振动波动要点ppt课件.ppt

《振动波动要点ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《振动波动要点ppt课件.ppt（120页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、12/3/20221振动波动要点ppt课件 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望12/3/20222什么叫什么叫振动振动：任何一个物理量在某一：任何一个物理量在某一定值定值附近附近 的的反复反复变化皆可称为变化皆可称为。不同的振动对应不同的物理量，不同的振动对应不同的物理量，电磁振动电磁振动E、H；机械振动；机械振动质元的位移。质元的位移。机械振动机械振动：物体在同一路径上一定：物体在同一路径上一定平衡位置平衡位置 附近的重复往返运动。附近的重复往返运动

2、。即质元的位置在一定平衡位置附近的反复变化。即质元的位置在一定平衡位置附近的反复变化。一、振动一、振动一、振动一、振动12/3/202231.机械振动的运动学特征：机械振动的运动学特征：有一个平衡位置；有一个平衡位置；在平衡位置附近往复运动。在平衡位置附近往复运动。2.机械振动的动力学特征：机械振动的动力学特征：特征特征1：外界：外界破坏平衡破坏平衡 数学上就是有一个初条件数学上就是有一个初条件正好振动的解有两个待定常数正好振动的解有两个待定常数 A、。12/3/20224特征特征2：内部：内部 有恢复力与惯性有恢复力与惯性 因此描述振动的物理量就必然有：因此描述振动的物理量就必然有：标志系统

3、恢复力的如标志系统恢复力的如 k、g、M；标志系统惯性的如标志系统惯性的如 m、J、L；标志周期的如标志周期的如 、T；由初条件决定的振幅由初条件决定的振幅 A 和初位相和初位相 。在初条件破坏平衡后，糸统的恢复力和惯在初条件破坏平衡后，糸统的恢复力和惯性的交互作用形成振动。性的交互作用形成振动。12/3/202253.弹簧振子及其简谐振动弹簧振子及其简谐振动ll0弹簧振子：包括两个基本弹簧振子：包括两个基本 特征的系统。特征的系统。把系统的所有惯性把系统的所有惯性集中在集中在 质点质点 m上（上（弹簧的质量不计）弹簧的质量不计）把系统的所有恢复力把系统的所有恢复力集中集中 在弹簧在弹簧 k上

4、（上（质点的恢复力不计）质点的恢复力不计）k：弹簧的倔强系数：弹簧的倔强系数单位：牛顿单位：牛顿/米（米（N/m）12/3/20226 这种系统（称为这种系统（称为“mk”系统）在不计任何系统）在不计任何阻力时作简谐振动！阻力时作简谐振动！在平衡位置在平衡位置 o 附近作附近作周期周期往复运动！往复运动！1 从机构上给出简谐振动的定义：从机构上给出简谐振动的定义：“mk”系统的振动就是简谐振动。系统的振动就是简谐振动。从弹簧振子的恢复力：从弹簧振子的恢复力：F =k x 力与物体的位移成正比力与物体的位移成正比(线性关糸线性关糸)，但方向，但方向始终与位移相反始终与位移相反始终指向平衡位置。得

5、：始终指向平衡位置。得：12/3/20227作简谐振动的系统统称为谐振子！作简谐振动的系统统称为谐振子！2 从受力方面给出简谐振动的定义：从受力方面给出简谐振动的定义：物体在弹性力和准弹性力物体在弹性力和准弹性力F q，即力与即力与对平衡位置的位移或者角位移成正比且反向的对平衡位置的位移或者角位移成正比且反向的作用下的振动是简谐振动。作用下的振动是简谐振动。注意：机械振动中所指的位移注意：机械振动中所指的位移都是指都是指离离开平衡位置开平衡位置的位移。的位移。负号负号都是对都是对平衡点平衡点来说指来说指向平衡位置。向平衡位置。12/3/20228从谐振子的质点从谐振子的质点 m 的加速度的加速

6、度3 从运动学的观点给出简谐振动的定义：从运动学的观点给出简谐振动的定义：如果一个物体的加速度如果一个物体的加速度 ax与位移与位移 x 恒成恒成正比正比且且方向相反方向相反，则这个物体一定作简谐振动。，则这个物体一定作简谐振动。由系统本身属性决定，与外界无关。由系统本身属性决定，与外界无关。圆频率圆频率(角频率角频率)单位：单位：1/s12/3/20229 从数学上看，一个函数从数学上看，一个函数求导两次求导两次，还正比它自己且，还正比它自己且还必须是周期函数，这个函数只可能是余弦或者正弦还必须是周期函数，这个函数只可能是余弦或者正弦函数，而它们也只差函数，而它们也只差 /2，所以可猜出上面

