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1、常微分方程的解法你现在浏览的是第一页，共19页 机动 目录 上页 下页 返回 结束 建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。你现在浏览的是第二页，共19页机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 常微分方程的离散化常微分方程的离散化下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，
2、其一般形式是在下面的讨论中，我们总假定函数 李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L，使得这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。你现在浏览的是第三页，共19页机动 目录 上页 下页 返回 结束 所谓数值解法，就是求问题（1）的解若用向前差商建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：（i）用差商近似导数）用差商近似导数化简你现在浏览的是第四页，共19页机动 目录 上页 下页 返回 结束 这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题式（3）是个离散化的问题，称为差分方程初值问题。需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。你现在浏览的是第五
3、页，共19页机动 目录 上页 下页 返回 结束（ii）用数值积分方法）用数值积分方法将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端积分，得右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的计算公式。其中的Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断误差。（iii）Taylor多项式方法多项式方法你现在浏览的是第六页，共19页2 欧拉（欧拉（Euler）方法）方法2.1 Euler 方法方法 Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解，即由公式（3）依次
4、算出这组公式求（1）的数值解称为向前Euler 公式。如果在微分方程离散化时，用向后差商代替导数即用这组公式求问题（1）的数值解称为向后Euler 公式你现在浏览的是第七页，共19页 向后 Euler 法与Euler 法形式上相似，但实际计算时却复杂得多。向前Euler 公式是显式的，可直接求解。向后Euler公式的右端含有一般要用迭代法求解，迭代公式通常为2.2 Euler 方法的误差估计方法的误差估计 对于向前Euler 公式（3）我们看到当这里先讨论比较简单的所谓局部截断误差。分析累积误差比较复杂，你现在浏览的是第八页，共19页 局部截断误差指的是，按(7)式计算（7）、（8）两式相减
5、为了估计它，由Taylor展开得到的精确而数值算法的精度定义为：若一种算法的局部截断误差为显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前Euler 方法是一阶方法，因此它的精度不高。你现在浏览的是第九页，共19页3改进的改进的 欧拉（欧拉（Euler）方法）方法3.1 梯形公式梯形公式 利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分，即这就是求解初值问题（1）的梯形公式。直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。你现在浏览的是第十页，共19页3.2 改进欧拉公式改进欧拉公式 按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相
6、当于将Euler 公式与梯形公式结合使用：式（11）称为由Euler 公式和梯形公式得到的预测校正系统，也叫改进Euler 法。为便于编制程序上机，式（11）常改写成改进 Euler 法是二阶方法。你现在浏览的是第十一页，共19页4 龙格龙格库塔（库塔（RungeKutta）方法）方法 回到 Euler 方法的基本思想用差商代替导数上来。实际上，按照微分中值定理应有 可见给出一种斜率，（13）式就对应地导出一种算法。你现在浏览的是第十二页，共19页 要确定它们使（14）式的精度尽量高。就有可能构造出精度更高的计算公式。这就是龙格库塔方法的基本思想。你现在浏览的是第十三页，共19页 注意到待定系
7、数满足（16）的（15）式称为2 阶龙格库塔公式。由于（16）式有4 个未知数而只有3 个方程，所以解不唯一。你现在浏览的是第十四页，共19页 经过与推导2 阶龙格库塔公式类似、4.2 4 阶龙格库塔公式 要进一步提高精度，必须取更多的点，如取 4 点构造如下形式的公式：取既满足这些方程、又较简单的一组i,i,i，可得你现在浏览的是第十五页，共19页 这就是常用的 4 阶龙格库塔方法（简称RK 方法）。你现在浏览的是第十六页，共19页 ,单步法的一般形式是 以上所介绍的各种数值解法都是单步法，这是因为它们在计改进Euler法的增量函数为如何通过较多地利用前面的已知信息来构造高精度的算法计算 yn+1，这就是多步法的基本思想。经常使用的是线性多步法。你现在浏览的是第十七页，共19页 从用数值积分方法离散化方程的（4）式于是得到你现在浏览的是第十八页，共19页 如果将上面代替被积函数由外插改为内插，可进一步减小误差。内插法用的是与（22）式相比，虽然精度一样，但因它的各项系数（绝对值）大为减小，误差还是小了。当然，（23）式右端的f n+1 未知，需要如同向后Euler 公式一样，用迭代或校正的办法处理。你现在浏览的是第十九页，共19页