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1、高二期中调研 数学试卷 第1页共 6 页 南京市南京市 20222023 学年度第一学期期中调研测试学年度第一学期期中调研测试 高高 二二 数数 学学 2022.11 注意事项：注意事项：1本试卷共 6 页，包括单项选择题(第 1 题第 8 题)、多项选择题(第 9 题第 12 题)、填空题(第 13题第 16 题)、解答题(第 17 题第 22 题)四部分本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟 2答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置 3回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答
2、案标号 回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的 1已知复数 z 满足(2i)z34i，则|z|A2 B 5 C5 D10 2已知直线 l1：4xmy20 和 l2：mxy10 平行，则实数 m A2 B0 C2 D2 3已知双曲线x2a2y241(a0)的焦距为 4 3，则该双曲线的渐近线方程为 Ay 2x By2x Cy22x Dy12x 4直线 l 与直线 y 3x
3、关于直线 yx1 对称，则直线 l 的倾斜角是 A12 B6 C4 D3 5我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面已知拟柱体的体积公式为 V16h(S4S0S)，其中 S，S分别是上、下底面的面积，S0是中截面的面积，h 为拟柱体的高一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行(如图)，下底面长 20 米，宽 10 米，堆高 1 米，上底长、宽比下底长、宽各少 2 米 现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为 4
4、 吨的卡车装运，则至少需要运（注注：1 立方米该建筑材料约重立方米该建筑材料约重 1.5 吨吨）A63 车 B65 车 C67 车 D69 车 10 20(第 5 题图)高二期中调研 数学试卷 第2页共 6 页 6已知，均为锐角，且 sin()2sin()，则tantan A13 B12 C2 D3 7已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的上顶点为 A，左、右焦点分别为 F1，F2，连接 AF2并延长交椭圆 C 于另一点 B，若 F1BF2B73，则椭圆 C 的离心率为 A14 B13 C12 D33 8在矩形 ABCD 中，AB3，AD2，E 为线段 CD 上的动点，过 B 作 AE
5、的垂线，垂足为 F，则 DFDA的最小值是 A1 B1613 C85 D4 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9甲、乙两城市某月初连续 7 天的日均气温数据如下图，则在这 7 天中，A乙城市日均气温的极差为 3 B乙城市日均气温的众数为 24 C甲城市日均气温的中位数与平均数相等 D甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定 10在平面直角坐标系 xO
6、y 中，已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 l：yx2 与抛物线 C交于 A，B 两点，则 A抛物线 C 的准线方程为 x1 B点 F 到直线 l 的距离为22 CAOB2 DAB10 11已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 P 为侧面 BCC1B1内一点，则 A当C1P13C1B时，异面直线 CP 与 AD 所成角的正切值为12 B当C1PC1B(01)时，四面体 D1ACP 的体积为定值 C当点 P 到平面 ABCD 的距离等于到直线 A1B1的距离时，点 P 的轨迹为抛物线的一部分 26 25 24 23 22 21 气温 C 1234567 高二期中调研 数
7、学试卷 第3页共 6 页 D当C1P12C1B时，四面体 BCDP 的外接球的表面积为 2 12过原点的直线 l 与圆 M：x2y22x2y160 交于 A，B 两点，且 l 不经过点 M，则 A弦 AB 长的最小值为 8 BMAB 面积的最大值为 4 2 C圆 M 上一定存在 4 个点到 l 的距离为 2 2 DA，B 两点处圆的切线的交点位于直线 xy160 上 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知 a0，若圆(xa)2y22 与圆 x2(ya)28 外切，则 a_ 14某班 15 名学生在一次测试中的得分(单位：分)如
8、下：9，10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，14，16，17，18 则这组数据的 70 百分位数是_ 15设函数 f(x)2xlogax8（a1）的零点为 x0若 x03，则 a 的最小值为_ 16已知抛物线 C：x24y 的焦点为 F，点 P 的坐标为(2，1)，动点 A，B 在抛物线 C 上，且 PAPB，则 FAFB 的最小值是_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本小题满分 10 分)在(sinBsinC)2sin2AsinBsinC，tanA