7、方程的解，所以可猜出上面方程的解4 从运动方程给出简谐振动的定义：从运动方程给出简谐振动的定义：如果某个物理量如果某个物理量 q 是用时间是用时间 t 的的正弦或余弦函数正弦或余弦函数来来描述的振动，则该物理量作简谐振动。描述的振动，则该物理量作简谐振动。12/3/2022104.简谐振动的描述简谐振动的描述 以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例系统的恢复力是系统的恢复力是弹性力弹性力：F =k x依牛顿第二定律有：依牛顿第二定律有：由于由于m、k是大于零的常数，令：是大于零的常数，令：得出：得出：谐振动微分方程谐振动微分方程12/3/202211从这也可以给出简谐振动的另一定义：从这也可以给

8、出简谐振动的另一定义：5 从运动微分方程给出简谐振动的定义：从运动微分方程给出简谐振动的定义：如果某个物理量如果某个物理量 q 的运动方程满足的运动方程满足二阶线性齐次常二阶线性齐次常微分方程微分方程，则该物理量则该物理量 q 作简谐振动。作简谐振动。12/3/202212谐振子任意谐振子任意 t 时刻离开平衡位置的位移。时刻离开平衡位置的位移。数学上能严格证明它的唯一可能解数学上能严格证明它的唯一可能解是二阶微分方程解的积分常数，可以由是二阶微分方程解的积分常数，可以由初始条件决定。初始条件决定。的通解：的通解：即：即：简谐振动的运动方程：简谐振动的运动方程：谐振子的运动方程谐振子的运动方程

9、12/3/202213弹簧振子的速度弹簧振子的速度弹簧振子的加速度弹簧振子的加速度 可知：弹簧振子的速度、加速度作与位移同可知：弹簧振子的速度、加速度作与位移同频率的简谐振动！只是振幅、初位相不同。频率的简谐振动！只是振幅、初位相不同。弹簧振子作弹簧振子作变变加速的直线运动加速的直线运动12/3/2022145.描述简谐振动特征的三个物理量描述简谐振动特征的三个物理量(1)周期周期 T 物体完成一次完全振动所需的时间物体完成一次完全振动所需的时间(求的是最小周求的是最小周期，即一次往复运动所需时间期，即一次往复运动所需时间)。这样这样 t 与与 t+T 时刻，物体的状态时刻，物体的状态(位置、

10、速度等状位置、速度等状态量态量)完全复原。完全复原。单位：秒单位：秒(s)从从不影响研究周期不影响研究周期每隔每隔T 时间运动完全重复时间运动完全重复12/3/202215频率频率：单位时间内物体完成的完全振动的次数单位时间内物体完成的完全振动的次数它是表它是表征振动快慢的物理量。征振动快慢的物理量。单位：赫之单位：赫之(Hz=1/s)圆频率或角频率圆频率或角频率：T、都是反映振动周期性的物理量！都是反映振动周期性的物理量！单位时间内单位时间内相位相位的变化值的变化值12/3/202216对对 mk系统：系统：m系系统惯性的代表统惯性的代表k恢复力的代表恢复力的代表 T 固有周期固有周期 固有

11、频率固有频率简谐振动的简谐振动的周期性仅由系统的内因周期性仅由系统的内因决定！决定！12/3/202217(2)振幅振幅 A 振动物体离开平衡位置的振动物体离开平衡位置的最大距离最大距离。也就是位移。也就是位移最大值的绝对值。最大值的绝对值。它给出物体的运动范围，反映振动物体偏离平衡它给出物体的运动范围，反映振动物体偏离平衡位置的最大程度，即位置的最大程度，即振动的强弱振动的强弱。速度的振幅：速度的振幅：vmax=A 加速度的振幅：加速度的振幅：amax=A 2速度最大值的绝对值速度最大值的绝对值加速度最大值的绝对值加速度最大值的绝对值12/3/202218(3)相位相位 ：也称位相、周相：也

12、称位相、周相 决定谐振动物体的运动状态决定谐振动物体的运动状态(位移和速度位移和速度)，反映振动，反映振动周期性的物理量。周期性的物理量。给定任意给定任意 t 时振动物体的状态时振动物体的状态 x、v 确定确定反映振动的特征反映振动的特征周期性周期性t=0（计时起点）（计时起点）时：时：初相位初相位 ，由初绐条件决定。，由初绐条件决定。取这个范围的值，对计算方便。取这个范围的值，对计算方便。12/3/202219依谐振动的周期性，我们看出：依谐振动的周期性，我们看出：相位差为相位差为 2k (k=0，1，2，)的任意两个的任意两个时刻（时间差为时刻（时间差为T 的整数倍）物体的振动状态相同。的

