过程装备力学基础(弹性力学).ppt

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1、过程装备力学基础过程装备力学基础MechanicalBasisofProcessEquipment 主讲教师：栾德玉 学时：32学分：2.0课程性质：专业选修课青岛科技大学机电工程学院青岛科技大学机电工程学院教材及参考书目教材及参考书目教教 材材:过程装备力学基础过程装备力学基础(第二版第二版)，陈旭主编陈旭主编，2006,化学工业出版社化学工业出版社参考书目参考书目:高等弹性力学，高等弹性力学，王敏中等王敏中等，2002，北京大学出版社，北京大学出版社化工机械力学基础化工机械力学基础，黄载生，黄载生，1990，化学工业出版社化学工业出版社化工容器设计化工容器设计，王志文主编王志文主编.199

2、0，化学工业出版社化学工业出版社化工设备设计化工设备设计，聂德清主编聂德清主编.1991，化学工业出版社化学工业出版社过程设备设计过程设备设计，郑津洋等主编郑津洋等主编.2001，化学工业出版社化学工业出版社弹性力学弹性力学，徐秉业等徐秉业等，2007，清华大学出版社，清华大学出版社 第一章第一章 弹性力学基本方法弹性力学基本方法和平面问题解答和平面问题解答 第一节第一节第一节第一节 弹性力学的内容和基本概念弹性力学的内容和基本概念弹性力学的内容和基本概念弹性力学的内容和基本概念 第二节第二节第二节第二节 弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题 第三节第三节第

3、三节第三节 弹性力学平面问题的极坐标解答弹性力学平面问题的极坐标解答弹性力学平面问题的极坐标解答弹性力学平面问题的极坐标解答第一节第一节 弹性力学的内容和基本概念弹性力学的内容和基本概念n 又称作弹性理论，是固体力学学科的一个分支又称作弹性理论，是固体力学学科的一个分支;n 研究物体在弹性范围内由于外力载荷或者温度改变，在物体内研究物体在弹性范围内由于外力载荷或者温度改变，在物体内部所产生的位移、变形和应力分布等部所产生的位移、变形和应力分布等;n为解决工程结构的强度、刚度、稳定性等问题提供相应的理为解决工程结构的强度、刚度、稳定性等问题提供相应的理论依据和分析方法。论依据和分析方法。一一.基

4、本内容基本内容n弹性力学是一门弹性力学是一门基础理论学科基础理论学科，它的研究方法被广泛的应用，它的研究方法被广泛的应用于其他学科和领域。弹性力学不仅于其他学科和领域。弹性力学不仅是诸如有限单元法、复合材是诸如有限单元法、复合材料力学、断裂力学、塑性力学和结构动力分析等课程的基础，料力学、断裂力学、塑性力学和结构动力分析等课程的基础，也是很多大型结构分析软件也是很多大型结构分析软件(例如例如Ansys等等)的核心框架。的核心框架。n弹性力学也是一门弹性力学也是一门基础技术学科基础技术学科，是近代工程技术的必要基，是近代工程技术的必要基础之一。在现代工程结构分析，特别是航空、航天、机械、土础之一

5、。在现代工程结构分析，特别是航空、航天、机械、土建和水利工程等大型结构的设计中，广泛应用着弹性力学的基建和水利工程等大型结构的设计中，广泛应用着弹性力学的基本公式和结论。本公式和结论。第一节第一节弹性力学的内容和基本概念弹性力学的内容和基本概念与材料力学、结构力学的联系和区别与材料力学、结构力学的联系和区别材料力学材料力学结构力学结构力学弹性力学弹性力学研究对象研究对象杆状结构杆状结构杆、梁、轴等杆、梁、轴等杆件系统杆件系统桁架、钢架等桁架、钢架等杆件系统、板、壳以杆件系统、板、壳以及实体结构及实体结构(挡土墙、挡土墙、堤坝、地基等堤坝、地基等)研究方法研究方法1.1.从静力学、几何学、物理学

6、三方从静力学、几何学、物理学三方 面进行分析。面进行分析。2.2.引入对应力或应变的分布的假定引入对应力或应变的分布的假定1.1.静力学、几何学、静力学、几何学、物理学物理学2.2.可以不引入类似可以不引入类似 的假定的假定结结果果简化了繁琐的数学推演简化了繁琐的数学推演但是结果是近似的但是结果是近似的1.1.所得结果更精确所得结果更精确2.2.研究对象更广泛研究对象更广泛.2.2.可以用来校核材料可以用来校核材料力学或结构力学的结力学或结构力学的结果的可靠性和适应性。果的可靠性和适应性。第一节第一节弹性力学的内容和基本概念弹性力学的内容和基本概念第一节第一节弹性力学的内容和基本概念弹性力学的

