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1、1 华中师大一附中华中师大一附中 20222022-20232023 学年度学年度上上学期高三年级期中检测学期高三年级期中检测 数学试题 本试题卷共4页，四大题。全卷满分150分，考试用时120分钟。请将答案填涂在答题卡上。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1已知复数 z 满足(1i)1 3iz+=，则复数 z=A1+2i B1+2iC12i D12i 2集合|cos0,Axxx=R，2|50Bxxx=R，则AB=A0,2 B0,2 C 2 D3,223ABC 中，tantan1AB 是ABC 为锐角三角形的 A充分不必要条
2、件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已函数()f x及其导函数()fx定义域均为 R，且()()0f xfx，()01f=，则关于x的不等式()xf xe的解集为A|0 x x B|0 x x C|1x x D|1x x 5已知0 x，0y，且2xy+=，则222+1xyxy+的最小值为 A52+B72C722+D56函数()2,04,0 xexf xxxx x=，方程()()20fxtf x=有 6 个不同的实根，则实数 t 的取值范围为 A4et B4t Cte D4et 7定义在(0,4)上的函数()f x满足(2)(2)fxfx=+，02x时()|ln|f xx
3、=，若()f xkx的解集为|0 xxa或4bx，其中ab，则实数 k 的取值范围为 Aln2(,)2+Bln2,)2+C1(,)e+D1,)e+2 8随着越来越多的家庭选择自驾到公园游玩，公园停车位严重不足。如图所示，公园里有一块扇形空地 AOB，其半径为 20m，90AOB=，C为弧 AB 的中点，要在其内接矩形 MNPQ（点 M、Q 分别在半径 OA、OB 上，点 N、P 在弧 AB 上，且 MNOC）上修建停车场，则停车场面积最大值为（单位：m2）A50 B25 C400(21)D400 2 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合
4、题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得2分，有选错的得 0 分 9设z为复数，,a bR，则下列说法正确的是 A若zab=+i，则z的实部和虚部分别为ab和 B设z为z的共轭复数，则zz=C22zz=D若z=3+i，nN，则z在复平面内对应的点位于第一象限或第四象限 10已知数列an的前 n 项和 Sn满足211(,)nSannb a bR nN=+，则下列说法正确的是 A0b=是an为等差数列的充要条件 Ban可能为等比数列 C若0a，bR，则an为递增数列 D若1a=，则 Sn中，S5，S6最大 11如图，ABC 中，13BDBC=，12AEAC=，AD 与 BE 交于点 F，则下列说
5、法正确的是 A1233ADABAC=+B1|2BFBE=CSBFD:SAFE=1:3 D20AFBFCF+=12函数()xaxf xe=和ln()xg xax=有相同的最大值 b，直线ym=与两曲线()yf x=和()yg x=恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为 x1,x2,x3，则下列说法正确的是 OMQPNABC FABCDE3 A1a=B1be=C1322xxx+=D2132x xx=三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 13已知向量a与b不共线，且3ab与2ab共线，则=_ 14函数()()2sin 206f xx=+在,2上单调递增，则的最大值为_
6、15函数()f x及其导函数()fx定义域均为 R，且(32)+fx是偶函数，记()()=g xfx，()1+g x也是偶函数，则(2022)=f_ 16设 A，B，C 是ABC的三个内角，ABC 的外心为 O，内心为 I0OI 且OI与BC共线若11tantantan22kABC=+，则k=_ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17函数()sin()(0,|)f xx=+的部分图象如图所示，其中 MN/x 轴（1）求函数()yf x=的解析式；（2）将()yf x=的图像向右平移4个单位，再向上平移 2 个 单位得到()yg x=的图像，
7、求()8g的值 18已知数列an满足11a=，*112(1)()nnaa nn+=+N （1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前 n 项和 19在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知2223()2sinabcbcA+=（1）求22sincosAB+的取值范围；（2）若 D 是AB边上的一点，且:1:2AD DB=，2CD=，求ABC 面积的最大值 4 20已知函数23()ln()f xax=+，aR （1）若()f x的定义域为|0,x xxR，值域为 R，求 a的值；（2）若0a，且对任意的1,13c，当12,2x xcc+时，总满足12|()()|ln2
8、f xf x，求a 的取值范围 21已知函数21()ln(4)2f xaxx=+（1）若6a=，求()fx在2,12上的最小值；（2）若()f x有两个不同的极值点 x1，212(x xx且11)x，且不等式1221ln2(1)2xtxxa恒成立，求实数 t的取值范围 22已知函数()ecossin1xf xxx=（e为自然对数的底数）（1）证明：当0,2x时，()0f x；（2）证明：()f x在区间(0,5)内有 4 个零点；（3）记（2）中的 4 个零点为1x，2x，3x，4x，且1234xxxx，求证：1423+xxxx 1 高三数学期中参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8