13、整数倍）物体的振动状态相同。相位决定振动的状态，并能充分反映振动的相位决定振动的状态，并能充分反映振动的周期性。周期性。12/3/202220从：从：可知：作谐振动的物体的位移、速度、加速度都可知：作谐振动的物体的位移、速度、加速度都作同频率的谐振动，振幅分别为作同频率的谐振动，振幅分别为 A、A 、A 2，相，相位依次位依次落后落后 /2。12/3/202221vavaxxtoT位移的相位比速度的位相落后位移的相位比速度的位相落后 /2位移比加速度的相位落后位移比加速度的相位落后 反相反相12/3/202222(4)由二阶微分方程的初始条件决定由二阶微分方程的初始条件决定已知已知 t=0 时

14、时：x=x0 ，v=v0 由谐振动的运动方程由谐振动的运动方程解得：解得：到底取什么值，要看到底取什么值，要看x0、v0的正负！的正负！12/3/202223讨论：讨论：做题时，往往不必死背公式。做题时，往往不必死背公式。例：例：t=0 时，时，x0=A/2，且振子，且振子(质点质点 m)向向 x 正正向运动，则由向运动，则由 换个计时起点换个计时起点，则初相位随之变化，如，则初相位随之变化，如t=0 时，时，x0=A/2，且向且向 x 负向运动，则负向运动，则12/3/202224 是系统的固有圆频率，由系统自身性质是系统的固有圆频率，由系统自身性质(惯性惯性与恢复力与恢复力)决定，与外界、

15、计时起点、运动状态都无决定，与外界、计时起点、运动状态都无关关反映谐振动的周期性。反映谐振动的周期性。从从初始机械能初始机械能 E0 初相与时间起点的选择有关，与坐标的取向有初相与时间起点的选择有关，与坐标的取向有关，而与振动系统的物理性质无关。关，而与振动系统的物理性质无关。12/3/202225而谐振子系统的机械能守恒而谐振子系统的机械能守恒 E=E0 振幅振幅 A取决于系统的总能量与计时起点无关取决于系统的总能量与计时起点无关振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还反映振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还反映振动系统总能量的大小及振动的强度。振动系统总能量的大小及振动的强度。一旦描述简谐

16、振动的一旦描述简谐振动的三个三个特征量特征量周期周期 T(角频角频率率 、频率、频率 )、振幅、振幅 A，初相，初相 确定，则谐振动方程确定，则谐振动方程就被就被唯一唯一确定。确定。12/3/2022266.简谐振动的能量简谐振动的能量以以“mk”系统为例：系统为例：m代表整个系代表整个系统的惯性统的惯性k代表整个系代表整个系统的恢复性质统的恢复性质任意任意 t 时刻：时刻：依谐振动的运动方程依谐振动的运动方程有：有：12/3/202227谐振子系统的动能和势能谐振子系统的动能和势能谐振子系统的机械能谐振子系统的机械能=常数常数系统的机械能守恒系统的机械能守恒12/3/202228 在振动过程

17、中，动能和势能相互转化，总能量在振在振动过程中，动能和势能相互转化，总能量在振动过程中的保持恒定：动过程中的保持恒定：初条件给定初条件给定(A 一一 定定)：系统一定系统一定(m、k、2一定一定)：12/3/202229 注意：无论弹簧水平放置还是竖直放置，势能零注意：无论弹簧水平放置还是竖直放置，势能零点怎么选，只要以点怎么选，只要以平衡位置为坐标原点平衡位置为坐标原点则任意时刻则任意时刻质点相对平衡位置的位移为质点相对平衡位置的位移为x，速度为，速度为v，由系统的由系统的机械能守恒总有机械能守恒总有成立！成立！12/3/2022307.简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法旋转矢量描述旋

18、转矢量描述oxyjt=0tAMPx圆频率圆频率A 的长度：的长度：振幅振幅 AA 的旋转角速度：的旋转角速度：t 时旋转矢量时旋转矢量 A 与与 x 的夹角：的夹角：相位相位 旋转矢量旋转矢量 A 以以 沿逆时针方向匀速转动，其沿逆时针方向匀速转动，其端点端点 M 在在 x 轴上投影点轴上投影点 P 的运动的运动规律：规律：正是沿正是沿x 轴作谐振动的物体在轴作谐振动的物体在 t 时相对时相对o的位移。的位移。O平衡位置平衡位置12/3/202231oxyAM注意：端点注意：端点 M 作半径为作半径为 A的的匀速圆周运动！匀速圆周运动！方向切向方向切向在在 x 轴上的投影：轴上的投影：正是沿正

19、是沿 x 轴作谐振动的物体在轴作谐振动的物体在 t 时的速度时的速度v。矢量矢量 A 的端点的端点M 的速度：的速度：12/3/202232oxyAM矢量矢量 A的端点的端点M 的加速度：的加速度：向心加速度向心加速度在在 x 轴上的投影：轴上的投影：正是正是 x 轴作谐振动的物体在轴作谐振动的物体在 t 时的加速度时的加速度a。12/3/202233 应用应用：求初相位求初相位jxy例：例：t=0，x0=0从图知，从图知，A 在在 y 方向方向如果如果 v0 0如果如果 v0 0初相位在初相位在、象限时，象限时，v0 0。12/3/202234xyA/2o例：例：t=0，x0=A/2如果如果

