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1、数学建模讲座 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望讲 座 内 容数学建模数学建模相关简介建模比赛基础知识建模小实例（线性规划）优化问题最优解01规划关于数学建模8080年代以来在发达国家兴起并引起巨大凡响的年代以来在发达国家兴起并引起巨大凡响的数学建模竞赛是适应世界性高科技发展及人才需求数学建模竞赛是适应世界性高科技发展及人才需求而出现的新生事物。而出现的新生事物。在国家教育部高教司的领导和支持下，提出在在国家教育部高教司的领导和支持下，提出在全国普通高
2、校开展数学建模竞赛，旨在全国普通高校开展数学建模竞赛，旨在“培养学生培养学生解决时间问题的能力和创造精神，全面提高学生的解决时间问题的能力和创造精神，全面提高学生的综合素质综合素质”。现在，全国大学生数学建模竞赛正在健康、迅现在，全国大学生数学建模竞赛正在健康、迅速的向前发展，受到广大同学的热烈欢迎。速的向前发展，受到广大同学的热烈欢迎。什么是数学建模问题：树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只？9只？还是 0只？分析：这是一道数学应用题（应该是小学生的）。但他一样是数学建模问题，不过答案就不重要了，重要的是过程。真正的数学建模高手应该这样回答这道！建模与求解建模与求解是无声手枪或别的无声的枪吗
3、？是无声手枪或别的无声的枪吗？不是。不是。枪声有多大？枪声有多大？8080100100分贝。分贝。那就是说会震得耳朵疼？那就是说会震得耳朵疼？是。是。在这个城市里打鸟犯不犯法？在这个城市里打鸟犯不犯法？不犯。不犯。您确定鸟里真的没有聋子？您确定鸟里真的没有聋子？没有。没有。有没有关在笼子里的？有没有关在笼子里的？没有。没有。边上还有没有其他的树，树上还有没有其他边上还有没有其他的树，树上还有没有其他的鸟？的鸟？没有没有有没有残疾的鸟或饿得飞不动的鸟？有没有残疾的鸟或饿得飞不动的鸟？没有。没有。打鸟的人眼有没有花？保证是十只？打鸟的人眼有没有花？保证是十只？没有花，就十只。没有花，就十只。有没有
4、傻得不怕死的鸟？有没有傻得不怕死的鸟？都怕死。都怕死。会不会一枪打死两只？会不会一枪打死两只？不会。不会。所有的鸟都可以自由活动吗？所有的鸟都可以自由活动吗？完全可以。完全可以。不是开玩笑，这就是数学建模。从不同度思考一个问题，想尽所有的可能，正所谓智者千虑，绝无一失，这才是数学建模的高手。数学建模的意义1 1 体现了数学的应用价值体现了数学的应用价值2 2 有利于学生理论联系实际能力的培养有利于学生理论联系实际能力的培养3 3 有利于培养学生的科研素养有利于培养学生的科研素养4 4 有利于增加同学参加课外学术活动的有利于增加同学参加课外学术活动的 经验并在评优时更有竞争力。经验并在评优时更有
5、竞争力。数学建模的乐趣1.1.可以认识一群人；可以认识一群人；2.2.可以消磨一下无聊的时光；可以消磨一下无聊的时光；3.3.可以学会喝咖啡，提高生活品味；可以学会喝咖啡，提高生活品味；获奖后：获奖后：1.1.加个奖励分拿个奖学金；加个奖励分拿个奖学金；2.2.加个分，保个研；加个分，保个研；3.3.各种其他好处。各种其他好处。数学建模需要能力？1 1）分析题意的能力）分析题意的能力2 2）超找资料的能力）超找资料的能力3 3）建立数学模型的能力）建立数学模型的能力4 4）问题的转化能力）问题的转化能力5 5）现学现用的能力）现学现用的能力7 7）论文写作能力）论文写作能力6 6）编程能力）编
6、程能力培养和提升建模的能力1 1）培养对数学建模的兴趣）培养对数学建模的兴趣2 2）学会自学学会研究）学会自学学会研究3 3）增强数学理论知识）增强数学理论知识4 4）平时多领悟建模过程）平时多领悟建模过程5 5）多参加比赛，在实践中体会平时学到）多参加比赛，在实践中体会平时学到的理论知识从而得到领悟和进步的理论知识从而得到领悟和进步6 6）研读优秀论文）研读优秀论文数学建模竞赛三大赛：三大赛：武汉理工大学数学建模选拔赛武汉理工大学数学建模选拔赛 （华中地区大学生数学建模邀请赛）（华中地区大学生数学建模邀请赛）全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛 国际数学建模竞赛国际数学建模竞赛 报名