9、9 10 11 12 答案 D D C B C A B C AB ABD BCD ABD 13.6 14.1615.0 16.2 一、单选题一、单选题 1D解析：()11 3+=zii，()()221 311 324=112=+iiiizii1 2=zi，选 D 2D 解析：对于集合 A：,;2xkkZ=+对于集合 B：05x，AB=3,22选 D 3C 解析：tantan1AB，sinsintan0,tan0,1sinsincoscoscoscosABABABABAB()cos0,022ABABC+ABC 为锐角三角形，反之也成立。故选 C.4B 由题意知：()()()()(),0=xxf
10、xfxf xg xgxee，()g x在 R 上单调递减，()()()00 xxf xff xeee0 x，选 B 5 C 解析：2221xyxy+=2121xyxyxyxy+=+=1+()1 21122322yxxyxyxy+=+722+，2xy=时取等号 6A()()()21,0,xxexef xxfxxx=，()f x的单调递增区间为(),21,+和，()()20fxtf x=，则()()()00f xf xtf x=，有两解4,0 xx=或，则()f xt=有 4 解，则4et，选 A 7B 2 解析：由()(2)(2),fxfxf x=+图象关于2x=对称，当02x时，()lnf x
11、x=，易求当ykx=过()2,ln2时，ln22k=，当ykx=与()lnf xx=相切时，1ln22ke=()f xkx的解集为0,4xxabxab或其中ln22k 选 B 8C 解析：设NOD=，NP=40sin，MN=OD-OE=20cos20sin()()()220cos20sin40sin400 2sincos2sin400 sin2cos214002sin 214MNPQS=+=+()0,4002148MNPQS=时，最大值为 二、多选题二、多选题 9AB C：22zz，D：3ni+可能为3+i 3-i 4 2，z在复平面内对应的点位于第一象限或第四象限或实轴上 10ABD 解析：
12、111211,2,11nnnaSSananaSab=+=+，0b=是 na为等差数列的充要条件 0,11,11nnnabSn aa=，为常数数列，也为等比数列.121211,311,2aabaabaaa=+=+时，na不为递增数列 211,nSnnb=+对称轴为112n=，56,SS最大 11BCD 解析：A：根据 B、D、C 三点共线，BD：DC=1：2，2133ADABAC=+，A 错误 B：设BFBE=112222BABCBABC+=+=322BABD+，A、F、D 三点共线 3111,2222BFBE+=，B 正确 C：同理可得，34AFAD=，11sin,sin22BFDAFESBF
13、 FDBFD SAF FEAFE=:BFDAFESS=1：3 ，C 正确 D：11112224AFABAEABAC=+=+，31114444BFBDBABCBA=+=+，11112242CFCECBCACB=+=+，20AFBFCF+=3 选 BCD 12ABD 解析：()()()211 ln,xaxxfxgxeax=，0a 时，()f x在(,1)上单调递增，(1,)+上单调递减；()g x在()0,e上单调递增，(,)e+上单调递减.有相同的最大值()()11,1afg eaeae=，1be=由题意12312223lnln1xxxxxxeexxe=，21xe，20ln1x，101x，而()
14、xxf xe=在(0,1)上单调递增，由1122lnxxxex=，即1212lnlnxxxxee=可得12lnxx=3xe，3ln1x，21x，而()xxf xe=在(1,)+上单调递减，由2323lnxxxex=，即3232lnlnxxxxee=可得23lnxx=，即23,xxe=2221 3222lnxxx xx emxxm=选 ABD 三、填空题 136 解析：3,62=1416 解析：()f x在,2上单调，22，01，当,2x时，2(,2)666x+，01，666+，要满足()f x单调递增，则只需262+，解得106 150 解析：()32fx+是偶函数，()3 32fx+是奇函数
15、，()()32+320fxfx+=()fx关于（2，0）对称，()20f=，又()1g x+是偶函数，()fx关于1x=对称，()fx周期为 4，()()2022=20ff=162 证明：tan=,tan=,22IDIDBCBDCD11tantan22BDCDBCBCIDID+=，又tan=tan=BMBMABOMOMID=,2BCBM=,2k=4 四解答题 17解：（1）由图知，点 M与 N 间的最大值对应的横坐标为12263+=，设()f x的最小正周期为 T，则354123T=，得T=，则2=，2 分 把,13代入()f x中，即sin 213+=，得72(Z)6kk=+，因为|，故56
16、=，所以5()sin 26f xx=；5 分（2）由（1）5()sin 26f xx=，向右平移4个单位，再向上平移 2 个单位后得到 =()=2(4)56+2=(2+23)+2 7 分 所以(8)=(2 8+23)+2=423+423+2=624+2.10 分 18解：（1）由()1121nnaanNn+=+即11111122nnnnaaann+=+，故1112nnaann+=+，2 分 所以数列nan是首项为111a=，公比为12的等比数列，故1112nnan=，即112nnan=；6 分（2）01211111123.2222nnSn=+；8 分 12311111123.22222nnSn
