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1、数值计算方法总结 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 解线性代数方程组的直接法解线性代数方程组的直接法 插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法 数值微积分数值微积分 方程与方程组的迭代解法方程与方程组的迭代解法第第1章章 数值计算方法的一般数值计算方法的一般概念概念n定义定义 算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完整的解题步骤完整的解题步骤.1.1 1.1
2、算法算法n描述描述 算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。言来进行描述。n具有的特征具有的特征 正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现使用资源少、逻辑结构简单、便于实现 计算结果可靠计算结果可靠第第1章章 数值计算方法的一般数值计算方法的一般概念概念l 稳定性稳定性 计算过程中的误差能得到控制，各步误差对计算计算过程中的误差能得到控制，各步误差对计算结果不致产生过大的影响结果不致产生过大的影响1.1 1.1 算法算法 计算机的计算结果通常是近似的，因此
3、算法必有误差，并且计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差，并且应能估计误差。应能估计误差。l 收敛性收敛性 通过增加计算量，能使近似计算解充分接近理论通过增加计算量，能使近似计算解充分接近理论解解第第1章章 数值计算方法的一般数值计算方法的一般概念概念1.2 1.2 误差误差n定义定义 误差是指近似值与真正值之差误差是指近似值与真正值之差 误差分类误差分类模型误差模型误差在建立数学模型时，忽略次要因素而造成的在建立数学模型时，忽略次要因素而造成的数据误差数据误差由于问题中的值通过观察得到的，从而产生误差由于问题中的值通过观察得到的，从而产生误差截断误差截断误差通过近似替代，简化为较易求
4、解的问题通过近似替代，简化为较易求解的问题计算误差计算误差由于计算机中数的位数限制而造成的由于计算机中数的位数限制而造成的第第1章章 数值计算方法的一般数值计算方法的一般概念概念1.2 1.2 误差误差n绝对误差绝对误差 绝对误差：是指近似值与真正值之差或差的绝对值绝对误差：是指近似值与真正值之差或差的绝对值，即，即设设 为真值为真值,为真值的近似值为真值的近似值 绝对误差界：用一个满足绝对误差界：用一个满足 的数的数 ,来表示绝来表示绝对误差的大小，并记为对误差的大小，并记为 第第1章章 数值计算方法的一般数值计算方法的一般概念概念1.2 1.2 误差误差n相对误差相对误差 相对误差：是指近
5、似值与真正值之比或比的绝对值相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值，即，即 相对误差界：用一个满足相对误差界：用一个满足 的数的数 ,来表示相来表示相对误差的大小，并记为对误差的大小，并记为 相对误差界常用百分数表示相对误差界常用百分数表示第第1章章 数值计算方法的一般数值计算方法的一般概念概念1.2 1.2 误差误差n准确数字准确数字 第第1章章 数值计算方法的一般数值计算方法的一般概念概念1.2.3 1.2.3 数据误差影响的估计数据误差影响的估计第第1章章 数值计算方法的一般数值计算方法的一般概念概念1.2.3 1.2.3 数据误差影响的估计数据误差影响的估计 这些系数的绝对值称为