9、3bcb2c2a2，asinB 3bcosA 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题 问题：ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c3，cosB2 77，且_，求ABC 的面积 注：如果选择多个条件分别解答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分按第一个解答计分 高二期中调研 数学试卷 第4页共 6 页 18(本小题满分 12 分)如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，D 是棱 BC 上的点（不与点 C 重合），ADDC1(1)证明：平面 ADC1平面 BCC1B1；(2)若 ACCC12，求 CC1与平面 ADC1所成角的正弦值 19(本小题满分
10、 12 分)已知圆 M 过原点 O，圆心 M 在直线 yx1 上，直线 2xy0 与圆 M 相切(1)求圆 M 的方程；(2)过点 P(0，4)的直线 l 交圆 M 于 A，B 两点若 A 为线段 PB 的中点，求直线 l 的方程 A1 C1 B1 A C D B(第 18 题图)高二期中调研 数学试卷 第5页共 6 页 20(本小题满分 12 分)某篮球场有 A，B 两个定点投篮位置，每轮投篮按先 A 后 B 的顺序各投 1 次，在 A 点投中一球得 2 分，在 B 点投中一球得 3 分设球员甲在 A 点投中的概率为 p，在 B 点投中的概率为 q，其中0p1，0q1，且甲在 A，B 两点投
11、篮的结果互不影响已知甲在一轮投篮后得 0 分的概率为16，得 2 分的概率为13(1)求 p，q 的值；(2)求甲在两轮投篮后，总得分不低于 8 分的概率 21(本小题满分 12 分)已知圆 A：(x 3)2y216，B(3，0)，T 是圆 A 上一动点，BT 的中垂线与 AT 交于点 Q，记点 Q 的轨迹为曲线 C(1)求曲线 C 的方程；(2)过点(0，2)的直线 l 交曲线 C 于 M，N 两点，记点 P(0，1)问：是否存在直线 l，满足PMPN？如果存在，求出直线 l 的方程；如果不存在，请说明理由 高二期中调研 数学试卷 第6页共 6 页 22(本小题满分 12 分)已知双曲线 C
12、：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 3，左、右顶点分别为M，N，点P(1，1)满足PMPN1(1)求双曲线 C 的方程；(2)过点 P 的直线 l 与双曲线 C 交于 A，B 两点，直线 OP 与直线 AN 交于点 D设直线 MB，MD 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值 高二期中调研 数学试卷 第7页共 6 页 南京市南京市 20222023 学年度第一学期期中调研测试学年度第一学期期中调研测试 高二数学参考高二数学参考答案答案 2022.11 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 1B 2A 3C 4B 5B
13、 6D 7C 8A 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 9BC 10AB 11BCD 12ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 133 1413 15 3 1611 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分 17解：因为 cosB2 77，B 为三角形内角，所以 sinB 1cos2B217，选：(sinBsinC)2sin2AsinBsinC，展开得 sin2Bsin2Csin2AsinBsinC，由正弦定理得 b2c2a2bc，由余
14、弦定理得 cosAb2c2a22bc12，因为 A 为三角形内角，故 A60，所以 sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB322 77122173 2114，由正弦定理得bsinBcsinC，即b21733 2114，解得 b2，所以，ABC 的面积 S12bcsinA1223323 32 选：tanA3bcb2c2a2，由余弦定理得sinAcosA32cosA，故 sinA32，因为 A 为三角形内角，故 A60 或 120，当 A60 时，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB322 77122173 2114，由正弦定理得bsinBcsinC，即b2173
15、3 2114，解得 b2，所以，ABC 的面积 S12bcsinA1223323 32 当 A120 时，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB322 77122172114，由正弦定理得bsinBcsinC，即b21732114，解得 b6，所以，ABC 的面积 S12bcsinA1263329 32，综上，ABC 的面积为3 32或9 32 选：asinB 3bcosA，由正弦定理得 sinAsinB 3sinBcosA，因为 B 为三角形内角，所以 sinB0，从而 sinA 3cosA，显然 cosA0，所以 tanA 3，因为 A 为三角形内角，所以 A60 所以 s
16、inCsin(AB)sinAcosBcosAsinB322 77122173 2114，由正弦定理得bsinBcsinC，即b21733 2114，解得 b2，所以，ABC 的面积 S12bcsinA1223323 32 18解：(1)证明：在正三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC，因为 AD平面 ABC，所以 CC1AD 又 ADDC1，CC1DC1C1，CC1，DC1平面 BCC1B1，所以 AD平面 BCC1B1 又因为 AD面 ADC1，所以面 ADC1面 BCC1B1(2)在平面 BCC1B1中，作 CEDC1于点 E 由(1)可知 AD平面 BCC1B1，因为 CE平面
