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1、学科网（北京）股份有限公司辽宁省辽宁省20222023 学年度上学期辽西联合校高三期中考试数学试题学年度上学期辽西联合校高三期中考试数学试题一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1已知集合11Axx，02Bxx，则AB（）A12xx B01xxC01xxD02xx2命题“x R，2330 xx”的否定是（）ARx，2330 xxBRx，2330 xxCx R，2330 xxDx R，2330 xx3已知Ra，则“a1”是“11a”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件4已知函数 2f xx，则0(1)(1)limxfxfx（）A4B2C1D05
2、已知角的终边经过点1,2P，则sin()sincos（）A13B13C23D236若0.12a，0.212b，2log 0.1c，则（）AbacBbcaCabcDacb7已知奇函数 f x在0,上单调递减，若20f，则满足 0 xf x 的 x 的取值范围是（）A,20,2 B2,02,C,22,D2,00,28已知函数 f x是定义在R上的奇函数，当 x0 时，()e(1)xf xx，则下列结论中错误的是（）A当 x0 时，()e(1)xf xx B函数 f x有 3 个零点C 0f x 的解集为,10,1 D1x，2x R，都有122f xf x二、多选题（共 4 小题，每小题 5 分，共
3、 20 分全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）9已知平面向量2,1a ，4,8b，则（）AabBabC2,9abD6,7ab 10设集合27120Ax xx，10Bx ax，若ABA，则实数 a 的值可以为（）A14B0C3D13学科网（北京）股份有限公司11已知函数()sin()0,0,2f xAxA的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A函数 yf x的图象关于点,06对称B函数 yf x的图象关于直线512x 对称C函数 yf x在2,36单调递减D该图象向右平移6个单位可得2sin2yx的图象12已知函数2,01()ln1,1xxf xxx，若方程 2f
4、xkx有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值可以是（）A12B2 2C3D4三、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13若1,2a，,3bxx，ab，则 x 的值为_14一个扇形的弧长为6，面积为27，则此扇形的圆心角为_度15设2a，3b，36ab，则向量a与b的夹角的余弦值为_16已知等差数列 na的前 n 项和为nS，381aa，1111S，则nnS的最大值为_四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答时写出文字说明、证明过程或者演算步骤）17（本小题满分 10 分）已知等差数列 na满足32a，前 4 项和47S（1）求 na的通项公式；（2）设等比数列 nb满
5、足23ba，415ba，数列 nb的通项公式18（本小题满分 12 分）在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知向量cos,cosmAB，,2nacb，且mn（1）求角 A 的大小；学科网（北京）股份有限公司（2）若 a4，433b，求ABC面积19（本小题满分 12 分）设函数 31f xaxbx在 x1 处取得极值1（1）求 a、b 的值；（2）求 f x的单调区间20（本小题满分 12 分）已知函数()2 3sin coscos2f xxxx，Rx.（1）求函数 fx在0,上的单调区间；（2）在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若12Af，a3，求A
6、BC的周长的取值范围21（本小题满分 12 分）已知数列 na的前 n 项和2nSnn（1）求数列 na的通项公式；（2）设216nnnca a，数列 nc的前 n 项和为nT，是否存在正整数 k，使得23nTkk对于*Nn恒成立？若存在，求出 k 的最小值；若不存在，请说明理由22（本小题满分 12 分）已知函数32()4f xxax，其中 a 为实常数（1）当 a3 时，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程；（2）讨论 f x的单调性；（3）若存在00,x，使得不等式00f x成立，求实数 a 的取值范围20222023 学年度上学期辽西联合校高三期中考试数学试题参考答案学年度上学期
7、辽西联合校高三期中考试数学试题参考答案1B【分析】根据交集的知识确定正确选项【详解】依题意01ABxx故选：B学科网（北京）股份有限公司2B【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解，改量词，否结论【详解】由特称命题的否定的概念知，“Rx，2330 xx”的否定为：Rx，2330 xx故选：B3A【分析】根据命题的充分必要性直接判断【详解】对于不等式11a，可解得 a1 或 a0，所以 a1 可以推出11a，而11a不可以推出 a1，所以“a1”是“11a”的充分不必要条件故选：A4【答案】B【分析】根据极限的定义计算即可【详解】220000(1)(1)(1)12limlimlimlim(2)2
