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1、目录 上页 下页 返回 结束 齐次方程 第三节一、齐次方程一、齐次方程*二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 一、齐次方程一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替 u,便得原方程的通解.解法:分离变量:目录 上页 下页 返回 结束 例例1.解微分方程解解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当 C=0 时,y=0 也是方程的解)(C 为任意常数)此处目录 上页 下页 返回 结束 例例2.解微分方程解解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明说明:显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的
2、解,但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了.目录 上页 下页 返回 结束 由光的反射定律:可得 OMA=OAM=例例3.探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面,它的形状由解解:将光源所在点取作坐标原点,并设入射角=反射角能的要求,在其旋转轴(x 轴)上一点O处发出的一切光线，从而 AO=OMxOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成,按聚光性而 AO 于是得微分方程:经它反射后都与旋转轴平行.求曲线 L 的方程.目录 上页 下页 返回 结束 积分得故有得 (抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)目录 上页 下页 返回 结束 顶到底的距离为 h,说明说明:则将这时旋转曲面方程为
3、若已知反射镜面的底面直径为 d,代入通解表达式得作业 目录 上页 下页 返回 结束(h,k 为待*二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为 令,解出 h,k(齐次方程)定常数),目录 上页 下页 返回 结束 求出其解后,即得原方 程的解.原方程可化为 令(可分离变量方程)注注:上述方法可适用于下述更一般的方程 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求解解解:令得再令 YX u,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:目录 上页 下页 返回 结束 得 C=1,故所求特解为思考思考:若方程改为 如何求解?提示提示:目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P309 1(1),(4),(6);2(2),(3);3;*4(4)第四节