7、：组队-3人建模建模&编程编程&写作写作建 模建模：建立数学模型建模：建立数学模型从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型示例一：椅子能在不平的地面上放稳吗？示例一：椅子能在不平的地面上放稳吗？示例二：商人们怎样安全过河示例二：商人们怎样安全过河示例三：如何预报人口的增长示例三：如何预报人口的增长数学模型的分类数学模型的分类初等模型初等模型微分方程模型微分方程模型网络模型网络模型规划模型规划模型概率统计模型概率统计模型。数学模型分类问题的提出问题的提出模型建立模型建立模型求解模型求解模型检验模型检验编 程编程：为求解数学模型验并且证模型的正确性，编程：为求解数学模型验并且证模型的正确性，同时为
8、论文提供数据。同时为论文提供数据。1.1.编程一定要规范；编程一定要规范；2.2.其实编程的最大部分时间是花在了调试上。其实编程的最大部分时间是花在了调试上。3.3.最好的调试方法就是在你认为有错误的地方插入最好的调试方法就是在你认为有错误的地方插入输入出语句。输入出语句。MATLAB是矩阵实验室（是矩阵实验室（MatrixLaboratory）的简称，是美国）的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数学公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，级技术计算语言和交互式环境，
9、主要包括主要包括MATLAB和和Simulink两两大部分。大部分。编程软件编程软件LINGO(Linear Interactive and General LINGO(Linear Interactive and General Optimizer)Optimizer)是由美国是由美国LINDOLINDO系统公司推出的，系统公司推出的，可以用于求解非线性规划，也可以用于一可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等，功能十些线性和非线性方程组的求解等，功能十分强大，是求解优化模型的最佳选择。分强大，是求解优化模型的最佳选择。编程软件EXCEL功能强大，操作简单。功能强大，
10、操作简单。它有大量的内置函数的。它有大量的内置函数的。可以用来处理数据，简单编程。可以用来处理数据，简单编程。提示：提示：EXCEL是一款非常强大的软件！是一款非常强大的软件！编程软件SPSSSPSS统计分析程包括描述性统计、均值比统计分析程包括描述性统计、均值比较、一般线性模型、相关分析、回归分析、较、一般线性模型、相关分析、回归分析、对数线性模型、聚类分析、数据简化、生对数线性模型、聚类分析、数据简化、生存分析、时间序列分析、多重响应等几大存分析、时间序列分析、多重响应等几大类，每类中又分好几个统计过程，比如回类，每类中又分好几个统计过程，比如回归分析中又分线性回归分析、曲线估计归分析中又
11、分线性回归分析、曲线估计LogisticLogistic回归、回归、ProbitProbit回归、加权估计、回归、加权估计、两阶段最小二乘法、非线性回归等多个统两阶段最小二乘法、非线性回归等多个统计过程，而且每个过程中又允许用户选择计过程，而且每个过程中又允许用户选择不同的方法及参数。不同的方法及参数。SPSSSPSS也有专门的绘图也有专门的绘图系统，可以根据数据绘制各种图形。系统，可以根据数据绘制各种图形。论 文数学建模论文的一般结构摘要摘要问题重述与分析问题重述与分析问题假设问题假设符号说明符号说明模型建立与求解模型建立与求解模型检验模型检验结果分析结果分析模型的进一步讨论模型的进一步讨论
12、模型优缺点模型优缺点论文的模块设计问题的背景问题的背景问题的重述问题的重述基本假设与符号说明基本假设与符号说明问题的分析与模型的准备问题的分析与模型的准备论文的模块设计模型的建立模型的建立模型的求解模型的求解模型的检验模型的检验模型的灵敏度与稳定性分析模型的灵敏度与稳定性分析模型的科学性及现实意义模型的科学性及现实意义模型的使用说明模型的使用说明模型的进一步讨论与改进模型的进一步讨论与改进模型评价与推广模型评价与推广论文的模块设计参考文献参考文献附录附录数学建模竞赛网上资源中国数学建模网:数学中国网:中国大学生数学建模竞赛网:例例1加工奶制品的生产计划加工奶制品的生产计划1桶牛奶 3公斤A1
13、12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 50桶牛奶桶牛奶 时间时间480小时小时 至多加工至多加工100公斤公斤A1制订生产计划，使每天获利最大制订生产计划，使每天获利最大 35元可买到元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?A1的获利增加到的获利增加到30元元/公斤，应否改变生产计划？公斤，应否改变生产计划？每天：每天：1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 x1桶牛奶生产桶牛奶生产A1x2