6、求y问题的条件数条件数，其值很大时的问题称为坏条件问题坏条件问题或病态问题病态问题 凡是计算结果接近于零的问题往往是病态问题。凡是计算结果接近于零的问题往往是病态问题。应避免相近数相减应避免相近数相减,小除数和大乘数小除数和大乘数第第1章章 数值计算方法的一般数值计算方法的一般概念概念1.2.3 1.2.3 数据误差影响的估计数据误差影响的估计第第2章章 解线性代数方程的直接法解线性代数方程的直接法求解求解n n阶线性代数方程组阶线性代数方程组写成矩阵形式为写成矩阵形式为 直接法指的是不计舍入误差时直接法指的是不计舍入误差时,通过有限次算术运算能求得准确解的方法通过有限次算术运算能求得准确解的
7、方法 第第2章章 解线性代数方程的直接法解线性代数方程的直接法2.1 2.1 高斯消去法高斯消去法2.1.1 2.1.1 基本步骤基本步骤高斯消去法步骤高斯消去法步骤1.1.消去消去 经过经过n-1n-1步将方程组化为同解的上三角形方程组步将方程组化为同解的上三角形方程组2.2.回代回代 按相反顺序求解上三角形方程组按相反顺序求解上三角形方程组,得到方程组的解得到方程组的解将方程组写成增广矩阵的形式将方程组写成增广矩阵的形式,将有利于计算机实现将有利于计算机实现第第2章章 解线性代数方程的直接法解线性代数方程的直接法2.1 2.1 高斯消去法高斯消去法2.1.2 2.1.2 运算量估计运算量估
8、计高斯消去法运算量估计高斯消去法运算量估计1.1.消去算法运算量消去算法运算量2.2.回代运算量回代运算量第第2章章 解线性代数方程的直接法解线性代数方程的直接法2.1 2.1 高斯消去法高斯消去法2.1.3 2.1.3 选主元技术选主元技术第第2章章 解线性代数方程的直接法解线性代数方程的直接法2.2 2.2 三角分解法三角分解法2.2.1 2.2.1 杜里特尔分解法杜里特尔分解法 高斯消去法的消去过程高斯消去法的消去过程,实质上是把系数矩阵实质上是把系数矩阵A A分解为单位下三角矩分解为单位下三角矩阵阵L L与上三角矩阵与上三角矩阵R R的乘积的乘积,并且求解方程组并且求解方程组Ly=bL
9、y=b的过程的过程,回代过程是求解回代过程是求解上三角形方程组上三角形方程组Rx=yRx=y第第2章章 解线性代数方程的直接法解线性代数方程的直接法2.2 2.2 三角分解法三角分解法2.2.1 2.2.1 杜里特尔分解法杜里特尔分解法 分解分解A=LR,A=LR,且且L L为单位下三角阵为单位下三角阵,R,R为上三角阵为上三角阵,称为杜里特尔称为杜里特尔(Dollittlse)(Dollittlse)分解分解.使用杜里特尔分解求解方程组使用杜里特尔分解求解方程组Ax=bAx=b或或L(Rx)=b,L(Rx)=b,相当于求两个方程组相当于求两个方程组 Ly=b,Rx=y Ly=b,Rx=y运算
10、量运算量第第2章章 解线性代数方程的直接法解线性代数方程的直接法2.2 2.2 三角分解法三角分解法2.2.2 2.2.2 克洛特分解法克洛特分解法此分解称为克洛特此分解称为克洛特(Crout)(Crout)分解分解计算公式计算公式第第2章章 解线性代数方程的直接法解线性代数方程的直接法2.2 2.2 三角分解法三角分解法2.2.3 2.2.3 追赶法追赶法第第2章章 解线性代数方程的直接法解线性代数方程的直接法2.2 2.2 三角分解法三角分解法2.2.3 2.2.3 追赶法追赶法第第2章章 解线性代数方程的直接法解线性代数方程的直接法2.2 2.2 三角分解法三角分解法2.2.4 2.2.