20、 v0 0如果如果 v0 0如果如果 v0 0，求质点第，求质点第 二二 次次 通过通过 x=2cm 的时刻的时刻 t=？xyA/2o解：依题意解：依题意 t=0 时时 x=2 cm=A/2v0 012/3/202236xyA/2o t+j=2 /3 的位置的位置解得：解得：第二次质点通过第二次质点通过 x=2cm，即即 A 以以 匀速转到匀速转到A 以以 匀速转了匀速转了4 /3的角度的角度如果开始在如果开始在x=2cm，v0 0 的位置，则的位置，则A 以以 匀速转了匀速转了2 /3 的角度的角度12/3/202237只有用旋转矢量时，只有用旋转矢量时，A 以以匀速匀速 转动，可用转动，可

21、用 讨论两个同频率的简谐振动的步调是否一致？讨论两个同频率的简谐振动的步调是否一致？如果不一致，差多少？以及合成时都方便。如果不一致，差多少？以及合成时都方便。12/3/2022388.简谐振动的合成简谐振动的合成 同方向同频率的简谐振动的合成同方向同频率的简谐振动的合成 设质点参与两个在同一直线上进行的同频率的谐振设质点参与两个在同一直线上进行的同频率的谐振动：以振动方向为动：以振动方向为 x 轴，平衡位置为坐标原点则两轴，平衡位置为坐标原点则两个分振动的运动方程为个分振动的运动方程为xyo12/3/202239仍做沿仍做沿 x 方向的频率为方向的频率为 (不变不变)的简谐振动！的简谐振动！

22、实验证明，两振动的合振动满足叠加原理实验证明，两振动的合振动满足叠加原理用用旋转矢量法旋转矢量法求合振幅求合振幅 A、合振动的初相、合振动的初相 xyox1x2jx=x1+x2 是是在在 x 轴上的投影。轴上的投影。x12/3/202240 由于两个谐振动的频率一样，使任意由于两个谐振动的频率一样，使任意 t 时刻两个时刻两个旋转矢量的相对位置与旋转矢量的相对位置与 t=0 时的相对位置一样，两时的相对位置一样，两分振动任意分振动任意 t 时刻的相差时刻的相差 可用可用 t=0 时刻的情况，求出任意时刻的情况，求出任意 t 时刻的合振时刻的合振动问题。动问题。=初相差初相差12/3/20224

23、1从图由余弦从图由余弦定理易得：定理易得：xyoj 2 1合振幅合振幅 A合成矢量合成矢量 A 的大小：的大小：2 112/3/202242xyox10 x20jx0y20y10y0合振动初相合振动初相 A 与与 x 轴的夹角轴的夹角12/3/202243依合振幅依合振幅 A 的公式的公式 合振动是加强还是减弱？在合振动是加强还是减弱？在 A1、A2 给定时就取决于给定时就取决于 为何值，即为何值，即A1、A2 一定时：一定时：位相差的函数位相差的函数这样当：这样当：12/3/202244两振动同相：合振幅最大，合振动加强。两振动同相：合振幅最大，合振动加强。当当x(t)x1(t)x2(t)x

24、to质点振动最为强烈！质点振动最为强烈！任意任意 t 时，两个分振动振动同步。时，两个分振动振动同步。当当 A1=A2 时，时，A=2 A112/3/202245 当当两振动反相：合振幅最小，合振动两振动反相：合振幅最小，合振动减弱减弱。x(t)x1(t)xtox2(t)xtox1(t)x2(t)当当 A1=A2 时，时，A=0 质点处质点处于于静止静止状态状态两振动两振动相消相消。x(t)合振动的初相与合振动的初相与振幅大的振动相同。振幅大的振动相同。12/3/202246 上面我们谈的是质点参与两个在同一直线上上面我们谈的是质点参与两个在同一直线上进行的同频率谐振动的合成，下面要讨论进行的

25、同频率谐振动的合成，下面要讨论 N个个振幅相同振幅相同、初相、初相依次依次相差一个恒量相差一个恒量 在在同一同一直直线上同方向线上同方向同频率同频率的简谐振动的合成：的简谐振动的合成：设这设这 N 个分振动的方程为个分振动的方程为用用旋转矢量法旋转矢量法求合振幅求合振幅 A、合振动的初相、合振动的初相 合振动为：合振动为：12/3/202247ox aaaaaPCRRN 从图中看，从图中看，OCP 是一是一个等腰三角形，显然有：个等腰三角形，显然有：而而 +2 =易证：每个分振幅矢量所对应的易证：每个分振幅矢量所对应的圆心角等于初相差圆心角等于初相差 ，所有振幅所所有振幅所对应的圆心角对应的圆