7、内容和基本概念 弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，若将理论直接用于分析工程问题具有很大的论课程，若将理论直接用于分析工程问题具有很大的困难。原因主要是它的基本方程困难。原因主要是它的基本方程偏微分方程边值问偏微分方程边值问题题数学上求解的困难。由于经典的解析方法很难用于数学上求解的困难。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展中工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展中的特色。近似求解方法，如差分法和变分法等，特别的特色。近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而发展的有限元素方法，为是随着

8、计算机的广泛应用而发展的有限元素方法，为弹性力学的发展和解决工程实际问题开辟了广阔的前弹性力学的发展和解决工程实际问题开辟了广阔的前景。景。1.1 1.1 弹性力学的内容和任务弹性力学的内容和任务基本任务基本任务在弹性阶段的应力和位移强度、刚度和稳定性计算方法结构或构件分析分析校核校核分析和改进分析和改进第一节第一节弹性力学的内容和基本概念弹性力学的内容和基本概念 弹性力学课程的主要学习目的是使学生掌握分析弹性力学课程的主要学习目的是使学生掌握分析弹性体应力和变形的基本方法，为今后进一步的研弹性体应力和变形的基本方法，为今后进一步的研究实际工程构件和结构的强度、刚度、可靠性、断究实际工程构件和

9、结构的强度、刚度、可靠性、断裂和疲劳等问题建立必要的理论基础和分析方法裂和疲劳等问题建立必要的理论基础和分析方法。1.1 1.1 弹性力学的内容和任务弹性力学的内容和任务第一节第一节弹性力学的内容和基本概念弹性力学的内容和基本概念建筑工程1.1 1.1 弹性力学的内容和任务弹性力学的内容和任务弹性力学在工程中的应用弹性力学在工程中的应用第一节第一节弹性力学的内容和基本概念弹性力学的内容和基本概念建筑工程1.1 1.1 弹性力学的内容和任务弹性力学的内容和任务第一节第一节弹性力学的内容和基本概念弹性力学的内容和基本概念航空航天工程1.1 1.1 弹性力学的内容和任务弹性力学的内容和任务第一节第一

10、节弹性力学的内容和基本概念弹性力学的内容和基本概念船舶机械工程1.1 1.1 弹性力学的内容和任务弹性力学的内容和任务第一节第一节弹性力学的内容和基本概念弹性力学的内容和基本概念第一章 绪论1.1 1.1 弹性力学的内容和任务弹性力学的内容和任务第一节第一节弹性力学的内容和基本概念弹性力学的内容和基本概念l外力外力包括包括体积力体积力和和面积力面积力，简称，简称体力体力和和面力面力l基本物理量有基本物理量有外力外力，应力应力、应变应变和和位移位移二二 弹性力学中基本物理量弹性力学中基本物理量1.1.体力体力(Body force)分布在物体体积内的力，例如重力，惯性力和电磁力等。分布在物体体积

11、内的力，例如重力，惯性力和电磁力等。物体各点的体力一般是不相同的，如高速旋转物体所受物体各点的体力一般是不相同的，如高速旋转物体所受的惯性力的惯性力.2.2.面力面力(Surface force)分布在物体表面上的力，例如流体压力，表面接触力等。分布在物体表面上的力，例如流体压力，表面接触力等。分布在物体表面上的力一般是不均匀的。分布在物体表面上的力一般是不均匀的。弹性力学中的基本物理量弹性力学中的基本物理量u物体受外力作用或其温度发生改变时，其内部会产生内力内力。u内力在各点的集度就是各点的应力应力u应力应力沿着作用截面的法向和切向可以分解为法向应力法向应力和切切向应力向应力，即正应力正应力

12、和切应力切应力结论结论：物体内的同一点，不同截面上的应力是不同的。问题问题：如何来描述一点的应力状态(各个截面上的应力 大小和方向)？弹性力学中的基本物理量弹性力学中的基本物理量xyzoPABC 过P点作一个微小的平行六面体，其棱边平行于坐标轴，各个面上的应力均可沿坐标轴进行分解。n 应力分量的表示方法：应力分量的表示方法：正应力正应力：切应力切应力：注注:1.:1.没有考虑由于位置不同引起没有考虑由于位置不同引起 的应力变化。的应力变化。2.2.没有考虑体力的影响没有考虑体力的影响图图1-1弹性体内某一点的应力弹性体内某一点的应力弹性力学中的基本物理量弹性力学中的基本物理量如果某个截面上的外

