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1、工程力学工程力学-9(1)弯曲内力工程力学以弯曲变形为主的杆件以弯曲变形为主的杆件以弯曲变形为主的杆件以弯曲变形为主的杆件梁梁梁梁9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力 弯曲的实例弯曲的实例弯曲的实例弯曲的实例2工程力学9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力 弯曲的实例弯曲的实例弯曲的实例弯曲的实例受风载的塔受风载的塔受风载的塔受风载的塔3工程力学火火火火车车车车的的的的轮轮轮轮轴轴轴轴9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力 弯曲的实例弯曲的实例弯曲的实例弯曲的实例4工程力学楼房的横梁楼房的横梁9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力 弯曲的实例弯曲的实例弯曲的实例弯曲的实例5工程力学PaAB阳台梁阳台
2、梁栏杆栏杆PABq9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力 弯曲的实例弯曲的实例弯曲的实例弯曲的实例阳台的挑梁阳台的挑梁6工程力学简支梁简支梁FM外伸梁外伸梁MF悬臂梁悬臂梁MF静定梁静定梁支座反力可由静力平衡方程确定的梁。支座反力可由静力平衡方程确定的梁。9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力 静定梁的基本形式静定梁的基本形式静定梁的基本形式静定梁的基本形式支座之间的长度称为支座之间的长度称为梁的梁的跨度跨度.7工程力学 工程的梁多采用各种形状的对称截面，因此这些梁都具有一个工程的梁多采用各种形状的对称截面，因此这些梁都具有一个以上的纵向对称平面。以上的纵向对称平面。9(1).9(1).弯曲内力弯
3、曲内力 平面弯曲的概念平面弯曲的概念平面弯曲的概念平面弯曲的概念8工程力学9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力 平面弯曲的概念平面弯曲的概念平面弯曲的概念平面弯曲的概念平面弯曲平面弯曲平面弯曲平面弯曲梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合FMqFAFB纵向对称面纵向对称面9工程力学9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力 平面弯曲的概念平面弯曲的概念平面弯曲的概念平面弯曲的概念梁的对称弯曲梁的对称弯曲假设假设（1 1）梁的任一横截面具有对称轴梁的任一横截面具有对称轴（2 2 2 2）外力作用在梁的对称面内）外力作用在梁的对称面内）外力作用在梁的对称面内
4、）外力作用在梁的对称面内 则则，梁梁的的轴轴线线变变形形后后成成为为对对称称面面内内的的一一条条平平面面曲曲线线，这这种种变变形形称称为为梁梁的的对对称称弯弯曲曲。对称弯曲是平面弯曲的一种特例对称弯曲是平面弯曲的一种特例。FMqFAFB纵向对称面纵向对称面10工程力学已知：简支梁如图，已知：简支梁如图，F，a，l。求：距求：距A端端 x 处截面上内力。处截面上内力。FAYFAXFBYFAB解：求支座反力解：求支座反力FAX=0 内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力lAaFB11工程力学ABFFAYFBY2.求内力求内力FQMFAYAC以以m-m
5、 截面左段为研究对象截面左段为研究对象 内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力mmx12工程力学若研究对象取若研究对象取m-m 截面的右段：截面的右段：MFQFBYFC 内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力故弯曲构件的内力有：故弯曲构件的内力有：剪力，剪力，弯矩。弯矩。构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩（弯矩）。构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩（弯矩）。构件受弯时，横截面上存在平行于截面的内力（剪力）。构件受弯时，横截面上存在平行于截面的内力（剪力）。13工程力学弯曲内力的正
6、负号规定:M(+)M(+)M()M()剪力剪力剪力剪力：FQ“左上右下左上右下”为正；为正；弯矩弯矩弯矩弯矩：M “上凹下凸上凹下凸”为正。为正。内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力14工程力学 内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 截开截开截开截开 在需求内力的截面处假想用截面将零件一分为二，在需求内力的截面处假想用截面将零件一分为二，并取其中一部分作为研究对象。并取其中一部分作为研究对象。设正设正设正设正 剪力剪力剪力剪力：FQ“左上右下左上右下”为正；为正；平衡平衡平衡平衡 根据研究对象的受力图建立平衡方程，求出截面根据研究对