26、心角 12/3/202248这样合振幅这样合振幅上两式相除解得上两式相除解得在在 OCP 中：中：合振动的初相合振动的初相 12/3/202249合振动的表达式：合振动的表达式：合振动的加强和减弱：当合振动的加强和减弱：当 为任意值时，合为任意值时，合成情况比较复杂，我们关心两种特殊情况：成情况比较复杂，我们关心两种特殊情况：12/3/202250 各分振动同相各分振动同相(振动状态同步振动状态同步)即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。aaaaA 各分振幅矢量方向相同各分振幅矢量方向相同因而得到大的合振幅。因而得到大的合振幅。12/3/202251 各分

27、振动的初相差各分振动的初相差k 为不等于为不等于Nk(k=0，1，2)的整数的整数 注意：如果注意：如果 k =Nk，则，则 =2k ，对应的是对应的是振幅有极大值，振动同相的情况。振幅有极大值，振动同相的情况。合振幅有极小值合振幅有极小值 A=0！12/3/202252 在振幅矢量图上各分振动矢量在振幅矢量图上各分振动矢量依次相接依次相接，构，构成成闭合闭合的的正多边形正多边形，从而合振动的振幅为零。，从而合振动的振幅为零。实际上，合振幅有极小值实际上，合振幅有极小值 A=0 的情况对应的的情况对应的是是 N 个振动的总位相差个振动的总位相差k 为不等于为不等于Nk 的整数的整数ox例：例：

28、N=8，k =1 8 =2 12/3/202253 二、波动二、波动 从物理学上说，振动是一定的物理量在某一从物理学上说，振动是一定的物理量在某一定值定值附近的附近的反复反复变化，波动是一定的物理量的变化，波动是一定的物理量的周期性变化在空间的传播。周期性变化在空间的传播。不过不过非非周期振动周期振动(称为称为扰动扰动)在空间的传播所在空间的传播所产生的波就不一定具有周期性。产生的波就不一定具有周期性。波动是振动的传播，振动是波动的根源。波动是振动的传播，振动是波动的根源。12/3/2022541.机械波的形成及产生的条件机械波的形成及产生的条件 媒质：由无穷多个质元组成，各部分之间媒质：由无

29、穷多个质元组成，各部分之间有相互作用，可以有相对运动的有相互作用，可以有相对运动的连续连续系统。系统。机械波产生的条件：机械波产生的条件：要有波源要有波源(振动源振动源)外因外因 要有有相互作用能传播振动的要有有相互作用能传播振动的媒质媒质内因内因 机械波是机械振动状态机械波是机械振动状态 位相和能量在位相和能量在介质中的传播介质中的传播(不是质点和介质的传播不是质点和介质的传播)。12/3/202255波波动动 质元质元的运动的运动相对于各自平衡位置的相对于各自平衡位置的振动速度振动速度 波波传播传播振动状态在媒质中的传播速度振动状态在媒质中的传播速度即即波速波速与这两个条件相应的有两个速度

30、：与这两个条件相应的有两个速度：与波源的振动与波源的振动没有没有关系关系由介质的由介质的惯性惯性和和弹性弹性决定。决定。与波源的振动与波源的振动有有关系关系 两个速度的方向有各种可能，典型的有两个速度的方向有各种可能，典型的有平行平行和和垂直垂直，就有，就有纵波纵波和和横波横波之分。之分。12/3/202256横波：振动方向横波：振动方向波的传播方向波的传播方向oyx波峰波峰波谷波谷uEH 如电磁波如电磁波场量场量 E 与与 H 作振动，与波速作振动，与波速 u 均垂直。均垂直。形成横波必须有形成横波必须有切应切应力力，波形有峰谷之分波形有峰谷之分。看到的是波峰和波谷在波速方向上前进。看到的是

31、波峰和波谷在波速方向上前进。手手抖抖动动12/3/202257纵波：振动方向纵波：振动方向波的传播方向波的传播方向手推拉手推拉纵波波形是波疏波密，看到波疏波密在前进。纵波波形是波疏波密，看到波疏波密在前进。媒质中各体积元形变，因而各处媒质的密度媒质中各体积元形变，因而各处媒质的密度周期性变化，这个变化方向即各质元振动方向周期性变化，这个变化方向即各质元振动方向为为 ，疏密结构疏密结构即波的传播方向即波的传播方向。12/3/2022582.波的几何描述波的几何描述 波面波面(相面、波阵面相面、波阵面)：某时刻介质内：某时刻介质内振动相振动相位相同位相同的点组成的面。的点组成的面。波前波前：某时刻