11、4 平方根法平方根法第第2章章 解线性代数方程的直接法解线性代数方程的直接法2.3 2.3 舍入误差对解的影响舍入误差对解的影响2.3.1 2.3.1 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数第第2章章 解线性代数方程的直接法解线性代数方程的直接法2.3 2.3 舍入误差对解的影响舍入误差对解的影响2.3.1 2.3.1 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数第第2章章 解线性代数方程的直接法解线性代数方程的直接法2.3 2.3 舍入误差对解的影响舍入误差对解的影响2.3.1 2.3.1 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数第第2章章 解线性代数方程的直接法解线性代数方程的直接法2.3 2.3 舍入误差对解的影
12、响舍入误差对解的影响2.3.2 2.3.2 舍入误差对解的影响舍入误差对解的影响第第3章章 插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法3.1 3.1 拉格朗日插值法拉格朗日插值法3.1.1 3.1.1 插值多项式的概念插值多项式的概念 使用以上方法求函数近似式的方法称为使用以上方法求函数近似式的方法称为插值法插值法 满足条件满足条件(3-3)(3-3)的插值多项式是存在且唯一的的插值多项式是存在且唯一的第第3章章 插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法3.1 3.1 拉格朗日插值法拉格朗日插值法3.1.2 3.1.2 插值多项式的截断误差插值多项式的截断误差 这种误差不考虑舍入误差，称为这种误差不考虑
13、舍入误差，称为截断误差截断误差第第3章章 插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法3.1 3.1 拉格朗日插值法拉格朗日插值法3.1.3 3.1.3 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式第第3章章 插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法3.1 3.1 拉格朗日插值法拉格朗日插值法3.1.3 3.1.3 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式第第3章章 插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法3.1 3.1 拉格朗日插值法拉格朗日插值法3.1.3 3.1.3 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式计算插值多项式的值计算插值多项式的值 若计算的插值点在节点之外若计算的插值点在节点之外,则称为则称为外推或外插外推
14、或外插 若计算的插值点在节点之间若计算的插值点在节点之间,则称为则称为内插内插内插的误差较小内插的误差较小,外插的误差较大外插的误差较大,误差公式由误差公式由R(x)R(x)得到得到第第3章章 插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法3.2 3.2 添节点与导数的插值法添节点与导数的插值法3.2.1 3.2.1 牛顿插值多项式牛顿插值多项式为使其满足插值条件为使其满足插值条件(3-3),(3-3),只需满足方程组只需满足方程组因此因此,可得可得第第3章章 插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法3.2 3.2 添节点与导数的插值法添节点与导数的插值法3.2.1 3.2.1 牛顿插值多项式牛顿插值多项式
15、第第3章章 插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法3.2 3.2 添节点与导数的插值法添节点与导数的插值法3.2.1 3.2.1 牛顿插值多项式牛顿插值多项式差商表差商表第第3章章 插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法3.2 3.2 添节点与导数的插值法添节点与导数的插值法3.2.2 3.2.2 逐次线性插值法逐次线性插值法第第3章章 插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法3.2 3.2 添节点与导数的插值法添节点与导数的插值法3.2.2 3.2.2 逐次线性插值法逐次线性插值法列维尔算法表列维尔算法表第第3章章 插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法3.2 3.2 添节点与导数的插值法添节点与导数
16、的插值法3.2.3 3.2.3 带导数的插值多项式带导数的插值多项式第第3章章 插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法3.3 3.3 分段插值与样条函数插值法分段插值与样条函数插值法3.3.1 3.3.1 高次插值多项式的缺陷高次插值多项式的缺陷第第3章章 插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法3.3 3.3 分段插值与样条函数插值法分段插值与样条函数插值法3.3.2 3.3.2 分段低次插值法分段低次插值法第第3章章 插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法3.3 3.3 分段插值与样条函数插值法分段插值与样条函数插值法3.3.3 3.3.3 三次样条函数插值法三次样条函数插值法第第3章章 插值法与