13、法线是沿着坐标轴的正方向，则这个截面上的应力分量以沿着坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向时为负。反之，某个截面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，则这个截面上的应力分量以沿着坐标轴负方向时为正，沿坐标轴正方向时为负。n应力分量的正负号规定：应力分量的正负号规定：n切应力互等切应力互等(力矩平衡力矩平衡)n一点的应力状态一点的应力状态物体内任意一点,只有三个相互垂直面上的6个应力分量是相互独立的，若某点的这6个应力分量是已知的,则经过该点的任意一个斜面上的应力分量均可以用这6个应力分量表示。故故P P点的应力状态可以表示为：点的应力状态可以表示为：弹性力学中的基本物理量弹性力学中的基本物理量变形变形(

14、Deformation)和应变和应变(Strain)变形变形：物体在外力作用下形状的改变物体在外力作用下形状的改变长度的改变长度的改变角度的改变角度的改变xyzoPABC线应变或正应变线应变或正应变：过该点的线段每单位长度的伸缩，例如过该点的线段每单位长度的伸缩，例如：切应变切应变：过该点的两条线段之间过该点的两条线段之间 的直角的改变，例如的直角的改变，例如：注:1：线应变(或正应变)以伸长为正，缩短为负。2:切应变以直角变小为正，变 大为负。弹性力学中的基本物理量弹性力学中的基本物理量问题问题：物体内的同一点，沿着不同的方向，应变是不同的，则如何来描述一点的应变状态？可以证明，对于物体内任

15、意一点，如果已知三个相可以证明，对于物体内任意一点，如果已知三个相互垂直方向的正应变和与之对应的切应变，则可以互垂直方向的正应变和与之对应的切应变，则可以求得经过该点的任一线段的正应变，也可以求得经求得经过该点的任一线段的正应变，也可以求得经过该点的任意两个线段之间的角度的改变。过该点的任意两个线段之间的角度的改变。故故P P点的应变状态可以表示为：点的应变状态可以表示为：弹性力学中的基本物理量弹性力学中的基本物理量位移位移(Displacement)u 位移位移即为位置的移动，通常包括刚性位移刚性位移和由于自自 身变形产生的位移身变形产生的位移；u 物体内任意一点的位移，通常用它在三个坐标轴

16、x,y,z上的投影u u，v v，w w来表示，并称之为该点的位移位移 分量分量；u 位移分量以沿坐标轴正向时为正，沿坐标轴负方向时为负。u 位移及其分量的量纲是 长度长度 第一章 绪论弹性力学中的基本物理量弹性力学中的基本物理量l 弹性力学的基本问题弹性力学的基本问题 在弹性力学的问题中，通常是已知物体或结构的形状和大小(即已知物体的边界)，已知物体的弹性常数，物体所受的体力，物体边界上的约束条件或面力，来求解物体内部的应力分量、应变分量和位移分量等基本物理量。必须综合应用平衡(应力、体力、面力之间的关系)、几何(应变、位移、边界位移之间的关系)和物理(应力、应变之间的关系)三个方面的方程才

17、能得到问题的解答。弹性体内的任意一点的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分量，都是随之该点的位置而变化的，故这些量一般都是位置坐标的连续函数。第一章 绪论弹性力学中的基本假设弹性力学中的基本假设弹性力学中的基本假设：弹性力学中的基本假设：1.1.连续性假设连续性假设2.2.完全弹性假设完全弹性假设3.3.均匀性假设均匀性假设4.4.各向同性假设各向同性假设5.5.小变形假设小变形假设描述：描述：假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。结果：结果：1.根据这一假设

18、，物体所有物理量，例如位移、应根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力等均为空间坐标的连续函数。变和应力等均为空间坐标的连续函数。2.变形后仍然保持连续性。变形后仍然保持连续性。1.1.连续性假设连续性假设描述：描述：假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因 此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标 位置的变化而改变。位置的变化而改变。结果结果：物体的弹性性质处处都是相同的物体的弹性性质处处都是相同的。说明：说明：1.1.工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几工程材料，例如混凝土颗粒远

19、远小于物体的的几 何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上 讲，也可以视为均匀材料。讲，也可以视为均匀材料。2.2.对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均 匀材料。匀材料。2.2.均匀性假设均匀性假设 描述：描述：假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质。假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质。结果：结果：物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。3.3.各向同性假设各向同性假设描述：描述：假定物体是完全弹性的。完全弹性指的是物体能完假定物体是完全弹