17、=+上两式相减得012111111.222222nnnnS=+所以012-11112.2222nnnnS=+10 分 所以2442nnnS+=.12 分 19解：（1）由()22232sinabcbcA+=得：2223cos3sin2abccCAaba+=，即3 cossinaCcA=，由正弦定理得：3sincossinsinACCA=，又()0,sin03cossin,tan3AACCC=，()20,33CCAB=+=3 分 2A+2=122+1+22=1 122+122(23)5 =3=1sin 223A+，又62A，则24332,sin 2,333322AA+，故221 7sincos,
18、4 4AB+6 分(2)12,33ADc BDc=由ADCCDB+=，得222214449904833cbcaADCCDBcc+=+=，整理得22222123cab=+222abcab+=8 分 整理得22423642abababab+=+，所以6ab当且仅当22 3ab=时取得最大值，但此时三角形为直角三角形，不是锐角三角形。10 分 所以ABC面积的最大值不存在.12 分 注：由题目条件得1233CDCBCA=+,向量法同步给分。20解：（1）因为()f x的定义域为|0,，所以对任意0 x，32+0恒成立，即 32恒成立，因为20,x 所以-32 0，所以0a；2 分（或分别讨论0a和
19、a0 时，函数的定义域情况，同样可得0a）因为32+的取值范围是(),a+，又因为()f x的值域为 R，所以()()0,a+，所以0a，综上可知，0a=.4 分(2)由23()lnf xax=+可得()=6(3+2)，所以当0 x时，()0fx，()f x单调递增；当0 x 时，()0fx，()f x单调递减，（或由23()lnf xax=+的复合性质得到上述单调性）。所以函数()在,+2上为减函数，5 分 当1,2,+2时，满足()()12ln2f xf x，即：maxmin33()()()(2)lnlnln22f xf xfcfcaacc=+=+即2+(2+3)6 0 对任意的 13,1
20、 恒成立，7 分 设2()(23)6h cacac=+，0a，6 因为对称轴为c=2a+32a 0)，因为()在()0,+上有两个极值点，所以()=0在()0,+上有两个不相等的实根1,2（12xx且11x），则()()64800010auau=，解得0 6 或6 (2)2等价于1112(2)20 即()()2111211212ln01txxxxx+.6 分 当101x时，1112 0 ；当112x时，1112 0,故不符合题意。7 分 当2t 时，令()()2222p xtxxt=+，()2442t=，当0，即1t 时，()0hx，()h x在()0,2上为减函数.因为()10h=，所以当0
21、1x时，()0h x，12 0,则122+(2)(21)0；9 分 当12x时，()0h x，12 0 所以122+(2)(21)0对任意的()()0,11,2x恒成立.7 当0，即12t 时，二次函数()p x图象的对称轴方程为112xt=，且()1220pt=，令01min,22xt=，则当()01,xx时，()0p x，即()0hx，()h x在()01,x上为增函数.因为()10h=，()0h x，122+(2)(21)0，故不符合题意.11 分 综上所述，实数 t 的取值范围是(,1.12 分 另分离变量做法：解：()1221ln201axtxx整理得到11212ln21xxtx 2
22、 分 设22 ln()(021xxg xxx=且 x1），22222ln22ln2()(1)xxxxg xx+=设22()2ln22ln2,(1)0F xxxxxF=+=4 分 2()4 ln2,(1)0FxxxxFx=+=6 分 设222()4 ln2,(1)0,()4ln2,(1)0U xxxxUUxxUxx=+=+=.设23244()4ln2,(1)0,()0V xxVVxxxx=+=+，故()V x单调递增；()U x有最小值 0.9 分 故()F x单调递增，()1,1211xg xtt .12 分 22解：(1)证明：由条件可得()=e cose sincosxxfxxxx，设()
23、()=g xfx，则()()=e cose sine sine cos+sin=sin1 2exxxxxgxxxxxxx，1 分 0,2x,()0gx，()g x单调递减，又()00g=，()0g x，即()0fx，()f x单调递减，又()0=0f，()0f x.2 分（2）证明：由（1）当 (0，5)时，令()=0gx得=x，2，3，4，且()0,x，()g x单调递减；(),2x，()g x单调递增；()2,3x，()g x单调递减；()3,4x，()g x单调递增；()4,5x，()g x单调递减；3 分 又()00g=，()=1 e 0g，()33=1 e 0g，()55=1 e 0
24、g，存在(),2a，()2,3b，()3,4c，()4,5d使()()()()=0g ag bg cg d，4 分 且()0,xa，()()=0fxg x，()f x递增，(),xb c，()()=0fxg x，()f x递增，8 (),5xd，()()=0fxg x，()f x递减，5 分 又()()2 0f bf，()()3 4 0f df，()5+xxxx即证：422xx，即证422xx，7 分 4+3134+=e10322f，4+=20322f，2+=202f，22+,2+32x，422+,2+32x，8 分 又2+,2+32x，()fx递减，又2+2+331312+=ee03222f，()0fx，()f x在2+,2+32x单调递减，只需证()()422 f xf x，10 分 又()()()4422444442=ecos2sin21=ecossin1xxf xxxxx，又()4=0f x，所以444ecossin1=0 xxx，()()()444422444422=ecosecos=coseexx，所以422xx 综上可得1423+xxxx.12 分