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1、数值计算方法 数值积分,汪 待 发 电话： 158-013-60553 信箱： 办公: 逸夫楼316房间,积分,近似计算,机械求积,平均高度 /*Mean height*/,积分,梯形公式: /*trapezoidal rule*/,中矩形公式: /*Mid-rectangle rule*/,辛普森公式: /*Simpsons rule*/,a、b、（a+b)/2的加权平均,求积节点,求积系数,机械求积法：,特点：,积分,解：逐次检查公式是否精确成立,代入f(x) = 1：,=,代入 f(x) = x ：,=,代入 f(x) = x2 ：,代数精度 = 1,积分,解：分别令f(x) = 1、x
2、时，公式准确成立,因为只有2个待定系数,则 f(x) = 1：,A0A1=ba,f(x) = x ：,A0aA1b=（b2a2）/2,代数精度 = 1,解得：A0A1（ba）/2,代入 f(x) = x2 ：,就是梯形公式,积分, 在a, b上取 a x0 x1 xn b，做 f 的 n 次插值多项式 ，即得到,节点,f (x),插值型积分公式 /*interpolatory quadrature*/,误差,积分,注：形如 的求积公式至少有 n 次代数精度 该公式为插值型（即： ）, 当节点等距分布时：,令,Cotes系数,注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i，可查表得到。与 f (x)
3、及区间a, b均无关。,积分,n = 1:,Trapezoidal Rule,/* 令 x = a+th, h = ba, 用中值定理 */,代数精度 = 1,n = 2:,Simpsons Rule,代数精度 = 3,n = 3: Simpsons 3/8-Rule, 代数精度 = 3,n = 4: Cotes Rule, 代数精度 = 5,n 为偶数阶的Newton-Cotes 公式至少有 n+1 次代数精度。,积分,积分,复合求积 /* Composite Quadrature */,高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。, 复合梯形公式：,在每个 上用梯形公式：,= Tn,/*中值定理*/,积分, 复合Simpson 公式：,= Sn,积分, 收敛速度与误差估计：,若一个积分公式的误差满足 且C 0，则称该公式是 p 阶收敛的。,例：计算,解：,其中,= 3.138988494,其中,= 3.141592502,积分,Q: 给定精度 ，如何取 n ?,例如：要求 ，如何判断 n = ？,?,上例中若要求 ，则,即：取 n = 409,通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k,上例中2k 409 k = 9 时，T512 = 3.14159202,注意到区间再次对分时,可用来判断迭代 是否停止。,