7、象的受力图建立平衡方程，求出截面 上的内力值。上的内力值。绘图绘图绘图绘图 分别以分别以FQ 、M为纵坐标，为纵坐标，x为横坐标，绘出为横坐标，绘出剪力剪力图图图图与与弯矩图弯矩图弯矩图弯矩图。求解步骤：求解步骤：求解步骤：求解步骤：弯矩弯矩弯矩弯矩：M “上凹下凸上凹下凸”为正。为正。9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力 由于剪力和弯矩均表示为截面位置由于剪力和弯矩均表示为截面位置由于剪力和弯矩均表示为截面位置由于剪力和弯矩均表示为截面位置x x的函数，即的函数，即的函数，即的函数，即称之为称之为称之为称之为剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程。15工程力
8、学xyFxFQ（x）M（x）例例例例1 1：悬臂梁长度为悬臂梁长度为l，在，在A端受集中载荷端受集中载荷F作用。作用。求：求：求：求：梁的内力及内力图。梁的内力及内力图。内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力解：解：取取x截面左段梁为研究对象。截面左段梁为研究对象。ACF16工程力学xyF 内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力作出剪力图和弯矩图。作出剪力图和弯矩图。FQxO-FMxO17工程力学例例例例2 2：悬臂梁长度为悬臂梁长度为l，受均布载荷集度为，受均布载荷集度为q。求：求：求：求：梁的内
9、力及内力图。梁的内力及内力图。解：解：解：解：取取x截面左段梁为研究对象。截面左段梁为研究对象。xACFQ（x）M（x）内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力qlABxy18工程力学MxFQx均布载荷集度均布载荷集度q 0：FQ（x）图为斜直线；）图为斜直线；M（x）图为二次抛物线。）图为二次抛物线。qlABxy作出剪力图和弯矩图。作出剪力图和弯矩图。内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力19工程力学FA例例3:简支梁的中点受集中载荷简支梁的中点受集中载荷F作用。试作梁的剪力图作用。试作梁的剪力图和
10、弯矩图。和弯矩图。内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力F解：解：1 1、求支座反力、求支座反力FAFB2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程x1FQ（x）M（x）取取x1截面左段梁为研究对象。截面左段梁为研究对象。20工程力学FFAFBx1x2FQ（x）M（x）取取x2截面左段梁为研究对象。截面左段梁为研究对象。FA 内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力21工程力学FQxOMxO3 3、画出剪力图和弯矩图、画出剪力图和弯矩图 内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1)
11、.9(1).弯曲内力弯曲内力Fx1x2在集中力作用面：在集中力作用面：FQ（x）图线发生突变；突变值等于集中力值。）图线发生突变；突变值等于集中力值。M（x）图线连续，但斜率突变（出现尖角）。）图线连续，但斜率突变（出现尖角）。22工程力学FA例例4：图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为q 的满布荷载作用。试作梁的剪力的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。图和弯矩图。解：解：1、求支座反力、求支座反力2 2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程BAlq 内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力FAFBxFQ（x）M（x）取取x截面左段梁为研
12、究对象。截面左段梁为研究对象。23工程力学3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图剪力为零的截面弯矩有极值。剪力为零的截面弯矩有极值。BAlq 内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力FQxOMxO24工程力学FM0lllABxy例例例例5 5：简支梁尺寸如图，受集中载荷简支梁尺寸如图，受集中载荷F及力偶及力偶M0作用，且作用，且M0=Fl。求：求：求：求：梁的内力及内力图。梁的内力及内力图。FAFB解：解：解：解：1 1 1 1）求支座反力。）求支座反力。）求支座反力。）求支座反力。内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9
