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1、第二章 有限元分析的力学基础本章主要内容o2.1弹性力学同有限元分析的关系o2.2弹性体的基本假设o2.3弹性力学的基本变量o2.4平面问题的基本力学方程o2.5空间问题的基本力学方程o2.6弹性问题中的能量表达o2.7两大类平面问题本章要点o变形体的三大类基本变量o变形体的三大类基本方程及两类边界条件o弹性问题中的能量表示o平面应力、平面应变、刚体位移的特征及表达o应力及应变的分解2.1弹性力学同有限元分析的关系o弹性力学：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。o是固体力学的重要分支，它研
2、究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力。o研究对象：包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。o弹性力学基本规律：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。2.1弹性力学同有限元分析的关系o弹性力学同材料力学的比较 1、研究内容：基本上没有什么区别。弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件；弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实
3、体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。2.1弹性力学同有限元分析的关系o弹性力学同材料力学的比较 3、研究的方法：相同点：静力学、几何学与物理学三方面进行研究；不同点：材料力学：材料力学：对构件的整个截面建立分析方程，引用一些截面的变形状况或应力情况的假设，因而得出的结果往往是近似的，不精确。弹性力学：弹性力学：对构件采用无限小单元体来建立分析方程的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。2.1弹性力学同有限元分析的关系 从几何形状复杂程度来考虑可以分为：1）简单形状变形
4、体材料力学 2）任意形状变形体弹性力学 任意变形体是有限元方法有限元方法处理的对象，因而，弹性力学中有关变量和方程的描述是有限元方法的重要基础。弹性力学的弱点：弹性力学的弱点：由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定。2.2 弹性力学中关于材料性质的假定o连续性：亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位 移等等才可以用座标的连续函数来表示。o完全弹性：亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不
5、留任何残余变形。这样，当温度不变时，物 体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。服从虎克定律(应力应变成比例)o均匀性：也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常 数(弹性模量和泊松系数)才不随位置座标而变。o各向同性：也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。o物体的变形是微小的：亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考
6、虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。2.2 弹性力学中关于材料性质的假定2.3弹性力学基本变量o基本变量2.3弹性力学基本变量o外力：指其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。可以分为体积力和表面力 1、表面力：是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。2、体力：是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。均为矢量。弹性体受外力以后，其内部将产生应力（内力）2.3弹性力学基本变量o内力：应力应力 -外力外力(或温度或温度)的作用的作用 内力内力 设作用于 上的内力为 ,则内力的平均集度,即平均应力,
7、为 /这个极限矢量极限矢量S S,就是物体在截面mn上、P点的应力应力。应力就是弹性体内某一点作用于某截面单位面积上的内力2.3弹性力学基本变量oo正正应力应力 oo剪剪应力应力 每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力正应力下标表示作用在垂直于轴的面上同时也沿着轴方向作用的剪应力加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。2.3弹性力学基本变量o正面（外法线是沿着坐标轴的正方向）o负面（外法线是沿着坐标轴的负方向）o正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负o负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负正应力以拉应力为正
8、，压应力为负2.3弹性力学基本变量o剪应力互等定律：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。不同的坐标表示应力张量一点的应力状态应变应变应变应变形状的改变（形状的改变（形状的改变（形状的改变（形变形变形变形变）长度的改变和角度长度的改变和角度长度的改变和角度长度的改变和角度的改变的改变的改变的改变 应变和位移应变和位移 为了分析物体在其某一点 P 的形变状态,在这一点沿着坐标轴x,y,z 的正方向取三个微小的线段 PA,PB,PC。2.3弹性力学基本变量正应变正应变各线段的每单位长度的伸缩,即单位伸缩或相对伸缩
9、。以伸长为正、缩短为负 剪剪应变应变各线段之间的直角的改变,用弧度表示。以直角减小为正、增大为负。2.3弹性力学基本变量位移位移位移位移就是位置的移动就是位置的移动就是位置的移动就是位置的移动。物体内任意一点的位移物体内任意一点的位移,用它在用它在x,y,z三轴上的三轴上的投影投影 ，来表示来表示以正标向为正以正标向为正。一般而论,弹性体内任意一点的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分量,都是随着该点的位置而变的,因而都是位置坐标的函数位置坐标的函数位置坐标的函数位置坐标的函数。2.3弹性力学基本变量o位移与应变的关系2.3弹性力学基本变量应变应变位移位移刚体刚体位移位移位移位移刚体