32、处在最前面的波面某时刻处在最前面的波面。波线波线(波射线波射线)：沿着波的传播方向作出的带：沿着波的传播方向作出的带箭头的直线。箭头的直线。它也是能量传输的方向。在各向同性的媒质它也是能量传输的方向。在各向同性的媒质中，中，波线波线总是与总是与波面波面垂直垂直。12/3/2022593.描述波的物理量描述波的物理量 波速波速 u：单位时间内一定振动状态：单位时间内一定振动状态(相位相位)传播的距离。传播的距离。反映振动状态在媒质中的传播快慢。在反映振动状态在媒质中的传播快慢。在简谐波中，波速也称为简谐波中，波速也称为相速度相速度。注意：注意：波速与波源、介质中质元的振动无关波速与波源、介质中质

33、元的振动无关而与质元间的相互作用有关，由介质的而与质元间的相互作用有关，由介质的弹性弹性和和惯性惯性性质决定。即介质的性质决定。即介质的弹性模量弹性模量和介质的和介质的密密度度决定这种波在媒质中传播的机构。决定这种波在媒质中传播的机构。12/3/202260 可证：在无限大均匀各向同性的固体介质中可证：在无限大均匀各向同性的固体介质中传播的横波波速传播的横波波速式中：式中：N 为切变弹性模量为切变弹性模量 为介质的密度为介质的密度在弹性固体棒中传播的纵波的波速为：在弹性固体棒中传播的纵波的波速为：式中：式中：Y 为媒质的杨氏模量为媒质的杨氏模量 为媒质的密度为媒质的密度。12/3/202261

34、电磁波的波速也是由介质的性质决定的：电磁波的波速也是由介质的性质决定的：在真空中：在真空中：在介质中：在介质中：在液体和气体中纵波的速度为：在液体和气体中纵波的速度为：式中：式中：B 为媒质的体变弹性模量为媒质的体变弹性模量 为媒质的密度为媒质的密度得空气中的声速得空气中的声速12/3/202262 波长波长(wavelength)：相邻的两个振动：相邻的两个振动状态相同的质元之间的距离。状态相同的质元之间的距离。或：同一波线上两个位相差为或：同一波线上两个位相差为 2 的两个质的两个质元之间的距离；元之间的距离；任一同相面在一个周期中推进任一同相面在一个周期中推进的距离。的距离。yxoxyo

35、 12/3/202263 周期周期(period)T：媒质质元振动状态复原：媒质质元振动状态复原所需的所需的最短最短时间。时间。或：波前进一个波长所需的时间；一个完整或：波前进一个波长所需的时间；一个完整的波通过波线上某一点所需要的时间；某个相的波通过波线上某一点所需要的时间；某个相位传播一个波长距离所需的时间。位传播一个波长距离所需的时间。频率频率(frequency)=1/T：单位时间内，波单位时间内，波在前进距离中的完整波在前进距离中的完整波(以波长为单位以波长为单位)的数目。的数目。描述波在时间上的周期性！描述波在时间上的周期性！每隔每隔T时间介质中各质元的振动状态完全复原时间介质中各

36、质元的振动状态完全复原!12/3/202264 从波的形成可知从波的形成可知，波源完成一次完全振动，波源完成一次完全振动相位从相位从 0 2，则振动传播一个波长，所以则振动传播一个波长，所以波的波的T、=波源波源(介质中各质点介质中各质点)的振动的振动T、虽然它们意义上有差异：质点振动的虽然它们意义上有差异：质点振动的 T、是说质点作一个往复运动所需的时间与单位时是说质点作一个往复运动所需的时间与单位时间内质点完成的完全振动的次数。间内质点完成的完全振动的次数。波的波的 T、由波源振动的周期和频率确定。由波源振动的周期和频率确定。12/3/202265三者的关系：三者的关系：注意：注意：u 介

37、质决定；介质决定；T、波源确定波源确定 波源和介质决定波源和介质决定相同频率的波在不同介质中传播时，相同频率的波在不同介质中传播时，随介质不同而不同；随介质不同而不同；不同频率的波在相同介质中传播时，不同频率的波在相同介质中传播时，随波的频率不同而不同。随波的频率不同而不同。12/3/202266 4.平面简谐波平面简谐波：波面是：波面是平面平面的简谐波的简谐波 最最简单的行波简单的行波平面行波。平面行波。平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数(波动方程波动方程)：定量给出的定量给出的波动沿波线传播的解析表达式波动沿波线传播的解析表达式。平面谐波的波动方程只需研究媒质中某一波平面谐波的波动方程只

