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1、概率论与数理统计至1你现在浏览的是第一页，共81页3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布 一、一、正态变量二次型的分布正态变量二次型的分布 二、二、威沙特分布威沙特分布 三、三、霍特林霍特林T2分布分布3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 3.3 协差阵的检验协差阵的检验第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验2你现在浏览的是第二页，共81页 一元统计中一元统计中,参数参数,2 2的检验涉的检验涉及到一个总体、二个总体及到一个总体、二个总体,乃至多个乃至多个总体的检验问题总体的检验问题;推广到推广到p元统计分析中，类似地元统计分析中，类似地对参数
2、向量对参数向量和参数矩阵和参数矩阵涉及到的涉及到的检验也有一个总体、二个总体检验也有一个总体、二个总体,乃至乃至多个总体的检验问题。多个总体的检验问题。第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3你现在浏览的是第三页，共81页 在一元统计中，用于检验在一元统计中，用于检验,2 2的抽样分布有的抽样分布有2 2分布分布,t 分布分布,F分布等分布等,它们都是由来自总体它们都是由来自总体N(N(,2 2)的样本导出的检验统计量的样本导出的检验统计量.推广到多元统计分析后，也有相应于以上推广到多元统计分析后，也有相应于以上三个常用分布的统计量三个常用分布的统计量:Wishar
3、t,Hotelling Wishart,Hotelling T 2 2,Wilks,Wilks 统计量统计量,讨论这些统计量的分布是多元统计分析所涉及的讨论这些统计量的分布是多元统计分析所涉及的假设检验问题的基础假设检验问题的基础.第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验4你现在浏览的是第四页，共81页 设设Xi N N1 1(i ,2 2)()(i=1,.=1,.,n),),且相互独立，记且相互独立，记第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型分量独立的正态变量
4、二次型一般情况一般情况(i 0 0，2 2 1 1时时),),结论结论1 15你现在浏览的是第五页，共81页 结论结论2 2 当当i0(0(i=1,=1,n),),2 2=1=1时时,XX的分的分布常称为非中心布常称为非中心2 2分布分布.第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型分量独立的正态变量二次型 定义定义3.1.13.1.1 设设n维随机向量维随机向量XN Nn(,In)(0),0),则称随机变量则称随机变量XX为服从为服从 n个自由度个自由度,非中心参数非中心参数的的2 2分布
5、，记为分布，记为 6你现在浏览的是第六页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-分量独立的正态变量二次型分量独立的正态变量二次型则则 结论结论3 3 设设XNn(0,2 2In),A为为n阶对称方阵阶对称方阵,rk(rk(A)=)=r,则则 二次型二次型 XAX/22 2(r)A2 2A(A为对称幂等阵为对称幂等阵).).特例特例:当当A=In时时,7你现在浏览的是第七页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布
6、-分量独立的分量独立的正态变量的二次型正态变量的二次型 结论结论4 4 设设XNn(,2 2In),),A为对称阵为对称阵,且且rk(rk(A)=)=r,则二次型则二次型 A2 2A(A为对称幂等阵为对称幂等阵).).(充分性的证明类似于结论充分性的证明类似于结论3 3中充分性的证明中充分性的证明方法方法,必要性证明不要求必要性证明不要求)13你现在浏览的是第十三页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-非中心非中心 t 分布和分布和F F分布分布定义定义3.1.23.1.2定义定义3.1.33.1.