20、性的。完全弹性指的是物体能完 全恢复由于外力所引起的变形而没有任何残余变形。全恢复由于外力所引起的变形而没有任何残余变形。结果：结果：物体在任一瞬时的形变完全取决于它在这一瞬时所物体在任一瞬时的形变完全取决于它在这一瞬时所 受的外力，而与它过去的受力情况无关。受的外力，而与它过去的受力情况无关。说明：说明：1.1.完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。限于线性的应力与应变关系。2.研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。而改变。4.4.完全弹性假设完全弹性假设说明：说明：

21、假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响 下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶 小量，且应变和转角都远小于小量，且应变和转角都远小于1 1。结果：结果：在处理弹性体的平衡方程等问题时，可以用变形以在处理弹性体的平衡方程等问题时，可以用变形以 前的尺寸来代替变形以后的尺寸，而不会引起显著前的尺寸来代替变形以后的尺寸，而不会引起显著 的误差。的误差。说明：说明：可以忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使可以忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使 基本方程成为线性的偏微分方程组。基本方程成为线性的

22、偏微分方程组。5.5.小变形假设小变形假设弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀 性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。这些假设都这些假设都是关于材料变形的宏观假设。是关于材料变形的宏观假设。弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。基本假设。这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。补充说明：补充说明：在物体内任意一点在物体内任意一点P P，割取一个微小的正六面体，如图，割取一个微

23、小的正六面体，如图l-2l-2所所示。它的六面体垂直于坐标轴沿示。它的六面体垂直于坐标轴沿x,y,zx,y,z方向的长度分别为方向的长度分别为dxdx，dydy和和dzdz。三、三、弹性力学基本方程弹性力学基本方程图图1-2单元体受力分析单元体受力分析1.平衡微分方程平衡微分方程在垂直在垂直x轴的两个面上应力分别为轴的两个面上应力分别为在垂直在垂直y轴的两个面上应力分别为轴的两个面上应力分别为在垂直在垂直z轴的两个面上应力分别为轴的两个面上应力分别为 正六面体上的外力为体力，沿正六面体上的外力为体力，沿x x，y y，z z轴的分量为轴的分量为X X，Y Y，Z Z。体力体力X X，Y Y，Z

24、 Z也可以认为是均匀分布，其合力作用在体积中心。也可以认为是均匀分布，其合力作用在体积中心。沿沿x轴的力的平衡方程轴的力的平衡方程两边同除以两边同除以dxdydz后可得后可得同理由同理由可得可得同理由同理由可得可得(1-1)(1-2)对于这一微正六面体的力矩平衡条件同样可以导出对于这一微正六面体的力矩平衡条件同样可以导出切应力互等定律切应力互等定律2.几何方程几何方程 当物体变形后的各点位移分量确定后，各微元体的应变分量当物体变形后的各点位移分量确定后，各微元体的应变分量也相应地确定了。所以也相应地确定了。所以位位移分量与应变分量之间有着密切的关系。移分量与应变分量之间有着密切的关系。(1-3

25、)3.物理方程物理方程(1-4)在完全弹性的各向同性体内，应变分量与应力分量之间的在完全弹性的各向同性体内，应变分量与应力分量之间的关系式，即物理方程，可以用广义虎克定律给出关系式，即物理方程，可以用广义虎克定律给出(1-5)E E是弹性模量，是弹性模量，G G是切变模量是切变模量 是泊松比这三个弹性常是泊松比这三个弹性常数之间有如下关系数之间有如下关系 以上导出的以上导出的3 3个平衡微分方程式个平衡微分方程式(1-1)(1-1)6 6个几何方程式个几何方程式(1-(1-3)3)和和6 6个物理方程式个物理方程式(1-4)(1-4)，是弹性力学空间问题的，是弹性力学空间问题的1515个基本方

26、个基本方程。这程。这1515个基本方程式中包含个基本方程式中包含1515个未知数：个未知数：6 6个应力分量个应力分量 ；6 6个应变分量个应变分量 ；3 3个位移分量个位移分量 。基本方程数目和未知函数。基本方程数目和未知函数的数目相等，在适当的边界条件下是能得到解答的。的数目相等，在适当的边界条件下是能得到解答的。第二节第二节 弹性力学的平面问题弹性力学的平面问题 当弹性体的一个方向尺寸很小，例如薄板，在板的边缘有平当弹性体的一个方向尺寸很小，例如薄板，在板的边缘有平行于板面并沿板厚均匀分布的力作用，对于这类问题，由于两个行于板面并沿板厚均匀分布的力作用，对于这类问题，由于两个板面上无外载