17、最小二乘法插值法与最小二乘法3.3 3.3 分段插值与样条函数插值法分段插值与样条函数插值法3.3.3 3.3.3 三次样条函数插值法三次样条函数插值法第第3章章 插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法3.3 3.3 分段插值与样条函数插值法分段插值与样条函数插值法3.3.3 3.3.3 三次样条函数插值法三次样条函数插值法样条插值函数样条插值函数优点优点:在节点加密时在节点加密时,它和它的导函数能在整个插值区间上它和它的导函数能在整个插值区间上 充分靠近被插函数充分靠近被插函数缺点缺点:为求为求M M或或m m表达式表达式,需形成方程组并进行求解需形成方程组并进行求解第第3章章 插值法与最小二
18、乘法插值法与最小二乘法3.4 3.4 最小二乘法最小二乘法第第3章章 插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法3.4 3.4 最小二乘法最小二乘法第第3章章 插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 数值积分法数值积分法第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 数值积分法数值积分法4.1.1 4.1.1 近似函数积分法近似函数积分法第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 数值积分法数值积分法4.1.1 4.1.1 近似函数积分法近似函数积分法第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 数值积分法数值积分法4.1.1 4.1.1 近似函数积
19、分法近似函数积分法第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 数值积分法数值积分法以上方法是取定步长以上方法是取定步长h h算积分的方法算积分的方法,称为定步长积分法称为定步长积分法4.1.2 4.1.2 复化求积公式复化求积公式第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 数值积分法数值积分法4.1.3 4.1.3 变步长积分法变步长积分法第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 数值积分法数值积分法4.1.4 4.1.4 龙贝格积分法龙贝格积分法第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 数值积分法数值积分法4.1.5 4.1.5 待定系数法与高斯型求积公式待定系数法与高斯
20、型求积公式第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 数值积分法数值积分法4.1.5 4.1.5 待定系数法与高斯型求积公式待定系数法与高斯型求积公式定义定义第第4章章 数值微积分数值微积分4.1 4.1 数值积分法数值积分法4.1.5 4.1.5 待定系数法与高斯型求积公式待定系数法与高斯型求积公式广义皮亚诺定理广义皮亚诺定理第第4章章 数值微积分数值微积分4.2 4.2 数值微分法数值微分法4.2.1 4.2.1 近似函数求导法近似函数求导法第第4章章 数值微积分数值微积分4.2 4.2 数值微分法数值微分法4.2.1 4.2.1 近似函数求导法近似函数求导法第第4章章 数值微积分数值
21、微积分4.2 4.2 数值微分法数值微分法4.2.1 4.2.1 近似函数求导法近似函数求导法第第5章章 方程和方程组的迭代解法方程和方程组的迭代解法5.1 5.1 方程求根法方程求根法5.1.1 5.1.1 试探法与二分法试探法与二分法第第5章章 方程和方程组的迭代解法方程和方程组的迭代解法5.1 5.1 方程求根法方程求根法5.1.1 5.1.1 试探法与二分法试探法与二分法第第5章章 方程和方程组的迭代解法方程和方程组的迭代解法5.1 5.1 方程求根法方程求根法5.1.1 5.1.1 试探法与二分法试探法与二分法第第5章章 方程和方程组的迭代解法方程和方程组的迭代解法5.1 5.1 方
22、程求根法方程求根法5.1.2 5.1.2 简单迭代法简单迭代法第第5章章 方程和方程组的迭代解法方程和方程组的迭代解法5.1 5.1 方程求根法方程求根法5.1.2 5.1.2 简单迭代法简单迭代法几何意义几何意义简单迭代收敛定理简单迭代收敛定理第第5章章 方程和方程组的迭代解法方程和方程组的迭代解法5.1 5.1 方程求根法方程求根法5.1.2 5.1.2 简单迭代法简单迭代法第第5章章 方程和方程组的迭代解法方程和方程组的迭代解法5.1 5.1 方程求根法方程求根法5.1.4 5.1.4 牛顿迭代法牛顿迭代法第第5章章 方程和方程组的迭代解法方程和方程组的迭代解法5.1 5.1 方程求根法
23、方程求根法5.1.4 5.1.4 牛顿迭代法牛顿迭代法5.2 5.2 线性方程组的迭代解法线性方程组的迭代解法求解求解n n阶线性代数方程组阶线性代数方程组第第5章章 方程和方程组的迭代解法方程和方程组的迭代解法5.2.1 5.2.1 基本迭代法基本迭代法第第5章章 方程和方程组的迭代解法方程和方程组的迭代解法5.2 5.2 线性方程组的迭代解法线性方程组的迭代解法5.2.1 5.2.1 基本迭代法基本迭代法第第5章章 方程和方程组的迭代解法方程和方程组的迭代解法5.2 5.2 线性方程组的迭代解法线性方程组的迭代解法5.2.1 5.2.1 基本迭代法基本迭代法第第5章章 方程和方程组的迭代解法方程和方程组的迭代解法5.2 5.2 线性方程组的迭代解法线性方程组的迭代解法5.2.2 5.2.2 基本迭代法收敛条件基本迭代法收敛条件考试题型考试题型 填空题填空题 选择题选择题 简答题简答题 计算题计算题谢谢大家谢谢大家