7、317你现在浏览的是第十七页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-非中心非中心t t分布的应用分布的应用 一元统计中，关于一个正态总体一元统计中，关于一个正态总体N(N(,2 2)的均值检的均值检验中，检验验中，检验H H0 0：0 0时，检验统计量时，检验统计量否定域为否定域为|T|，其中，其中满足：满足：P|P|T|=(显著性水平显著性水平).).18你现在浏览的是第十八页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计
8、量的分布-非中心非中心t分布的应用分布的应用 当否定当否定H H0 0时，可能犯第一类错误，且时，可能犯第一类错误，且 第一类错误的概率第一类错误的概率P P“以真当假以真当假”P P|T|0 0 显著性水平显著性水平.当当H H0 0相容时，可能犯第二类错误，且相容时，可能犯第二类错误，且 第二类错误的概率第二类错误的概率P P“以假当真以假当真”P P|T|=1 1 0 0 =.此时检验统计量此时检验统计量Tt(n-1,-1,),利用非中心利用非中心 t t分布分布可以计算第二类错误可以计算第二类错误的值的值.19你现在浏览的是第十九页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元
9、正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布(威沙特分布威沙特分布)Wishart分布是一元统计中分布是一元统计中2分布的推广分布的推广.多元正态总体多元正态总体Np(,)中中,常用样本均值向量常用样本均值向量X作为作为的估计，样本协差阵的估计，样本协差阵SA/(n-1)作为作为的估计的估计.由第二章的定理由第二章的定理2.5.2已给出了已给出了XNp(,/n).S?.一元统计中，用样本方差一元统计中，用样本方差作为作为2的估计，而且知道的估计，而且知道20你现在浏览的是第二十页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假
10、设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布(威沙特分布威沙特分布)推广到推广到p元正态总体元正态总体,样本协差阵样本协差阵SA/(n-1)及随及随机矩阵机矩阵A(离差阵离差阵)的分布是什么的分布是什么?设设X()(1,n)为来自为来自Np(0,)的随机样本的随机样本,考考虑随机矩阵虑随机矩阵的分布的分布.当当p=1时时，21你现在浏览的是第二十一页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布
11、分布(威沙特分布威沙特分布)推广到推广到p维正态总体时，随机矩阵维正态总体时，随机矩阵W的分布是什的分布是什么么?定义定义3.1.4 设设X()Np(0,)(1,n)相相互独立，则称随机矩阵互独立，则称随机矩阵的分布为的分布为Wishart分布分布(威沙特分布威沙特分布)，记，记为为WWp(n,).显然显然p=1时时 ,即即22你现在浏览的是第二十二页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布(威沙特分布威沙特分布)一般地一般地,设设X()Np(,)(1,n)相互独立
12、相互独立,记记则称则称WXX服从非中心参数为服从非中心参数为的非中心的非中心Wishart分布分布,记为记为WWp(n,).其中其中23你现在浏览的是第二十三页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布(威沙特分布威沙特分布)当当X()Np(,)(1,n)相互独立时，非中相互独立时，非中心参数心参数这里这里其中其中p为随机矩阵为随机矩阵W的阶数的阶数,n为自由度为自由度,一元统计中一元统计中的的2对应对应p元统计中的协差阵元统计中的协差阵.24你现在浏览的是第二十四页
13、，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布的性质的性质 性质性质1 设设X()Np(,)(1,n)相互独立，则相互独立，则样本离差阵样本离差阵A服从服从Wishart分布，即分布，即 证明证明 根据第二章根据第二章2.5的定理的定理2.5.2知知而而ZNp(0,)(=1,n-1)相互独立相互独立,由定由定义义 3.1.4可知可知AWp(n-1,).25你现在浏览的是第二十五页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几
14、个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布的性质的性质 由于由于Wishart分布是分布是2分布的推广分布的推广,它具有它具有2分布分布的一些性质的一些性质.性质性质2 关于自由度关于自由度n具有可加性：具有可加性：设设Wi Wp(ni,)(i1,k)相互独立，则相互独立，则 性质性质3 设设p阶随机阵阶随机阵WWp(n,),C是是mp常数阵常数阵,则则m阶随机阵阶随机阵CWC也服从也服从Wishart分布分布,即即CWCWm(n,CC).26你现在浏览的是第二十六页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几