14、桶牛奶生产桶牛奶生产A2获利获利243x1获利获利164 x2原料供应原料供应 劳动时间劳动时间 加工能力加工能力 决策变量决策变量 目标函数目标函数 每天获利每天获利约束条件约束条件非负约束非负约束 线性线性规划规划模型模型(LP)时间时间480小时小时 至多加工至多加工100公斤公斤A150桶牛奶桶牛奶每天每天模型分析与假设模型分析与假设 比比例例性性可可加加性性连续性连续性xi对目标函数的对目标函数的“贡献贡献”与与xi取值成取值成正比正比xi对约束条件的对约束条件的“贡献贡献”与与xi取值成取值成正比正比xi对目标函数的对目标函数的“贡献贡献”与与xj取值无取值无关关xi对约束条件的对
15、约束条件的“贡献贡献”与与xj取值无取值无关关xi取值连续取值连续A1,A2每公斤的获利是与各自产量无每公斤的获利是与各自产量无关的常数关的常数每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时间是与的数量和时间是与各自产量无关的常数各自产量无关的常数A1,A2每公斤的获利是与相互产量无每公斤的获利是与相互产量无关的常数关的常数每桶牛奶加工出每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时间是与的数量和时间是与相互产量无关的常数相互产量无关的常数加工加工A1,A2的牛奶桶数是实数的牛奶桶数是实数线性规划模型线性规划模型模型求解模型求解 图解法图解法 x1x20ABCDl1l2l3l4l5约约束束条条件件目标目
16、标函数函数 Z=0Z=2400Z=3600z=c(常数常数)等值线等值线c在在B(20,30)点得到最优解点得到最优解目标函数和约束条件是线性函数目标函数和约束条件是线性函数可行域为直线段围成的凸多边形可行域为直线段围成的凸多边形目标函数的等值线为直线目标函数的等值线为直线最优解一定在凸多边最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。形的某个顶点取得。模型求解模型求解 软件实现软件实现 LINGOOBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKOR
17、SURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?No20桶牛奶生产桶牛奶生产A1,30桶生产桶生产A2，利润，利润3360元。元。max=72*x1+64*x2;x1+x250;12*x1+8*x2480;3*x10;X20;end结果解释结果解释 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.00
18、00000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2原料无剩余原料无剩余时间无剩余时间无剩余加工能力剩余加工能力剩余40三三种种资资源源“资源资源”剩余为零的约束为紧约束（有效约束）剩余为零的约束为紧约束（有效约束）max=72*x1+64*x2;x1+x250;12*x1+8*x2480;3*x10;X20;end结果解释结果解释 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUERED
19、UCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2最优解下最优解下“资源资源”增加增加1单位单位时时“效益效益”的增量的增量原料增加原料增加1单位单位,利润增长利润增长48时间增加时间增加1单位单位,利润增长利润增长2加工能力增长不影响利润加工能力增长不影响利润影子价格影子价格35元可买到元可买到1桶牛奶，要买吗桶牛奶，要买吗？3548,应该买！应该买！聘用临
20、时工人付出的工资最多每小时几元聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？2元！元！RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEF INCREASE DECREASEX1 72.000000 24.000000 8.000000X2 64.000000 8.000000 16.000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 50.000000 10.000000 6