38、需研究媒质中某一波线上各质元任意线上各质元任意 t 时刻离开自己平衡位置时刻离开自己平衡位置 x 的的位移位移 y 与与 x，t 的函数关系即的函数关系即其中：其中：x 是媒质中某一质元的平衡位置是媒质中某一质元的平衡位置yx 横波横波y/x 纵波纵波12/3/202267推导：推导：已知：已知：o 处质元的简谐振动方程为处质元的简谐振动方程为oyxPx选为坐标原点选为坐标原点不是波源不是波源 o 为为 o 点在点在 t=0 时刻的初相位。时刻的初相位。考虑考虑 x 轴上任一点轴上任一点 P 的振动：的振动：P 作与作与 o点点同频率同振幅，但同频率同振幅，但相位落后相位落后 o 点的简谐振动

39、。点的简谐振动。12/3/202268 u 与振动状态无关，只与振动状态无关，只由介质定；由介质定；o点点 t 时刻的状态传到时刻的状态传到P点所要的时间为点所要的时间为 t=x/u。oyxPx 即：即：P 点点 t 时的振动状态与时的振动状态与 o 点点(t t)的的振动状态相同，有振动状态相同，有可见：可见：P 点比点比 o 点位相点位相落后落后 x/u12/3/202269 如果如果 P 点点任意任意，则，则 P点的振动方程就是点的振动方程就是 任一位置任一位置 x 处的质元在任一时刻处的质元在任一时刻 t 离开各自离开各自平衡位置的位移平衡位置的位移即平面行波的波函数为即平面行波的波函

40、数为oyxP-x 如如 P 点在点在 o点左边，则是点左边，则是 P 点振动比点振动比 o点点超前超前，注意，注意这时这时 P 点坐标点坐标 x 0，有，有“、”为正为正自动表示自动表示超前超前12/3/202270右右行波的波动方程行波的波动方程(向向 x 轴正向传轴正向传)如果是波源在如果是波源在 x=，向向 x 轴轴负向负向传的平传的平面行波，则将上式中面行波，则将上式中uu，得其波函数为，得其波函数为 oyxPx 也说明各点振动状态在也说明各点振动状态在波速方向上依次落后。波速方向上依次落后。左左行波的波动方程行波的波动方程12/3/202271 对平面谐波对平面谐波(平面行波平面行波

41、)波函数的讨论：波函数的讨论：波函数的各种表示：波函数的各种表示：“+”波向波向 x 负负向传向传“-”波向波向 x 正正向传向传k 角波数：角波数：2 长度内完整波的数目，单位长度上波的相位变化。长度内完整波的数目，单位长度上波的相位变化。12/3/202272任意任意 P 点与点与 o 点在点在 t 时的相位差为时的相位差为 从波动方程可知，在波线上的各点的振动从波动方程可知，在波线上的各点的振动状态在波的传播方向上状态在波的传播方向上依次落后依次落后。任意任意 P1 与与 P2 点在点在 t 时的相位差为时的相位差为12/3/202273可见：可见：表示表示 x 处的质元比坐标原点处的质

42、元比坐标原点 o 处质元处质元落后或超前的相位。落后或超前的相位。x 可正可负可正可负x 处质元比处质元比 o 处质元处质元超前超前的相位；的相位；x 处质元比处质元比 o 处质元处质元落后落后的相位；的相位；x 处质元比处质元比 o 处质元振动处质元振动超前超前的时间。的时间。x 处质元比处质元比 o 处质元振动处质元振动落后落后的时间。的时间。12/3/202274 这说明这说明 t 时间内，某一振动状态时间内，某一振动状态(一定的位一定的位相相)，在波的传播方向上前进在波的传播方向上前进 x=u t 的距离。的距离。注意：注意：平面谐波的波动方程描述的是一个沿平面谐波的波动方程描述的是一

43、个沿 x 轴轴正向或负向传播的正向或负向传播的行波行波反映波动的物理本反映波动的物理本质是质是位相的传播，波速是相速度。位相的传播，波速是相速度。12/3/202275 波动波动方程与坐标系的原点和取向的选取方程与坐标系的原点和取向的选取有关；而波中某质元的有关；而波中某质元的振动振动方程却方程却不不受影响。受影响。作业中注意：作业中注意：因为波动研究介质中因为波动研究介质中所有所有质元相对质元相对各自各自平衡平衡位置的位移问题，而振动只研究其中位置的位移问题，而振动只研究其中一个一个质点质点的位移随时间的变化问题。的位移随时间的变化问题。已知波动方程已知波动方程求某一质元振动方程求某一质元振

44、动方程只需代这点的坐标即可！只需代这点的坐标即可！求波动方程求波动方程12/3/202276a)先求坐标原点或者某点质元的振动方程先求坐标原点或者某点质元的振动方程 关键：根据已知条件，或依关键：根据已知条件，或依振动曲线振动曲线、波形波形图图求出求出 A、u、或或 T、坐标原点的初相坐标原点的初相 0、或某、或某点的初相点的初相 a。难点：求难点：求 0 或或 用解析法与旋转矢量法用解析法与旋转矢量法正确判断正确判断 o 点或点或 a 点的初条件：点的初条件：从从 t 时的波动曲线和时的波动曲线和t+t 的波动曲线知的波动曲线知!或从或从o 点、点、a点的振动曲线知！点的振动曲线知！12/3