15、个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布的性质的性质证明证明其中其中 ZNp(0,)(=1,n)相互独立相互独立.令令Y=CZ,则则YNm(0,CC).故故 由定义由定义3.1.4有有:27你现在浏览的是第二十七页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布的性质的性质 aWWp(n,a)(a0，为常数为常数).在性质在性质3 中只须取中只须取Ca1/2 Ip，即得此结论即得此结论.特例：特例：设设l(l1,lp)，则则 lWl W1
16、(n,ll),即即 22(n)(其中其中2ll).在性质在性质3中只须取中只须取Cl,即得此结论即得此结论.28你现在浏览的是第二十八页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布的性质的性质 性质性质4 4 分块分块Wishart矩阵的分布矩阵的分布:设设X()Np(0,)(1,n)相互独立，其中相互独立，其中又已知随机矩阵又已知随机矩阵则则29你现在浏览的是第二十九页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要
17、统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布的性质的性质 性质性质5 设随机矩阵设随机矩阵WWp(n,)，记记则则相互独立。其中相互独立。其中(性质性质5,性质性质7和性质和性质8不要求不要求)30你现在浏览的是第三十页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-WishartWishart分布分布的性质的性质 性质性质6 设随机矩阵设随机矩阵WWp(n,)，则则 E(W)n.证明证明:由定义由定义3.1.4,知知其中其中ZNp(0,)(=1,n)相互独立相互独立.则则31你现在
18、浏览的是第三十一页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布分布 一元统计中一元统计中,若若XN(0,1),2(n),X与与 相互独立相互独立,则随机变量则随机变量下面把下面把 的分布推广到的分布推广到p元总体元总体.设总体设总体XNp(0,)，随机阵随机阵W Wp(n,),我们来讨论我们来讨论T2nXW-1 X的分布的分布.32你现在浏览的是第三十二页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统
19、计量的分布-Hotelling T 2分布分布 定义定义3.1.5 设设XNp(0,),随机阵随机阵WWp(n,)(0,np),且且X与与W相互独立相互独立,则称则称统计量统计量T2nXW-1 X 为为Hotelling T2 统计量统计量,其分布称为服从其分布称为服从n个自由度的个自由度的T2 分布分布,记为记为T2 T2(p,n).更一般地更一般地,若若XNp(,)(0),则称则称T2 的的分布为分布为非中心非中心Hotelling T2 分布，记为分布，记为 T2 T2(p,n,).33你现在浏览的是第三十三页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3
20、.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质 性质性质1 设设X()Np(,)(1,n)是来自是来自p元总元总体体Np(,)的随机样本的随机样本,X和和A分别为总体分别为总体Np(,)的的样本均值向量和离差阵样本均值向量和离差阵,则统计量则统计量事实上事实上,因因 34你现在浏览的是第三十四页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质 而而AWp(n-1,),且且A与与X相互独立相互独立.由定义由定义
21、 3.1.5知知35你现在浏览的是第三十五页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质 性质性质2 T2与与F分布的关系分布的关系:设设T2T2(p,n)，则则在一元统计中在一元统计中36你现在浏览的是第三十六页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质当当p=1时时,一维总体一维总体XN(0,2)，所以所以 注意注意:因
22、因这是性质这是性质2的特例的特例:即即p=1时时,T2F(1,n).37你现在浏览的是第三十七页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质一般地：一般地：(性质性质2的严格证明见参考文献的严格证明见参考文献2)其中其中X-1 X2(p,)(0)，还可以证明还可以证明2(n-p+1),且且与与独立独立.38你现在浏览的是第三十八页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布
