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1、主页主页届高考数学一轮复习讲义第一章集合的概念及其基本运算 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点确定性确定性 互异性互异性 无序性无序性 属于属于 不属于不属于 列举法列举法 描述法描述法 图示法图示法 区间法区间法 有限有限集集 空集空集 无限集无限集忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点集合的基本概念集合的基本概念集合的基本概念集合的基本概念集合间的基本关系集合间的基本
2、关系集合间的基本关系集合间的基本关系 4集合的基本运算集合的基本运算集合的基本运算集合的基本运算 集合中的新定义问题集合中的新定义问题集合中的新定义问题集合中的新定义问题60,1,2,30,1,2,3忽略空集致误忽略空集致误 集集合合概概念念及及其其基基本本理理论论称称为为集集合合论论，它它的的创创始始人人是是德德国国数数学学家家康康托托尔尔.它它是是近近、现现代代数数学学的的一一个个重重要要的的基基础础.一一方方面面,许许多多重重要要的的数数学学分分支支,如如数数理理逻逻辑辑、近近世世代代数数、实实变变函函数数、泛泛函函分分析析、概概率率统统计计、拓拓扑扑学学等等,都都建建立立在在集集合合理
3、理论论的的基基础础上上;另另一一方方面面，集集合合论论及及其其所所反反映映的的数数学学思思想想,在在越越来来越越广广泛的领域中得到应用泛的领域中得到应用.（Cantor1845-1918）在一个村子中，有一位自认为手艺高超的理发师在一个村子中，有一位自认为手艺高超的理发师,他他对外宣称：对外宣称：“我不给村子里任何一个给自己刮脸的人刮我不给村子里任何一个给自己刮脸的人刮脸，但却给村子里所有不给自己刮脸的人刮脸，脸，但却给村子里所有不给自己刮脸的人刮脸，”有一有一天，他发生了疑问：他是否应该给自己刮脸？就是罗素天，他发生了疑问：他是否应该给自己刮脸？就是罗素19021902年提出的，并于年提出的
4、，并于19181918年将其通俗化的理发师悖论年将其通俗化的理发师悖论.它的出现表示集合论本身存在着问题，进而表明整个数它的出现表示集合论本身存在着问题，进而表明整个数学在基础上存在着问题，所以它引发了数学发展史上的学在基础上存在着问题，所以它引发了数学发展史上的第三次危机初看起来，它与集合论没有任何关系，如第三次危机初看起来，它与集合论没有任何关系，如果你想进一步了解它，请看分析：果你想进一步了解它，请看分析：（1 1）对理发师悖论的理解：）对理发师悖论的理解：现我们将村子里的人分成两类，（实际上就是两个现我们将村子里的人分成两类，（实际上就是两个集合）：集合集合）：集合A=A=村子中不给自
5、己刮脸的人村子中不给自己刮脸的人 ；集合；集合B=B=村子中给自己刮脸的人村子中给自己刮脸的人，很显然，很显然A A与与B B是互为补集是互为补集理发师的疑问在于他不知道自己该属于哪一个集合理发师的疑问在于他不知道自己该属于哪一个集合1）若他属于）若他属于A，则由他所宣称的第二句话可推出，则由他所宣称的第二句话可推出，他要给自己刮脸，进而推出他属于他要给自己刮脸，进而推出他属于B，这显然是不可能，这显然是不可能的；同样道理可得到：的；同样道理可得到：2）若他属于）若他属于B，则他属于，则他属于A，这也不可能所以，这也不可能所以他陷入了逻辑上的困境他陷入了逻辑上的困境（2）理发师悖论与集合论的关
6、系：）理发师悖论与集合论的关系：我们知道集合的元素具有我们知道集合的元素具有“确定性确定性”，即一个对，即一个对象或者是集合象或者是集合A的元素或者不是集合的元素或者不是集合A的元素，而两者的元素，而两者必居且只居其一而此悖论恰恰说明理发师这个对象必居且只居其一而此悖论恰恰说明理发师这个对象在确定性上出了毛病在确定性上出了毛病4重要结论重要结论(4)六个关系式的等价性六个关系式的等价性(A,BU)忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点(5)易混的解集易混的解集x|y=f(x)定义域定义域值域值域点集点集方程的解集方程的解集不等式的解集不等式的解集y|y=f(x)(x,y)|y=f(x)x|f