27、作用，因而两个板面上的应板面上无外载作用，因而两个板面上的应力分量为零。力分量为零。一一.平面应力与平面应变平面应力与平面应变平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题又因为板很薄，外力不沿厚度变化，应力沿着板的厚度又是连续分又因为板很薄，外力不沿厚度变化，应力沿着板的厚度又是连续分布的，所以在整个板内的所有点都有布的，所以在整个板内的所有点都有 ，。六。六个应力分量只剩下平行于个应力分量只剩下平行于xOy面的三个应力分量，即面的三个应力分量，即 ,，而且它们只是坐标而且它们只是坐标x x，y y的函数，与的函数，与z z无关。这类问题称作无关。这类问题称

28、作平面应力平面应力问题问题。当弹性体的一个方向尺寸很大，例如很长的柱形体。在柱形体的当弹性体的一个方向尺寸很大，例如很长的柱形体。在柱形体的表面上有平行于横截面表面上有平行于横截面而不沿长度变化的外力。若柱形体无限长，而不沿长度变化的外力。若柱形体无限长，则柱形体任一点的应力分量、应变分量和位移分量都不沿则柱形体任一点的应力分量、应变分量和位移分量都不沿z z方向变方向变化，而只是化，而只是x x、y y的函数；此外由于在的函数；此外由于在z z方向柱形体的结构型式和受方向柱形体的结构型式和受力都相同，因此任一横截面都可以看做是对称面。而对称面在力都相同，因此任一横截面都可以看做是对称面。而对

29、称面在z z方方向的伦移必须为零，所以柱形体内任一点都只有向的伦移必须为零，所以柱形体内任一点都只有x x，y y方向的位移方向的位移u u、v v。由于对称，。由于对称，这样六个应力分量剩下四个，即，这样六个应力分量剩下四个，即，这类问题称做这类问题称做平面应变问题平面应变问题。对于平面应力问题：对于平面应力问题：对于平面应变问题，在对于平面应变问题，在z z方向还作用有正应力方向还作用有正应力 但但 是自是自成平衡的成平衡的,二二.平面问题的基本方程平面问题的基本方程1 1、平衡方程、平衡方程平面问题中的平衡微分方程为平面问题中的平衡微分方程为(1-6)2 2、几何方程、几何方程任意点任意

30、点P P，沿，沿x x轴、轴、y y轴取微小长度轴取微小长度PAdxdx，PBdydy。PA的线应变的线应变 为为 PB的线应变的线应变 为为PA和和PB之间的直角变化即切应变之间的直角变化即切应变 为为平面问题中的几何方程为平面问题中的几何方程为(1-7)3 3、物理方程、物理方程在平面应力问题中在平面应力问题中，得到平面应力的物理方程为得到平面应力的物理方程为并且并且(1-8)在平面应变问题中在平面应变问题中，得到平面应变的物理方程为得到平面应变的物理方程为(1-9)以上导出的以上导出的2 2个平衡微分方程式个平衡微分方程式(1-6)(1-6)，3 3个几何方程式个几何方程式(1-7)(1

31、-7)和和3 3个物理方程式个物理方程式(1-8)(1-8)或式或式(1-9)(1-9)，是弹性力学平面问题的，是弹性力学平面问题的8 8个个基本方程。这基本方程。这8 8个基本方程式中包含个基本方程式中包含8 8个未知数：个未知数：3 3个应力分量个应力分量 ，3 3个应变分量个应变分量 ；2 2个位移个位移分量分量 。基本方程数目和未。基本方程数目和未知函数的数目相等，在适当的边界条件下是能得到解答的知函数的数目相等，在适当的边界条件下是能得到解答的。平面问题的边界条件有三种平面问题的边界条件有三种三三.平面问题的边界条件平面问题的边界条件1 1、位移边界条件、位移边界条件若弹性体在边界上

32、给定位移分量若弹性体在边界上给定位移分量，它们是边界坐标的，它们是边界坐标的已知函数。已知函数。(1-10)2 2、应力、应力边界条件边界条件 若弹性体在边界上给定表面力分量若弹性体在边界上给定表面力分量 ，它们在边界上是坐，它们在边界上是坐标的已知函数。在边界上标的已知函数。在边界上待求的待求的应力分量应力分量 与给定表与给定表面力之间的关系面力之间的关系-即应力边界条件，可由边界上小单元体的平衡即应力边界条件，可由边界上小单元体的平衡条件得出。条件得出。在边界上取出小单元体，它的斜面在边界上取出小单元体，它的斜面AB与物体的边界重合，如与物体的边界重合，如图所示。用图所示。用N代表边界面代