23、-Hotelling T 2分布的性质分布的性质 性质性质3 设设XNp(,),随机阵随机阵WWp(n,)(0,np),且且X与与W相互独立相互独立,T2nXW-1 X为非中心为非中心Hotelling T2 统计量统计量(T2 T2(p,n,).则则其中非中心参数其中非中心参数 .39你现在浏览的是第三十九页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质 或 性质性质3 设设X()Np(,)(1,n)是来自是来自p元元总体总体Np(,)的随机样本的随机样本,X
24、 和和A分别为样本均值向分别为样本均值向量和离差阵量和离差阵.记记40你现在浏览的是第四十页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质 一元统计中一元统计中(p=1时时),t 统计量与参数统计量与参数2无关无关.类类似地有以下性质似地有以下性质.性质性质4 T2统计量的分布只与统计量的分布只与p,n有关有关,而与而与无关无关.即即41你现在浏览的是第四十一页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统
25、计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质 事实上事实上,因因XNp(0,)(0),WWp(n,),则则-1/2XNp(0,Ip)，因此因此42你现在浏览的是第四十二页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质 性质性质5 在非退化的线性变换下在非退化的线性变换下,T2统计量统计量保持不变保持不变 设设X()(1,n)是来自是来自p元总体元总体Np(,)的随机样本的随机样本,Xx和和Ax分别表示正态总体分别表示正态总体X的
26、的样本均值向量和离差阵样本均值向量和离差阵,则由性质则由性质1有有43你现在浏览的是第四十三页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.1 3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布-Hotelling T 2分布的性质分布的性质 令令其中其中C是是p p非退化常数矩阵，非退化常数矩阵，d是是p 1常向量。则可证明：常向量。则可证明：44你现在浏览的是第四十四页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 在多元统计分析中在多元统计分析中,考虑的总体是考虑的总体是p维正维
27、正态总体态总体Np(,),关于均值向量的检验问题经关于均值向量的检验问题经常是需要的常是需要的.p元正态随机向量的每一个分量都是一元正态变元正态随机向量的每一个分量都是一元正态变量量,关于均值向量的检验问题能否化为关于均值向量的检验问题能否化为 p个一元正态个一元正态的均值检验问题呢的均值检验问题呢?显然这是不完全的显然这是不完全的.因为因为p个分个分量之间往往有互相依赖的关系量之间往往有互相依赖的关系,分开作检验分开作检验,往往往得不出正确的结论往得不出正确的结论.但我们可以构造出类似于但我们可以构造出类似于一元统计中的统计量一元统计中的统计量,用来对均值向量进行检验用来对均值向量进行检验.
28、45你现在浏览的是第四十五页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验关于均值向量的检验包括关于均值向量的检验包括:一个一个p元正态总体元正态总体Np(,),检验检验 H0:0;二个二个p元正态总体元正态总体Np(1,1)和和Np(2,2)，检验检验H0:12 k个个p元正态总体元正态总体Np(i,)(i1,k),当协当协差阵相等时检验差阵相等时检验k个均值向量是否全相等个均值向量是否全相等(即多元方差分析即多元方差分析).46你现在浏览的是第四十六页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体
29、参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 设总体设总体XNp(,),随机样本随机样本X()(1,n).检验检验H0:0(0为已知向量为已知向量),H1:01.当当0已知时均值向量的检验已知时均值向量的检验利用二次型分布的结论利用二次型分布的结论(“2.结论结论1”)知知47你现在浏览的是第四十七页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验取检验统计量为取检验统计量为 按传统的检验方法按传统的检验方法,对给定的显著水平对给定的显著水平,查查2分布临界值表得分布临界值表得:48你现在浏览的是第四
30、十八页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 由样本值由样本值x()(1,n),计算计算X及及T20值值,若若T20,则否定则否定H0,否则否则H0相容相容.利利用用统统计计软软件件(如如SAS系系统统),还还可可以以通通过过计计算算显显著著性性概概率率值值(p值值)给给出出检检验验结结果果,且且由由此此得得出出的的结结论论更更丰富丰富.假假设设在在H0成成立立情情况况下下,随随机机变变量量T20 2(p),由由样样本本值值计计算算得得到到T20的的值值为为d,可可以以计计算算以以下下概概率率值值：p=P T