7、(x)=0 x|f(x)0忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点例例1.已知已知:=x|y=x2-2x+1,B=y|y=x2-2x+1,C=x|x2-2x+1=0,D=x|(x-1)20,E=(x,y)|y=x2-2x+1,则下面结论正确的有则下面结论正确的有 ()A=EA=B A B C DARB=y|y0C=1D=E代表抛物线代表抛物线y=x2-2x+1上的点表示的集合上的点表示的集合题型一题型一 集合的概念集合的概念解析题型一题型一 集合的概念集合的概念4例例2.设设A=x|x4,x-2,B=x|axa+3,(1)若若AB=,求实数求实数a的取值范围的取值范围;(2)若若AB,求实数求
8、实数a的取值范围的取值范围;-24题型二题型二 集合的运算集合的运算所以实数所以实数a的取值范围的取值范围所以实数所以实数a的取值范围的取值范围例例2.设设A=x|x4,x-2,B=x|axa+3,(3)若若AB=B,求实数求实数a的取值范围的取值范围;(4)若若 ,求实数求实数a的取值范围的取值范围.(3)AB=B,B A.-24-24所以实数所以实数a的取值范围的取值范围所以实数所以实数a的取值范围的取值范围例例3.题型三题型三 集合间的基本关系集合间的基本关系所以实数的取值范围是所以实数的取值范围是 【1】A x|2x5,Bx|m1x2m1,BA,则则m的取值范围是的取值范围是_.25A
9、m+12m-1Bm|m2m|2m3=m|m3.【3】已知】已知P=x|x2 mx 6m2=0,Q=x|mx1=0，且，且 则由实数则由实数 a 组成的集组成的集合是合是_.由由 ,得得解：解：(2)当当m0 时时,(1)当当m=0时时,此时有此时有 即即 是方程是方程 x2 mx 6m2=0 的根的根,【例【例4 4】对任意两个正整数】对任意两个正整数m、n,定义某种运算定义某种运算:则集合则集合P=(a,b)|a b=8，a,bN*中元素的个数为中元素的个数为 .9【解】【解】当当a,b奇偶性相同时奇偶性相同时,a b=a+b=1+7=2+6=3+5=4+4.当当 a,b奇偶性不同时，奇偶性
10、不同时，a b=ab=18,由于由于(a,b)有序，有序，故共有元素故共有元素42+1=9个个.题型四题型四 集合中的信息迁移题集合中的信息迁移题 补补集集思思想想:对对于于一一些些比比较较复复杂杂、比比较较抽抽象象，条条件件和和结结论论不不明明确确，难难以以从从正正面面入入手手的的数数学学问问题题，在在解解题题时时要要调调整整思思路路，从从问问题题的的反反面面入入手手，探探求求已已知知与与未未知知的的关关系系，能能起起到到化化难难为为易易，化化隐隐为为显显的的作作用用，从从而而解解决决问问题题这这种种“正正难难则则反反”策策略略运运用用的的是是补补集集思思想想，即即已已知知全全集集U求求子子
11、集集A，若若直直接接求求A困困难难,可可先先求求 ,再再由由 求求A.例例5.已知下列三个方程已知下列三个方程个方程有实数根个方程有实数根.求求a的取值范围的取值范围.证明证明:假设三个方程均无实数根假设三个方程均无实数根,则有则有 所以所以,至少有一个方程有实数根时至少有一个方程有实数根时,a的取的取值范围为值范围为至少有一至少有一题型五题型五 用补集思想解决问题用补集思想解决问题题型五题型五 用补集思想解决问题用补集思想解决问题即实数即实数a的取值范围是的取值范围是【2】已知】已知Ax|x2xa0，Bx|x2x2a10，Cx|ax4a9，且，且A、B、C中至少有一个不是空集，中至少有一个不是空集，求求a的取值范围的取值范围11/29/202250 ：5 解解题题是是一一种种实实践践性性技技能能,就就象象游游泳泳、滑滑雪雪、弹弹钢钢琴琴一一样样，只只能能通通过过模模仿仿和和实实践来学到它！践来学到它！波利亚波利亚