33、表边界面AB的外法线方向，并令的外法线方向，并令N的方向余弦为的方向余弦为 令边界面令边界面AB的长度为的长度为dsds，则，则PA和和PB的长度分别为的长度分别为 和和 。垂直于图面的尺寸取为一个单位。垂直于图面的尺寸取为一个单位。作为在边界上的己知面力沿坐标铀作为在边界上的己知面力沿坐标铀的分量为的分量为 。由平衡条件由平衡条件 ，得，得略去高阶微量并各项同除以略去高阶微量并各项同除以dsds，并令，并令dsds趋于零，则得趋于零，则得式中式中 是应力分量的边界值。是应力分量的边界值。由平衡条件由平衡条件 ，得，得物体边界上各点应力分量与面力分量之间的关系式，即平面物体边界上各点应力分量与

34、面力分量之间的关系式，即平面问题的边界条件为问题的边界条件为(1-11)在垂直于在垂直于x x轴的边界上，轴的边界上，x x值为常量，值为常量，应力边界条，应力边界条件简化为件简化为在垂直于在垂直于y y轴的边界上，轴的边界上，y y值为常量，值为常量，应力边界条，应力边界条件简化为件简化为可见，在这种倩况下，应力分量的边界值等于对应的面力分量。可见，在这种倩况下，应力分量的边界值等于对应的面力分量。当物体的一部分边界具有已知位移，而另一部分边界具有已当物体的一部分边界具有已知位移，而另一部分边界具有已知面力时，则具有已知位移的边界可应用式知面力时，则具有已知位移的边界可应用式(1-10)(1

35、-10)，具有已知，具有已知面力的边界可应用式面力的边界可应用式(1-11)(1-11)。此外，还可能在同一部分边界上。此外，还可能在同一部分边界上出现混合边界条件，即两个边界条件中的一个是位移边界条件，出现混合边界条件，即两个边界条件中的一个是位移边界条件，另一个则是应力边界条件。另一个则是应力边界条件。3 3、混合、混合边界条件边界条件 在求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分在求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足基本方程并不困难；但要使得边界条件也得到完全量完全满足基本方程并不困难；但要使得边界条件也得到完全满足，却往往发生很大的因难满足，却往往发生很大的

36、因难(因此，弹性力学问题在数学上被因此，弹性力学问题在数学上被称为边界值问题称为边界值问题)。四四.圣维南原理圣维南原理圣维南原理可以这样来陈述：如果把物体的一小部分边界上的圣维南原理可以这样来陈述：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力面力，变换为分布不同但静力等效的面力(主矢量相同，对于同主矢量相同，对于同一点的主矩也相同一点的主矩也相同)那么，近处的应力分布将有显著的改变，那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。但是远处所受的影响可以不计。在弹性力学里求解未知的应力分量、应变分量和位移分量，在弹性力学里求解未知的应力分量、应变分量和位移分

37、量，按基本变量的选定可分为按基本变量的选定可分为应力法应力法、位移法位移法和和混合法混合法等三种。等三种。五五.平面问题的解法平面问题的解法应力法是以应力分量作为基本未知函数，综合运用平衡、应力法是以应力分量作为基本未知函数，综合运用平衡、几何和物理方程，得到只包含应力分量的微分方程，由这些几何和物理方程，得到只包含应力分量的微分方程，由这些微分方程和边界条件求出应力分量，再用物理方程求出应变微分方程和边界条件求出应力分量，再用物理方程求出应变分量，用几何方程求出位移分量。分量，用几何方程求出位移分量。位移法是以位移分量作为基本未知函数，综合运用平衡、几位移法是以位移分量作为基本未知函数，综合

38、运用平衡、几何和物理方程，得到只包含位移分量的微分方程。由这些何和物理方程，得到只包含位移分量的微分方程。由这些微分方程和边界条件求出位移分量，再由几何方程求出应变微分方程和边界条件求出位移分量，再由几何方程求出应变分量，用物理方程求出应力分量。分量，用物理方程求出应力分量。混合法是同时以某些位移分量和某些应力分量为基本未知函混合法是同时以某些位移分量和某些应力分量为基本未知函数，综合运用平衡、几何和物理方程得到只包含这些位移分数，综合运用平衡、几何和物理方程得到只包含这些位移分量和应力分量的微分方程。由这些微分方程和边界条件求出某量和应力分量的微分方程。由这些微分方程和边界条件求出某些位移分