8、xxxxfxfxxxxxxx ；故选：B5D【解析】根据三角函数的定义得tan，再由诱导公式和弦化切公式可得选项【详解】角的终边经过点1,2P，则2tan21，sin()sintan2sincossincostan13，故选：D6A【分析】由指数函数和对数函数的性质进行比较即可【详解】0.20.20.112202ba，由对数函数的性质可得2log 0.10c，故 bac故选：A【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题7C【分析】首先根据题意得到函数 fx在,0上单调递减，且 20f，再结合单调性解不等式即可【详解】因为奇函数 fx在0,上单调递减，且20f，所以函数 f
9、x在,0上单调递减，且 20f，所以当,2x ，x0，0f x，满足 0 xf x，当2,0 x，x0，0f x，不满足 0 xf x，当0,2x，x0，0f x，不满足 0 xf x，当2,x，x0，0f x，满足 0 xf x，综上：0 xf x 的解集为,22,故选：C学科网（北京）股份有限公司8A【分析】由奇函数求出 x0 的解析式即可判断 A 选项；解方程求出零点即可判断 B 选项；解分段函数不等式即可判断 C 选项；求导确定单调性得出函数图象，即可判断 D 选项【详解】对于 A，已知函数 f x是定义在R上的奇函数，当 x0 时，x0，()e(1)()xfxxf x ，则()e(1
10、)e(1)xxf xxx ，A 错误；对于 B，易得 00f，当 x0 时，()e(1)0 xf xx，可得 x1；当 x0 时，()e(1)0 xf xx，可得 x1，则函数 f x有 3 个零点，B 正确；对于 C，由e(1),0()0,0e(1),0 xxxxf xxxx，当 x0 时，由()e(1)0 xf xx得 x1；当 x0 时，由()e(1)0 xf xx得 0 x1，则 0f x 的解集为,10,1，C 正确；对于 D，当 x0 时，()e(1)xf xx，()e(2)xfxx，当 x2 时，0fx，f x单减，此时 0f x；当2x0 时，0fx，f x单增，10f，0 x
11、 时，1f x；x2 时，f x有极小值21(2)ef ；结合函数 f x是定义在R上的奇函数，可得 f x的图象，结合图象知，fx的值域为1,1，则12,x xR，都有122f xf x，D 正确故选：A9BCD【分析】应用向量数量积的坐标运算可得0a b ，由向量坐标的线性运算求ab、ab，即可得答案【详解】由题设，2,14,82 4 1 80a b ，故ab，A 错误，B 正确；2,14,82,9ab，C 正确；2,14,86,7ab ，D 正确故选：BCD学科网（北京）股份有限公司10ABD【分析】解方程可得集合 A，再结合集合间运算结果分情况讨论【详解】由ABA，得BA，又27120
12、3,4Ax xx，当B 时，即 a0，BA成立；当B 时，3B，13a，或 4B，14a，故选：ABD11ABD【解析】根据函数的图象，可求出 fx的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案【详解】由函数的图象可得 A2，周期4312T，所以222T，当12x时，函数取得最大值，即2sin 221212f，所以22()122Zkk，则23k，又2，得3，故函数()2sin 23f xx对于 A，当6x 时，2sin22sin00663f，即点,06是函数 fx的一个对称中心，故 A 正确；对于 B，当512x 时，552sin22sin2121232f ，即直线512x 是函数 fx的一条对称轴
13、，故 B 正确；对于 C，令3222()232Zkxkk，解得71212kxk，则函数 fx的单调递减区间为7,()1212Zkkk，故 C 错误；对于D，将 fx的图象向右平移6个单位后，得到2sin 222sin263yxx 的图象，即D正确 故选：ABD【点睛】本题考查根据图象求三角函数解析式以及三角函数性质，考查推理能力与计算求解能力，属中档题12CD【分析】作出函数2,01()ln1,1xxf xxx的大致图象，将方程 2f xkx有两个不相等的实数根，转化为2ykx与 yf x图象有 2 个交点的问题，数形结合，求出参数的范围，可得答案【详解】如图，作出函数2,01()ln1,1x
14、xf xxx的大致图象，学科网（北京）股份有限公司当2x 时，()ln(1)f xx，1()1fxx，故 f x在点2,0处的切线斜率为112 1，直线 ykx2 过定点0,2，当01k时，ykx2 与 yf x图象有一个交点；直线 ykx2 过点1,1时，k3，此时 ykx2 与 yf x图象有 2 个交点；当 1k3 时，ykx2 与 yf x图象有一个交点；当 k3 时，ykx2 与 yf x图象有 2 个交点；综上，当3k 时，ykx2 与 f（x）图象有 2 个交点，故方程 2f xkx有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值可以是 3，4，故选：CD131【分析】根据向量平行的充要
15、条件即可求得【详解】解：ab，123xx，解得 x1故答案为：114120【分析】设扇形的半径为 r，圆心角为 n，根据弧长与扇形面积公式得到方程组，解得即可【详解】解：设扇形的半径为 r，圆心角为 n，依题意可得2618027360n rn r，解得9120rn；故答案为：1201514【分析】利用向量的夹角公式直接求得【详解】因为2a，3b，36ab，所以22239636abaa bb ，即9 46936a b ，所以32a b，即32 3 cos,2a b ，所以1cos,4a b 因为,0,a b，所以向量夹角的余弦值为14故答案为：141654【分析】先求出等差数列 na的通项公式及
16、前 n 项和nS，再利用导数求nnS的最大值即可学科网（北京）股份有限公司【详解】解：因为 na是等差数列，且有341aa，1111S，所以11291115511adad ，解得141ad，所以5nan，2(9)9222nnnnnS，令329()22nnnf nnS，所以233(6)()922nn nfnn，因为*Nn，所以当16n时，0fn，f n单调递增；当7n时，0fn，f n单调递减；所以 max654f nf，故答案为：5417【答案】（1）1122nan（2）12nnb或1(2)nnb 【分析】（1）设等差数列 na的公差为 d，根据已知条件列关于1a和 d 的方程组，解方程求得1