13、(1).弯曲内力弯曲内力25工程力学 内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力FM0lllABxy2 2 2 2）列剪力方程和弯矩方程。）列剪力方程和弯矩方程。）列剪力方程和弯矩方程。）列剪力方程和弯矩方程。取取x1截面左段梁为研究对象。截面左段梁为研究对象。x1FAAC1FQ（x1）M（x1）26工程力学x2取取x2截面的左段梁为研究对象截面的左段梁为研究对象FQ（x2）M（x2）AFAC2F 内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力FM0lllABxyx127工程力学FQ（x3）M（x3）x3取取x
14、3截面的右段梁为研究对象截面的右段梁为研究对象FBC3B 内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力x2FM0lllABx1yx28工程力学3 3 3 3）画出剪）画出剪）画出剪）画出剪力图和弯矩图：力图和弯矩图：FQxMxFl/3x2FM0lllABx1x3FAFB2F/3Fl/32Fl/3 内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力F/329工程力学在集中力作用面：在集中力作用面：FQ（x）图线发生突变；突变）图线发生突变；突变值等于集中力值。值等于集中力值。M（x）图线连续，但斜率突）图线连续，但斜率
15、突变（出现尖角）。变（出现尖角）。在集中力偶作用面：在集中力偶作用面：FQ（x）图连续。）图连续。M（x）图线发生突变；突变）图线发生突变；突变值等于该力偶矩值。值等于该力偶矩值。内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力FQxMxFl/3x2FM0lllABx1x3FAFB2F/3Fl/32Fl/3F/330工程力学1、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x可以从坐标原点算可以从坐标原点算 起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围 （x的区间）即可。的区间
16、）即可。2、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作 用处，用处，应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中 力偶作用处，力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩图有突变。应为开区间，因在该处弯矩图有突变。内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力重点是剪力图和弯矩图画正确！重点是剪力图和弯矩图画正确！31工程力学例例例例6:6:6:6:外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪
17、力图和弯矩图。程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。解：解：解：解：1、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力ABqF=qaCa2axy 内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力32工程力学ABqF=qaCa2axy2、列列出出梁梁的的剪剪力力方方程程和和弯弯矩方程矩方程CA段段:x1 内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力取取x1截面左段梁为研究对象。截面左段梁为研究对象。FQ（x2）M（x2）33工程力学FQ（x3）AB段段:ABqF=qaCa2axyx2x1 内力与内力图内力与内力图内力
18、与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力M（x3）取取x2截面右段梁为研究对象。截面右段梁为研究对象。34工程力学3 3、作梁的剪力图和弯矩图、作梁的剪力图和弯矩图-qaABqF=qaCa2a 内力与内力图内力与内力图内力与内力图内力与内力图 9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力FQxMxx1x235工程力学xyxdxdxq(x)M(x)FQ(x)M(x)+dMFQ+dFQ9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力1 1、MM、Q Q、q q 之间的微分关系之间的微分关系之间的微分关系之间的微分关系 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分
19、布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用略去二阶无穷小量36工程力学物理意义：物理意义：梁上任一横截面上的剪力对梁上任一横截面上的剪力对x的一阶导数，等于该截面处作用在梁上的的一阶导数，等于该截面处作用在梁上的分布荷载集度。分布荷载集度。梁上任一横截面上的弯矩对梁上任一横截面上的弯矩对x的二阶导数，等于同一截面处作用在梁上的二阶导数，等于同一截面处作用在梁上的分布荷载集度。的分布荷载集度。剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力xy如果是如果是37工