45、/202277oyxaxpt=0 0=0 a=/2T a=/2如波朝如波朝 x 负向传则负向传则 t=0，ya=0，v0 0 b)从已知点的振动方程从已知点的振动方程波动方程波动方程12/3/202279oxyxaa图示下的任意图示下的任意P点比点比a 点的振动相位点的振动相位落后落后xP 如果已知如果已知的是坐标原的是坐标原点的振动方点的振动方程，这些式程，这些式子中子中 xa=0即可！即可！12/3/202280图示下的任意图示下的任意P点比点比a 点的振动相位点的振动相位超前超前oxyxaaxP波朝波朝 x 正正向传向传x 前面一定是前面一定是“”号号!12/3/202281oxyxaa

46、图示下的任意图示下的任意P点比点比a 点的振动相位点的振动相位超前超前xP12/3/202282图示下的任意图示下的任意P点比点比a 点的振动相位点的振动相位落后落后oxyxaaxP波朝波朝 x 负负向传向传x 前面一定是前面一定是“+”号号!12/3/2022835.波的能量波的能量质元质元 dm=dV 的的振动动能与振动动能与dV内的内的势能各为势能各为dV 内的内的总机械能总机械能+如果波是向如果波是向 x 负向传负向传这些式子有怎样的变化？这些式子有怎样的变化？12/3/202284 注意波的能量随振动状态由近及远注意波的能量随振动状态由近及远传播传播，任，任一质元都在不断地从前一质元

47、中接受能量，而一质元都在不断地从前一质元中接受能量，而向后一质元释放能量向后一质元释放能量开放系统开放系统。与单个质。与单个质点做简谐振动是点做简谐振动是孤立孤立系统系统(能量守恒能量守恒)不同！不同！平面谐波中，体元中质元的动能和势能平面谐波中，体元中质元的动能和势能同位同位相相地随时间变化地随时间变化在任意时刻，这一质元的在任意时刻，这一质元的动能和势能都有动能和势能都有相同相同的值。的值。孤立孤立的的振动系统振动系统在平衡位置时动能最大，而在平衡位置时动能最大，而势能最小；总机械能势能最小；总机械能守恒，守恒，不向外不向外传播能量。传播能量。12/3/202285波的能量密度波的能量密度

48、平均能量密度平均能量密度(对时间平均对时间平均)对电磁波：对电磁波：正弦平方在一周期正弦平方在一周期内的平均值为内的平均值为 1/2！12/3/202286 能流密度：能流密度：单位时间单位时间内通过内通过垂直于波动传播垂直于波动传播方向方向的的单位面积单位面积上的能量。上的能量。平均能流密度平均能流密度(波的强度波的强度)I：单位时间内通过：单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的垂直于波速方向的单位截面的平均平均能量。能量。即通过垂直于即通过垂直于 u 的的单位单位截面的平均能流。截面的平均能流。12/3/2022876.惠更斯原理惠更斯原理 惠更斯原理：惠更斯原理：媒质中波动传到的各点媒

49、质中波动传到的各点，都可，都可看作是发射看作是发射子波子波的新波源，其后任一时刻，这的新波源，其后任一时刻，这些子波的些子波的包络面包络面(包迹包迹)就是该时刻的波前。就是该时刻的波前。包迹包迹：与所有子波的波前：与所有子波的波前相相切切的曲面。的曲面。子波子波：与真正波源的：与真正波源的有差有差别别，它没有，它没有后退后退波。波。平面波平面波球面波球面波12/3/202288用波的独立性语言：讨论波用波的独立性语言：讨论波相遇后分开相遇后分开的情形的情形波的独立传播原理：波的独立传播原理：即它们相遇后分开，各自将以原有的振幅即它们相遇后分开，各自将以原有的振幅 A、频率频率 、和波长和波长

50、独立传播；独立传播；7.波的独立传播原理与波的叠加原理波的独立传播原理与波的叠加原理 媒质中的每一个波列都有保持其独立的传播媒质中的每一个波列都有保持其独立的传播特性，不因其它波的存在而改变。特性，不因其它波的存在而改变。12/3/202289用波的叠加性语言：讨论波用波的叠加性语言：讨论波相遇区间相遇区间的情形的情形 当几列波在媒质中某点相遇时，该点的振动当几列波在媒质中某点相遇时，该点的振动为为各列波各列波在此引起的在此引起的振动的合成振动的合成 (该点质元的该点质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移位移的的矢量和矢量和)。波的叠加原理：波的叠加