17、a和 d 的值，即可求解；（2）等比数列 nb的公比为 q，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得1b和 q 的值，即可求解（1）设等差数列 na首项为1a，公差为 d3427aS，114(172442)2adad，解得：1112ad，等差数列 na通项公式1111(1)222nann（2）设等比数列 nb首项为1b，公比为 q，2341528baba，13128b qb q，解得：24q，即112bq或112bq ，等比数列 nb通项公式12nnb或1(2)nnb 18（1）3（2）833【解析】（1）由已知利用平面向量平行的运算法则列出关系式，再利用正弦定理化简，整理后再利用两角和与差的
18、正弦函数公式化简，根据sinC不为 0，求出cos A的值，即可求出 A 的度数；（2）由 a，b 与 A 的值，利用正弦定理列出关系式，求出 B 值进而得 C 角，再由三角形 ABC 面积公式即可求值学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）由mn得，(2)coscos0cbAaB，由正弦定理可得，(2sinsin)cossincos0CBAAB，可得：2sincossin()0CAAB，即：2sin2sincossin0CCAC，由sin0C，可得：1cos2A，又0,A，可得：3A（2）由已知及正弦定理得sinsinabAB即4343sinsin3B可得1sin2B，ab，AB 即6B
19、，故2CABC的面积114 38 3sin42233SbaC【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基本题19【答案】（1）a1，b3（2）fx的单调递增区间为,1，1,，单调递减区间为1,1【分析】（1）根据极值和极值点列出方程组，求出 a1，b3；（2）结合第一问得到单调区间（1）23fxaxb，由题意得：(1)30fab，(1)11fab ，解得：a1，b3，此时2()333(1)(1)fxxxx，当1x1 时，0fx，当 x1 或 x1 时，0fx，故 x1 为极值点，满足题意，所以 a1，b3（2）由（1
20、）可知：当1x1 时，0fx，当 x1 或 x1 时，0fx，故 fx的单调递增区间为,1，1,，单调递减区间为1,120（1）单调增区间是0,3，5,6，单调减区间是5,36（2）6,9【分析】（1）根据题意得()2sin 26f xx，进而求得函数的单调区间，再结合0,x求解即可；（2）根据题意求得3A，进而结合余弦定理得239bcbc，再根据基本不等式求解即可（1）解：()2 3sin coscos23sin2cos22sin 26f xxxxxxx，学科网（北京）股份有限公司由222262kxk，Zk，得63kxk，Zk，3222262kxk，Zk，得536kxk，Zk，因为0,x，所
21、以，当 k1 时得单调递增区间为5,6；当 k0 时得单调递增区间为0,3，单调递减区间为5,36所以函数 fx在0,上的单调增区间是0,3，5,6，单调减区间是5,36（2）解：由（1）有，2sin126AfA，得1sin62A，因为 A 为锐角，,66 3A ，所以66A，即3A，由余弦定理得，2222cosabcbcA，所以2292cos3bcbc，所以229bcbc，即2()39bcbc，又22bcbc，所以223()()94bcbc，得6bc，当且仅当 bc3 时取等号，又 bca3，所以6,9abc，所以，ABC周长的取值范围是6,921（1）2nan（2）存在，k 的最小值为 4
22、【分析】（1）利用11,1,2nnnS naSSn求得数列 na的通项公式（2）利用裂项求和法求得nT，求得nT的取值范围，结合二次函数的性质求得 k 的最小值（1）依题意2nSnn，当 n1 时，112aS，当2n时，221(1)(1)2nnnaSSnnnnn，当 n1 时上式也符合，所以2nan（2）21616411222(2)(2)2nnnca annn nnn，学科网（北京）股份有限公司1111111112132435112nTnnnn111112 13221212nnnn，nT为单调递增数列，111432233T，则433nT，所以233kk，2330kk，函数 233f xxx的对
23、称轴为32x，(1)1335f ，(2)4635f，(3)9933f，(4)16 1231f，当32x 时，fx递增所以使2330kx成立的正整数 k 的最小值为 422（1）y3x5（2）答案详见解析（3）3,【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程（2）求得 fx，对 a 进行分类讨论，由此求得 f x的单调区间（3）结合（2），对 a 进行分类讨论，结合 f x的单调区间、最值，求得 a 的取值范围（1）32()34f xxx，2()36fxxx，所以 12f，13f，所以切线方程为(2)3(1)yx，35yx（2）fx的定义域为R，22()3233fxxaxx xa ，当 a0 时，fx在区间2,3a，0,，0fx，fx递减；在区间2,03a，0fx，fx递增当 a0 时，0fx，fx在R上递减当 a0 时，fx在区间,0，2,3a，0fx，fx递减；在区间20,3a，0fx，fx递增（3）由（2）知：当0a 时，fx在0,上递减，040f xf ，不符合题意当 a0 时，在区间0,上，3max24()4327af xfa，学科网（北京）股份有限公司依题意可知344027a，解得 a3综上所述，a 的取值范围是3,