21、.6666673 480.000000 53.333332 80.0000004100.000000INFINITY40.000000最优解不变时目标函数系数最优解不变时目标函数系数允许变化范围允许变化范围DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?Yesx1系数范围系数范围(64,96)x2系数范围系数范围(48,72)A1获利增加到获利增加到30元元/千克，应否改变生产计划千克，应否改变生产计划x1系数由系数由24 3=72增加增加为为30 3=90，在，在允许范允许范围内围内不变！不变！(约束条件不变约束条件不变)结果解释结果解释 RANGESINWHICHTHEBASIS
22、ISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHS INCREASE DECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000影子价格有意义
23、时约束右端的允许变化范围影子价格有意义时约束右端的允许变化范围原料最多增加原料最多增加10时间最多增加时间最多增加5335元可买到元可买到1桶牛奶，每天最多买多少桶牛奶，每天最多买多少？最多买最多买10桶桶!(目标函数不变目标函数不变)例例2奶制品的生产销售计划奶制品的生产销售计划 在例在例1基础上深加工基础上深加工1桶牛桶牛奶奶3千克千克A112小时小时8小时小时4公斤公斤A2或或获利获利24元元/公斤公斤获利获利16元元/公斤公斤0.8千克千克B12小时小时,3元元1千克千克获利获利44元元/千克千克0.75千克千克B22小时小时,3元元1千克千克获利获利32元元/千克千克制订生产计划，使
24、每天净利润最大制订生产计划，使每天净利润最大 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小时时间，应否投小时时间，应否投资？现投资资？现投资150元，可赚回多少？元，可赚回多少？50桶牛奶桶牛奶,480小小时时至多至多100公斤公斤A1B1，B2的获利经常有的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？的波动，对计划有无影响？1桶牛桶牛奶奶3千克千克A112小时小时8小时小时4千克千克A2或或获利获利24元元/千克千克获利获利16元元/kg0.8千克千克 B12小时小时,3元元1千克千克获利获利44元元/千克千克0.75千克千克B22小时小时,3元元1千克千克获利获利32元元/千克
25、千克出售出售x1千克千克A1,x2千克千克A2，X3千克千克B1,x4千克千克B2原料原料供应供应 劳动劳动时间时间 加工能力加工能力 决策决策变量变量 目标目标函数函数 利润利润约束约束条件条件非负约束非负约束 x5千克千克A1加工加工B1，x6千克千克A2加工加工B2附加约束附加约束 丁的蛙泳成绩退步到丁的蛙泳成绩退步到115”2；戊的自由泳成绩进；戊的自由泳成绩进步到步到57”5,组成接力队的方案是否应该调整组成接力队的方案是否应该调整？如何选拔队员组成如何选拔队员组成4 4 100100米混合泳接力队米混合泳接力队?例例1混合泳接力队的选拔混合泳接力队的选拔甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊蝶泳蝶泳
26、106”857”2118”110”107”4仰泳仰泳115”6106”107”8114”2111”蛙泳蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳自由泳58”653”59”457”2102”45名候选人的名候选人的百米成绩百米成绩穷举法穷举法：组成接力队的方案共有组成接力队的方案共有5!=120种种。目标目标函数函数若选择队员若选择队员i参加泳姿参加泳姿j 的比赛，记的比赛，记xij=1,否则记否则记xij=0 0-1规划模型规划模型 cij(秒秒)队员队员i 第第j 种泳姿的百米成绩种泳姿的百米成绩约束约束条件条件每人最多入选泳姿之一每人最多入选泳姿之一ciji=1i=2i=3