17、 BCC1B1，所以 ADCE，又 CEDC1，ADDC1D，AD，DC1 平面 ADC1，所以 CE平面 ADC1 因此CC1E 为 CC1与平面 ADC1所成的角 A1 C1 B1 A C D B E 因为在正三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 为正三角形，由 AD平面 BCC1B1，DC平面 BCC1B1，得 ADDC，所以 D 为 BC 的中点，DC1 在 RtC1CD 中，sinDC1CDCDC1DCDC2C1C21122255，即 sinCC1E55，所以 CC1与平面 ADC1所成角的正弦值为55 19解：(1)因为圆 M 过原点 O，且与直线 2xy0 相切，所以圆心 M 在
18、直线 y12x 上，又圆心 M 也在直线 yx1 上，联立 y12x 与 yx1，解得圆心 M(2，1)，所以半径 rOM 5，因此圆 M 的方程为(x2)2(y1)25(2)法一：设 A(x，y)，因为 A 为线段 PB 的中点，所以 B(2x，2y4)因为 A，B 在圆 M 上，所以(x2)2(y1)25，(2x2)2(2y5)25，解得x0，y2或x2413，y4213 当 A(0，2)时，直线 l 的方程为 x0；当 A(2413，4213)时，直线 l 的方程为 y512x4，即 5x12y480 综上，直线 l 的方程为 x0 或 5x12y480 法二：当直线 l 的斜率不存在时
19、，此时 l：x0，A(0，2)，B(0，0)，满足要求 当直线 l 的斜率存在时，设 l：ykx4，由ykx4，(x2)2(y1)25，得(1k2)x2(6k4)x80，由 0 得，k62 10或 k62 10，(*)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x246k1k2，x1x281k2 由 A 为线段 PB 中点，可得 2x1x2 由解得 x146k3(1k2)，x22(46k)3(1k2)，代入，得46k3(1k2)2(46k)3(1k2)81k2，解得 k512，符合(*)，所以直线 l 的方程为 y512x4，即 5x12y480 综上，直线 l 的方程为 x0 或 5x1
20、2y480 法三：设线段 AB 的中点为 C，则 PC3CB，即 PC29CB2，设圆心 M 到直线 l 的距离为 d，则 CB2r2d25d2，又 PC2PM2MC213d2，所以 13d29(5d2)，解得 d2 当直线 l 的斜率不存在时，此时 l：x0，A(0，2)，B(0，0)，符合题意 当直线 l 的斜率存在时，设 l：ykx4，则 d|2k14|1k22，解得 k512，此时直线 l 的方程为 y512x4，即 5x12y480 综上，直线 l 的方程为 x0 或 5x12y480 20解：(1)由题意得(1p)(1q)16，p(1q)13，解得 p23，q12(2)每轮投篮结束
21、后，甲得分可能为 0，2，3，5 记甲第一轮投篮得分为 i 分的事件为 Ci(i0，2，3，5)，第二轮投篮得分为 i 分的事件为 Di(i0，2，3，5)，则 P(Ci)P(Di)，Ci，Di相互独立，记两轮投篮后甲总得分不低于 8 分为事件 E，则 EC3D5C5D3C5D5，且 C3D5，C5D3，C5D5彼此互斥 易得 P(C3)P(D3)(123)1216，P(C5)P(D5)231213，所以 P(E)P(C3D5C5D3C5D5)P(C3D5)P(C5D3)P(C5D5)16131316131329 答：两轮投篮后，甲总得分不低于 8 分的概率为29 21解：(1)由条件得 QA
22、QBQAQTATr42 3AB，所以 Q 的轨迹是椭圆，且 2a4，2c2 3，所以 b1，所以 C 的方程为x24y21(2)假设存在满足题意的直线 l，显然 l 的斜率存在且不为 0，设 l：ykx2(k0)，由ykx2，x24y21，得(14k2)x216kx120，则(16k)248(14k2)64k2480，得 k234，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x216k14k2，又 y1y2k(x1x2)4414k2，所以 MN 的中点坐标为(8k14k2，214k2)，因此，MN 的中垂线方程为 y214k21k(x8k14k2)，要使 PMPN，则点 P(0，1)应在
23、MN 的中垂线上，所以1214k21k8k14k2，解得 k25434，故 k52，因此，存在满足题意的直线 l，其方程为 y52x2 22解：(1)由题意知 M(a，0)，N(a，0)，又 P(1，1)，所以PM(a1，1)，PN(a1，1)，由PMPN2a21，可得 a1，又 eca 3，所以 c 3，故 b2c2a22，所以双曲线 C 的方程为 x2y221(2)若直线 l 的斜率不存在，则 l 与双曲线 C 仅有一个公共点，不合题意，故 l 的斜率存在，设 l：y1k(x1)，由 ykxk1，x2y221，得(2k2)x22k(k1)xk22k30，设 A(x1，y1)，B(x2，y2
24、)，则 x1x22k(k1)2k2，x1x2k22k32k2 因为 P(1，1)，故 OP：yx，又 A(x1，y1)，N(1，0)，所以 AN：yy1x11(x1)，联立，解得 D(y1x1y11，y1x1y11)，y B x O N D P A M l 于是 k1k2y1x1y11y1x1y111y2x21y1y2(x12y11)(x21)(kx1k1)(kx2k1)(x12kx12k21)(x21)k2x1x2k(k1)(x1x2)(k1)2(2k1)(x1x2x1x21)k2k22k32k2k(k1)2k(k1)2k2(k1)2(2k1)(k22k32k22k(k1)2k21)k2k22k12k2(k1)2(2k1)(k232k21)4k2(2k1)2，所以 k1k2为定值