31、20 d,常称此概率值为常称此概率值为显著性概率值显著性概率值，或简称为，或简称为p值值.49你现在浏览的是第四十九页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 对给定的显著性水平对给定的显著性水平,当当p值值时时(即即d值大值大,X与与偏差大偏差大),则在显著性水平则在显著性水平下否定假设下否定假设H0；在这种在这种情况下情况下,可能犯可能犯“以真当假以真当假”的第一类错误的第一类错误,且且就就是犯第一类错误的概率是犯第一类错误的概率.当当p值值时时(即即d值小值小,X与与偏差小偏差小),则在显著性水则在显著性
32、水平平下下H0相容；在这种情况下，可能犯相容；在这种情况下，可能犯“以假当以假当真真”的第二类错误的第二类错误,且犯第二类错误的概率且犯第二类错误的概率为为 =P T20|当当=10,其中检验统计量其中检验统计量T20 2(p,),非中心参数非中心参数 =n(1-0)(0)-1(1-0).50你现在浏览的是第五十页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 p值的直观含义可以这样看值的直观含义可以这样看,检验统计量检验统计量T20的的大小反映大小反映X与与0的偏差大小的偏差大小,当当H0成立时成立时T20 值应值
33、应较小较小.现在由观测数据计算现在由观测数据计算T20值为值为d；当当H0 成立成立时统计量时统计量T20 2(p),由由2分布可以计算该统计量分布可以计算该统计量d的概率值的概率值(即即p值值).比如比如p值值=0.02=0.05,表示在表示在 0的假设下，的假设下，观测数据中极少会出现观测数据中极少会出现T20的值大于等于的值大于等于d值的情值的情况，故在况，故在0.05的水平下有足够的证据否定原假设，的水平下有足够的证据否定原假设，即认为即认为与与0 有显著地差异有显著地差异.51你现在浏览的是第五十一页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2
34、单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 又比如当又比如当p值值=0.22=0.05时时,表示在表示在0的假设下，观测数据中经常会出的假设下，观测数据中经常会出现现T20的值大于等于的值大于等于d值的情况，故在值的情况，故在0.05的水平下没有足够的证据否定原的水平下没有足够的证据否定原假设，假设，即认为即认为与与0 没有显著地差异没有显著地差异.52你现在浏览的是第五十二页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验 2.当当未知时均值向量的检验未知时均值向量的检验 当当p=1时时(一元统计一元统计)，取检验统计
35、量为，取检验统计量为 或等价地取检验统计量或等价地取检验统计量 53你现在浏览的是第五十三页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验推广到多元推广到多元,考虑统计量考虑统计量因因离差阵离差阵54你现在浏览的是第五十四页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验由定义由定义3.1.5可知可知利用利用T 2与与F分布的关系，检验统计量取为分布的关系，检验统计量取为55你现在浏览的是第五十五页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假
36、设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验例例3.2.1 例例3.2.1 人的出汗多少与人体内钠和钾的含量有一定的人的出汗多少与人体内钠和钾的含量有一定的关系关系.今测量了今测量了20名健康成年女性的出汗量名健康成年女性的出汗量(X1)、钠的含量钠的含量(X2)和钾的含量和钾的含量(X3)(数据见表数据见表3.1).试检验试检验 H0:=0=(4,50,10)，H1:0.56你现在浏览的是第五十六页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验例例3.2.1 解解 记随机向量记随
37、机向量X=(X1,X2,X3),假定假定XN3(,).检验检验 H0:0，H1：0.取检验统计量为取检验统计量为由样本值计算得由样本值计算得:57你现在浏览的是第五十七页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验例例3.2.158你现在浏览的是第五十八页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验单总体均值向量的检验例例3.2.1 对给定对给定=0.05,按传统的检验方法按传统的检验方法,可查可查F分布临界值表得分布临界值表得=F3,17(0.05)=3