39、量和某些应力分量，再利用适当的方程求出其他的些位移分量和某些应力分量，再利用适当的方程求出其他的未知量。未知量。下面用应力法求解平面问题。下面用应力法求解平面问题。将平面问题的几何方程将平面问题的几何方程(1-7)(1-7)中的中的 对对y y求两次导数，求两次导数，对对x x求求两次导数后相加，得两次导数后相加，得所以所以这个关系式称为相容方程或变形协调方程。这个关系式称为相容方程或变形协调方程。(1-12)只有当只有当 ，、满足式满足式(1-12)(1-12)，变形才能协调。，变形才能协调。利用物理方程将式利用物理方程将式(1-12)(1-12)中的应变分量消去，使相容方程中中的应变分量消

40、去，使相容方程中只包含应力分只包含应力分量量，然后和平衡方程联立，就能解出应力分量。，然后和平衡方程联立，就能解出应力分量。对于平面应力问题。对于平面应力问题。将物理方程将物理方程(1-8)(1-8)代人式代人式(1-12)(1-12)得到只包含应力分量的相容方程得到只包含应力分量的相容方程(1-13)将式将式(1-13)(1-13)和平衡方程和平衡方程(1-6)(1-6)联立就可解出应力分量。联立就可解出应力分量。以应力表示的相容方程形式以应力表示的相容方程形式将平衡方程将平衡方程(1-6)(1-6)写成写成对对x,yx,y分别求导，然后相加，可得分别求导，然后相加，可得(1-14)将式将式

41、(1-14)(1-14)代入式代入式(1-13)(1-13)，化简得，化简得(1-15)对于平面应变问题，以应力表示的相容方程只要在式对于平面应变问题，以应力表示的相容方程只要在式(1-(1-15)15)中将中将 换为换为 就可得到。其方程为就可得到。其方程为(1-16)因此用应力法求解平面问题时，对于平面应力问题，利用平衡因此用应力法求解平面问题时，对于平面应力问题，利用平衡方程方程(1-6)(1-6)和以应力表示的相容方程和以应力表示的相容方程(1-15)(1-15)就可解出应力分量就可解出应力分量 。它们应当满足应力边界条件。对于平面应变问题，利。它们应当满足应力边界条件。对于平面应变问

42、题，利用平衡方程用平衡方程(1-6)(1-6)和相容方程和相容方程(1-16)(1-16)解出应力分量，这些应力分解出应力分量，这些应力分量也应满足应力边界条件。量也应满足应力边界条件。(1-17)当体力是常量时，则以应力表示的相容方程式当体力是常量时，则以应力表示的相容方程式(1-15)(1-15)和式和式(1-16)(1-16)可化成以下相同的形式可化成以下相同的形式称做平面问题的拉普拉斯算子。称做平面问题的拉普拉斯算子。(1-17)六六.应力函数应力函数 在体力为常量的情况下，将应力作为基本变量求解平面问在体力为常量的情况下，将应力作为基本变量求解平面问题时归结为求解下列微分方程组题时归

43、结为求解下列微分方程组(1-6)平衡方程平衡方程(1-6)(1-6)是非齐次微分方程组，它的解答包括两部分，即是非齐次微分方程组，它的解答包括两部分，即方程方程(1-6)(1-6)的任一特解和齐次方程的通解之和。的任一特解和齐次方程的通解之和。(1-18)(1-19)可取下列的特解可取下列的特解将式将式(1-19)(1-19)代入是能满足式代入是能满足式(1-6)(1-6)的。的。为了求齐次方程为了求齐次方程(1-18)(1-18)的通解，可将式的通解，可将式(1-18)(1-18)改写为改写为由微分方程理论可知：若存在由微分方程理论可知：若存在 ，则表达式，则表达式 必是某函数的全微分。因此

44、表达式必是某函数的全微分。因此表达式是以是以A(x,y)A(x,y)表示的某函数的全微分。于是表示的某函数的全微分。于是(a)(b)(c)同样，表达式同样，表达式 是某函数是某函数B(xB(x，y)y)的全微分。且的全微分。且(d)比较比较(c)(c)式和式和(d)(d)式，可得到式，可得到(e)由由(e)(e)式也指出表达式式也指出表达式是某函数是某函数的全微分的全微分,且且(f)将将(c)(c)、(d)(d)式代人式代人(f)(f)式，就得到式式，就得到式(1-18)(1-18)的通解的通解(1-20)(1-21)将通解和特解相加即得微分方程将通解和特解相加即得微分方程(1(1-6)6)的