27、i=4i=5j=166.857.2787067.4j=275.66667.874.271j=38766.484.669.683.8j=458.65359.457.262.4每种泳姿有且只有每种泳姿有且只有1 1人人 模型求解模型求解 最最优优解解：x14=x21=x32=x43=1,其它变量为其它变量为0;成成绩绩为为253.2(秒秒)=413”2MIN66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14+67.4x51+71x52+83.8x53+62.4x54SUBJECTTOx11+x12+x13+x14=1x41+x42+x43+x44=1x11+x21+x31+x41+x51=
28、1x14+x24+x34+x44+x54=1ENDINT20输入输入LINGO求解求解 甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊蝶泳蝶泳106”857”2118”110”107”4仰泳仰泳115”6106”107”8114”2111”蛙泳蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳自由泳58”653”59”457”2102”4甲甲自由泳、乙自由泳、乙蝶泳、蝶泳、丙丙仰泳、丁仰泳、丁蛙泳蛙泳.丁蛙泳丁蛙泳c43=69.675.2，戊自由泳，戊自由泳c54=62.457.5,方案是否调整？方案是否调整？敏感性分析？敏感性分析？乙乙蝶泳、丙蝶泳、丙仰泳、仰泳、丁丁蛙泳、戊蛙泳、戊自由泳自由泳IP规划一般没
29、有与规划一般没有与LP规划相类似的理论，规划相类似的理论，LINGO输输出的敏感性分析结果通常是没有意义的。出的敏感性分析结果通常是没有意义的。最优解：最优解：x21=x32=x43=x51=1,成绩为成绩为417”7c43,c54 的新数据重新输入模型，用的新数据重新输入模型，用LINGO求解求解 指派指派(Assignment)问题问题：每项任务有且只有一人承担，每项任务有且只有一人承担，每人只能承担一项每人只能承担一项，效益不同，怎样分派使总效益最大，效益不同，怎样分派使总效益最大.讨论讨论甲甲自由泳、乙自由泳、乙蝶泳、蝶泳、丙丙仰泳、丁仰泳、丁蛙泳蛙泳.原原方方案案为了选修课程门数最少
30、，应学习哪些课程为了选修课程门数最少，应学习哪些课程？例例2选课策略选课策略要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课 课号课号课名课名学分学分所属类别所属类别先修课要求先修课要求1微积分微积分5数学数学2线性代数线性代数4数学数学3最优化方法最优化方法4数学；运筹学数学；运筹学微积分；线性代数微积分；线性代数4数据结构数据结构3数学；计算机数学；计算机计算机编程计算机编程5应用统计应用统计4数学；运筹学数学；运筹学微积分；线性代数微积分；线性代数6计算机模拟计算机模拟3计算机；运筹学计算机；运筹学计算机编程计算机编程7计算机编程计算机编程
31、2计算机计算机8预测理论预测理论2运筹学运筹学应用统计应用统计9数学实验数学实验3运筹学；计算机运筹学；计算机微积分；线性代数微积分；线性代数选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程？0-1规划模型规划模型 决策变量决策变量 目标函数目标函数 xi=1选修课号选修课号i 的的课程（课程（xi=0不选）不选）选修课程总数最少选修课程总数最少约束条件约束条件最少最少2门数学课，门数学课，3门运筹学课，门运筹学课，2门计算机课。门计算机课。课号课号课名课名所属类别所属类别1微积分微积分数学数学2线性代数线性代数数学数学3最优化方法最优化方法数学；运筹学数学
32、；运筹学4数据结构数据结构数学；计算机数学；计算机5应用统计应用统计数学；运筹学数学；运筹学6计算机模拟计算机模拟计算机；运筹学计算机；运筹学7计算机编程计算机编程计算机计算机8预测理论预测理论运筹学运筹学9数学实验数学实验运筹学；计算机运筹学；计算机先修课程要求先修课程要求最优解：最优解：x1=x2=x3=x6=x7=x9=1,其它为其它为0；6门课程，总学分门课程，总学分210-1规划模型规划模型 约束条件约束条件x3=1必有必有x1=x2=1模型求解（模型求解（LINGO）课号课号课名课名先修课要求先修课要求1微积分微积分2线性代数线性代数3最优化方法最优化方法微积分；线性代数微积分；线性代数4数据结构数据结构计算机编程计算机编程5应用统计应用统计微积分；线性代数微积分；线性代数6计算机模拟计算机模拟计算机编程计算机编程7计算机编程计算机编程8预测理论预测理论应用统计应用统计9数学实验数学实验微积分；线性代数微积分；线性代数