38、.2,比较由样本值计算得到的比较由样本值计算得到的F值及临界值值及临界值,因因F值值=2.90453.2,故故H0相容相容.利用统计软件进行检验时利用统计软件进行检验时,首先计算首先计算p值值(此时检验统计量此时检验统计量FF(3,17)：p=PF2.9045=0.06493.因因p值值=0.064930.05=,故故H0相容相容.在这种情况下，可能犯第在这种情况下，可能犯第二类错误二类错误,且第二类错误的概率为且第二类错误的概率为 =P F3.2|=X=0.3616(假定总体均值假定总体均值=10,取取1=X).59你现在浏览的是第五十九页，共81页3.3.3 3 协差阵的检验协差阵的检验-
39、单个单个p元正态总体元正态总体 设设X()(=1,n)为来自为来自p元正态总体元正态总体Np(,)(0未知未知)的随机样本的随机样本,检验检验 H0:0(00为已知阵为已知阵)，H1:0 1.当当0 Ip时检验时检验H0:Ip，H1:Ip 利用似然比原则来导出检验统计量利用似然比原则来导出检验统计量1 当当Ip成立时成立时,似然函数似然函数L(,Ip)在在X达最大值达最大值.附录64你现在浏览的是第六十四页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3.3 3 协差阵的检验协差阵的检验-单个单个p元正态总体元正态总体 所以所以似然比统计量似然比统计量 其中其
40、中 65你现在浏览的是第六十五页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3.3 3 协差阵的检验协差阵的检验-单个单个p元正态总体元正态总体 利用定理利用定理3.2.1可知可知,当当n很大且很大且H0成立时成立时,=-2ln1的近似分布为的近似分布为2(p(p+1)/2)，参数空间参数空间 的维数为的维数为p+p(p+1)/2,而而 0的维数为的维数为p,故卡方分布的自由度故卡方分布的自由度为为p(p+1)/2.取取作为检验统计量作为检验统计量,按传统检验方法按传统检验方法,对给对给定显著性水平定显著性水平,否定域为否定域为 2,其中其中2 满足：满足：
41、P 2=.66你现在浏览的是第六十六页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3.3 3 协差阵的检验协差阵的检验-单个单个p元正态总体元正态总体 2.当当0 I p时检验时检验H0:0,H1:0 因因00，存在存在p阶非退化阵阶非退化阵D，使使D0DI p，令令 Y()=DX()(1,n)，则则Y()N p(D，DD)=N p(*，*)检验检验H 0:0 H0:*I p 从新样本从新样本Y()(=1,n)出发，检验出发，检验H0：*Ip的检验统计量取为的检验统计量取为记为记为67你现在浏览的是第六十七页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验
42、多元正态总体参数的假设检验3.3.3 3 协差阵的检验协差阵的检验-单个单个p元正态总体元正态总体 其中其中 若注意到若注意到D0DI p,即即68你现在浏览的是第六十八页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3.3 3 协差阵的检验协差阵的检验-单个单个p元正态总体元正态总体 研究似然比统计量研究似然比统计量2的抽样分布是很困难的的抽样分布是很困难的.通常根通常根据定理据定理3.2.1由由2的近似分布来构造检验法的近似分布来构造检验法.当样本容量当样本容量n很大，在很大，在H0成立时，成立时，-2ln2 的极限分布为的极限分布为2(p(p+1)/2)
43、.除此外在不同适用范围下还有其它近似分布可用来构造检除此外在不同适用范围下还有其它近似分布可用来构造检验法验法.则似然比统计量则似然比统计量2还可以表示为还可以表示为 69你现在浏览的是第六十九页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3.3 3 协差阵的检验协差阵的检验-单个单个p元正态总体元正态总体 3.检验检验H0：20(2 未知未知)当当0 Ip 时此检验常称为球性检验时此检验常称为球性检验.利用似然比原利用似然比原则来导出检验统计量则来导出检验统计量3：当当2给定时给定时,似然函数似然函数L(,20)在在=X达最大值达最大值,且且70你现在浏览
44、的是第七十页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3.3 3 协差阵的检验协差阵的检验-单个单个p元正态总体元正态总体 可得出可得出 71你现在浏览的是第七十一页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3.3 3 协差阵的检验协差阵的检验-单个单个p元正态总体元正态总体 所以似然比统计量所以似然比统计量 或等价于或等价于 当样本容量当样本容量n很大，在很大，在H0为真时有以下近似分布：为真时有以下近似分布：72你现在浏览的是第七十二页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.