45、全解的全解 不论不论 是什么样的函数，应力分量式是什么样的函数，应力分量式(1-21)(1-21)总能满足平衡总能满足平衡微分方程微分方程(1-6)(1-6)，函数，函数 称作平面问题的应力函数。称作平面问题的应力函数。应力分量式应力分量式(1-21)(1-21)除必须满足平衡微分方程外，还应满足除必须满足平衡微分方程外，还应满足变形协调条件。将变形协调条件。将式式(1-21)(1-21)代入相容方程式代入相容方程式(1-17(1-17)(1-22)上式可变为上式可变为展开为展开为(1-23)(1-24)这就是用应力函数这就是用应力函数 表示的相容方程。由此可见，应力函数表示的相容方程。由此可

46、见，应力函数应当是重调和函数。应当是重调和函数。如果体力不计，则如果体力不计，则 XY0,式式(1-21)(1-21)简化为简化为(1-25)因此，用应力法求解平面问题时，如果体力是常量，就只因此，用应力法求解平面问题时，如果体力是常量，就只须由微分方程须由微分方程(1-23)(1-23)解出应力函数然后用式解出应力函数然后用式(1-21)(1-21)求出应力求出应力分量。但是在求解具体问题时，寻求满足式分量。但是在求解具体问题时，寻求满足式(1-23)(1-23)的应力函数的应力函数并不困难，而要它严格的满足边界条件却是很困难的。并不困难，而要它严格的满足边界条件却是很困难的。因此，在具体求

47、解问题时，只能采用逆解法或半逆解法。因此，在具体求解问题时，只能采用逆解法或半逆解法。所谓逆解法，是先假设各种形式的满足相容方程所谓逆解法，是先假设各种形式的满足相容方程(1-23)(1-23)的的应力函数应力函数 ，用式，用式(1-21(1-21）算出应力分量。然后根据应力边界条）算出应力分量。然后根据应力边界条件来考察在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样件来考察在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。例如设应力函数例如设应力函数 ，其中，其中c c为任意常数。不论为任意常数。

48、不论 取何值，取何值，总能满足相容方程式总能满足相容方程式(1-23)(1-23)，若不计体力，由式，若不计体力，由式(1-25)(1-25)求出对求出对应的应力分量为应的应力分量为 当弹性体的形状为矩形板，且坐当弹性体的形状为矩形板，且坐标的取法如图所示。若在板内发生上标的取法如图所示。若在板内发生上述应力时，则此矩形板上下两边应没述应力时，则此矩形板上下两边应没有面力，左右两边应没有垂直面力，有面力，左右两边应没有垂直面力，从而求得应力函数从而求得应力函数 ，然后来考虑这个应力函数是否满足相容方，然后来考虑这个应力函数是否满足相容方程，以及原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应程

49、，以及原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量是否满足应力边界条件。如果相容方程和各方面的条件都力分量是否满足应力边界条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，自然就得出正确的解答，如果某一方面不能满足，就要能满足，自然就得出正确的解答，如果某一方面不能满足，就要另作假设，重新考虑。另作假设，重新考虑。有按直线变化的水平面力。每一边上的水平面力合成为一个有按直线变化的水平面力。每一边上的水平面力合成为一个力偶。因此，应力函数力偶。因此，应力函数 能解决矩形梁受纯弯曲问题。能解决矩形梁受纯弯曲问题。所谓半逆解法，是针对所要求解的问题根据弹性体的边界所谓半逆解法，是针对所要求解的问题

50、根据弹性体的边界 形状和受力情况，假设部分或全部应形状和受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，力分量为某种形式的函数，第三节第三节 弹性力学平面问题弹性力学平面问题的极坐标解答的极坐标解答一、极坐标中的基本方程一、极坐标中的基本方程1 1极坐标中的平衡方程极坐标中的平衡方程极坐标中微元体受力图极坐标中微元体受力图 在极坐标中，平面在极坐标中，平面内任一点的位置用径向内任一点的位置用径向坐标坐标 和周向和周向(或环向或环向)坐标坐标 来表示。来表示。沿沿 和和 方向取出微小方向取出微小六面体，六面体六面体，六面体 的长的长度为度为 ，沿周向的交角，沿周向的交角为为 ，沿，沿z z方向