20、程力学内力内力FQ、M 的变化规律的变化规律,归纳如下：归纳如下：载荷载荷F水平直线水平直线+-oror上斜直线上斜直线上凸上凸抛物线抛物线下凸下凸抛物线抛物线下斜直线下斜直线F(剪力图剪力图无突变无突变)F处有尖角处有尖角斜直线斜直线 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力38工程力学1 1当当当当梁梁梁梁上上上上某某某某段段段段q=0q=0时时时时，该该该该段段段段剪剪剪剪力力力力为为为为常常常常数数数数，故故故故剪剪剪剪力力力力图图图图为为为为水水水水平平
21、平平直直直直线线线线。相相相相应应应应的的的的弯弯弯弯矩矩矩矩为为为为x x的的的的一一一一次次次次函函函函数数数数，弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图为为为为斜斜斜斜直直直直线线线线。当当当当F FQQ0 0时时时时，弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图为为为为上上上上升升升升斜斜斜斜直直直直线线线线；F FQQ0 0时，弯矩图为下降斜直线。时，弯矩图为下降斜直线。时，弯矩图为下降斜直线。时，弯矩图为下降斜直线。2 2当梁上某段当梁上某段当梁上某段当梁上某段q=q=常数时，该段剪力为常数时，该段剪力为常数时，该段剪力为常数时，该段剪力为x x的一次函数，剪力图为斜直线。相的一次函数，剪力图为斜直线。相的一次函数，
22、剪力图为斜直线。相的一次函数，剪力图为斜直线。相应的弯矩为应的弯矩为应的弯矩为应的弯矩为x x的二次函数，弯矩图为二次抛物线。的二次函数，弯矩图为二次抛物线。的二次函数，弯矩图为二次抛物线。的二次函数，弯矩图为二次抛物线。若若若若q q0 0，则剪力图为上升斜直线，弯矩图为凹口向上的曲线；，则剪力图为上升斜直线，弯矩图为凹口向上的曲线；，则剪力图为上升斜直线，弯矩图为凹口向上的曲线；，则剪力图为上升斜直线，弯矩图为凹口向上的曲线；若若若若q q0 0，则剪力图为下降斜直线，弯矩图为凹口向下的曲线。，则剪力图为下降斜直线，弯矩图为凹口向下的曲线。，则剪力图为下降斜直线，弯矩图为凹口向下的曲线。，
23、则剪力图为下降斜直线，弯矩图为凹口向下的曲线。剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力3 3在在在在集集集集中中中中力力力力作作作作用用用用处处处处（包包包包括括括括支支支支承承承承处处处处），剪剪剪剪力力力力图图图图将将将将发发发发生生生生突突突突变变变变，其其其其突突突突变变变变值值值值等等等等于于于于该该该该处处处处集集集集中中中中力力力力之之之之大大大大小小小小。当当当当集集集集中中中中力力力力向向向向上上上上时时时时，剪剪剪剪力力力力图图图图向向向向上上
24、上上突突突突变变变变（沿沿沿沿x x正正正正向向向向），反反反反之之之之，向下突变；而弯矩图将因该处两侧斜率不等出现拐点。向下突变；而弯矩图将因该处两侧斜率不等出现拐点。向下突变；而弯矩图将因该处两侧斜率不等出现拐点。向下突变；而弯矩图将因该处两侧斜率不等出现拐点。4.4.4.4.在集中力偶作用处，弯矩图将发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。在集中力偶作用处，弯矩图将发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。在集中力偶作用处，弯矩图将发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。在集中力偶作用处，弯矩图将发生突变，突变值等于集中力偶矩的大小。当集中力偶为顺时针方向作用时，弯矩图向上突变（沿当集中力偶为顺
25、时针方向作用时，弯矩图向上突变（沿当集中力偶为顺时针方向作用时，弯矩图向上突变（沿当集中力偶为顺时针方向作用时，弯矩图向上突变（沿x x正向），反之则向正向），反之则向正向），反之则向正向），反之则向下突变，但剪力图在该处无变化。下突变，但剪力图在该处无变化。下突变，但剪力图在该处无变化。下突变，但剪力图在该处无变化。39工程力学 利利用用微微分分关关系系，可可以以不不必必给给出出具具体体的的剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程而而得得到到剪剪力力图图和和弯弯矩图。其一般过程如下矩图。其一般过程如下:9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 要要求求掌掌握握的的是是根根据据剪剪力力方方程程和和弯弯矩方程来画图！矩方程来画图！40工程力学作业题作业题9-3(b)、(e)9(1).9(1).弯曲内力弯曲内力41工程力学此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