45、3.3 3 协差阵的检验协差阵的检验-多个多个p元正态总体元正态总体 设有设有k个总体个总体Np(t,t)(t=1,k),X(t)()(t1,k;1,n t)来自第来自第t个总体个总体Np(t),t)的随机样本的随机样本,记记nn1+n2+nk.检验检验H0:1=2=k,H1:1,2,k不全相等不全相等.样本样本 X(t)()的似然函数为的似然函数为似然比统计量似然比统计量4为为 73你现在浏览的是第七十三页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3.3 3 协差阵的检验协差阵的检验-多个多个p元正态总体元正态总体 74你现在浏览的是第七十四页，共81页
46、第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3.3 3 协差阵的检验协差阵的检验-多个多个p元正态总体元正态总体 则似然比检验统计量为则似然比检验统计量为(其中其中 A=A1+Ak)75你现在浏览的是第七十五页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3.3 3 协差阵的检验协差阵的检验-多个多个p元正态总体元正态总体 根据无偏性的要求进行修正根据无偏性的要求进行修正,将将4中的中的ni用用ni-1替代替代,n用用n-k替代替代.然后对然后对4取对数取对数,可得到统计量：可得到统计量：当样本容量当样本容量n很大时很大时,在在H0为
47、真时为真时M有以下近似分布：有以下近似分布：(1-d)M=-2(1-d)ln4*2(f)其中其中 f=p(p+1)(k-1)/2,76你现在浏览的是第七十六页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.3.3 3 协差阵的检验协差阵的检验-多个多个p元正态总体元正态总体(例例)例例3.3.1 对例对例3.2.3表表3.3中给出的身体指标化验数据中给出的身体指标化验数据,试判断三个组试判断三个组(即三个总体即三个总体)的协差阵是否相的协差阵是否相(=0.10)?解解 这是三个这是三个4维正态总体的协差阵是否相等的检验问维正态总体的协差阵是否相等的检验问题题.设
48、第设第i组为组为4维总体维总体N4(i),i)(i=1,2,3).来自三个总体的来自三个总体的样本容量样本容量n1=n2=n3=20.检验检验H0:123,H1:1,2,3至至少少有有一一对对不不相相等等.在在H0成成立时立时,取近似检验统计量为取近似检验统计量为2(f)统计量：统计量：由样本值计算三个总体的样本协差阵：由样本值计算三个总体的样本协差阵：77你现在浏览的是第七十七页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-多个多个p元正态总体元正态总体(例例)78你现在浏览的是第七十八页，共81页第三章第三章 多元正态
49、总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-多个多个p元正态总体元正态总体(例例)79你现在浏览的是第七十九页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-多个多个p元正态总体元正态总体(例例)进一步计算可得进一步计算可得 80你现在浏览的是第八十页，共81页第三章第三章 多元正态总体参数的假设检验多元正态总体参数的假设检验3.4 3.4 协差阵的检验协差阵的检验-多个多个p元正态总体元正态总体(例例)对给定对给定=0.10,利用统计软件利用统计软件(如如SAS系统系统)，首先计算，首先计算p值值(设检验统计量设检验统计量2(20)：p=P 20.331621=0.4373646.因因p值值=0.43736460.10=，故故H0相容相容,这表这表明三个组的协差阵之间没有显著的差异明三个组的协差阵之间没有显著的差异.81你现在浏览的是第八十一页，共81页