xh.（9 分）由()h x lnlnxxxxxx，可以设()lnm xxx，则1()xm xx，所以当(0,1)x时，()0m x，()m x单调递减，当(1,)x时，()0m x，()m x单调递增，所以()(1)10m xm，所以()0h x，（10 分）理科数学 全解全析及评分标准 第 10 页（共 10 页）所以00()1h x，（11 分）因为aZ，所以a的最大值为 0（12 分）说明：第（1）问没有这句话“()f x在(0,)上有唯一零点”不扣分.