10、刚体转动转动strain-displacement relations.（几何方程（几何方程柯西方程）柯西方程）应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量。弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，即弹性体位置的移动和形状的改变。弹性体内任一点的位移可由沿直角坐标轴方向的3个位移分量 来表示。它的矩阵形式是：称作位移列阵或位移向量。o基本方程 受外部作用的任意形状变形体，在其微小体元dxdydz中，基于位移、应变和应力这三大类变量，可以建立以下三大类方程 平衡方程：外力和内力之间的平衡关系 几何方程：描述的是位移和应变之间关系 物理方程：应力和应变之间的关系2.4平面问题的基本力学方程o平衡方程：外
11、力和内力之间的平衡关系o几何方程：描述的是位移和应变之间关系o物理方程：应力和应变之间的关系o边界条件：o平面(二维)平衡方程 平面问题的静力学平衡,设微小正六面体,在X,Y方向的尺寸dx,dy,Z方向的尺寸取一个单位长度.两个对面存在微小差量,通过中心点C,平行与Z轴的直线为轴,列出平衡方程上式两边除dxdy,可得:剪力互等关系以X轴为投影轴,满足平衡方程:上式两边除dxdy,可得:同理o平面(二维)几何方程 经过弹性体内任一点P,沿X轴和Y轴的方向取两个微小长度的线段PA=dx,PB=dy见图o变形协调条件 它的物理意义是：材料在变形过程中应该是整体连续的，不应该出现“撕裂”和“重叠”现象
12、发生。写成矩阵形式为物理方程物理方程E称为杨氏模量反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。是泊松系数，描写材料横向收缩或膨胀的特性。线应变（相对伸长或压缩）绝对伸长（或压缩）与原长之比称为相对伸长（或压缩）。公式：其中：设想直杆横截面是正方形每边长为 ,横向形变后为 。横向形变和纵向形变之比为泊松系数：当 时，为拉伸形变；时，为压缩形变，因而，它很好地反映形变程度。如直杆拉伸压缩时，还产生横向形变，则对应的应变(或形变)为：按照边界情况，弹性力学问题一般分为三类：位移边界问题：在边界面上全部给定位移，即全部是 Su 边界 应力边界问题：在边界面上全部给定表面力，即全部是应力边界。这时，外力（包括
13、体力和面力）应是平衡力系。混合边界问题：既有Su 边界，又有应力边界。二者可以分别在边界表面不同的区域上，或同一区域不同的方向上。边界条件边界条件在 上弹性体的位移已知为 即有:用矩阵形式表示是弹性体V的全部边界为S,一部分边界上已知外力 称为力的边界条件，这部分边界用 表示;另一部分边界上弹性体的位移 已知，称为几何边界条件与位移边界条件，这部分边界用 表示。这两部分边界构成弹性体的全部边界，即:o几何边界条件作用在任意平面上该点的应力分量可以由下式表示为：其中 2.5空间问题的基本力学方程o平衡方程：外力和内力之间的平衡关系o几何方程：描述的是位移和应变之间关系o物理方程：应力和应变之间的
14、关系o边界条件：平衡方程平衡方程oX方向负面oX方向正面oY方向负面oY方向正面oZ方向负面oZ方向正面oX方向力平衡o化简得oY方向力平衡o化简得oZ方向力平衡o化简得o如果这六个量在某点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。o一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。o六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵来表示：几何方程几何方程工程应变o写成矩阵形式为o几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过
15、来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试命：式中的u0,v0,w0,x,y,z是积分常数。u0弹性体沿x方向的刚体移动v0 弹性体沿y方向的刚体移动 w0 弹性体沿z方向的刚体移动x 弹性体绕x轴的刚体转动y 弹性体绕y轴的刚体转动z 弹性体绕z轴的刚体转动为了完全确定弹性体的位移，必须有六个适当的约束条件来确定这六个刚体位移。o变形协调条件 当6个应变分量满足以上应变协调方程时，就能保证得到单值连续的位移函数。当沿x轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何改
16、变，而其在x方向的单位伸长则可表以方程 弹性体在x方向的伸长还伴随有侧向收缩，即在y和z方向的单位缩短可表示为：方程既可用于简单拉伸，也可用于简单压缩，且在弹性极限之内，两种情况下的弹性模量和波桑系数相同。应力分量与应变分量之间的关系-虎克定律物理方程物理方程设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，则合成应变的分量可用前面两式求得。实验证明，只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。单位伸长与应力之间的关系完全由两个物理常数E及所确定。两个常数也可用来确定剪应力与剪应变之间的关系。公式的适用范围公式的适用范围 :在线弹性范围内,小 变形条件下,各向同性材料。如
17、果弹性体的各面有剪应力作用任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到：正应变与剪应变是各自独立的。因此，由三个正应力分量与三个剪应力分量引起的一般情形的应变，可用叠加法求得；即将六个关系式写在一起，得弹性方程或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律。写成矩阵形式为 边界条件边界条件XN,YN,ZN分别为作用在某一任意平面上的沿三个坐标轴方向的分量。对于已知应力边界条件的情况，相应的应力边界条件为 o二维问题：2个位移分量，3个应力分量，3个应变分量 2个平衡方程，3个几何方程，3个物理方程o三维问题：3个位移分量，6个应力分量，6个应变分量 3个平衡方程，6
18、个几何方程，6个物理方程 我们得到的变量和方程都是从任意变形体中所取出来的微单元体来建立的，因此无论对象的几何形状和边界条件如何不同，其基本变量和基本方程是完全相同，不同之处在于边界条件，所以求解的难度是如何处理边界条件（几何形状）。2.5弹性问题中的能量表示o能量分类1）施加外力在可能位移上所作的功。2）变形体由于变形而存储的能量。o2.5.1外力功 施加外力在可能位移上所作的功，外力有两种，包括作用在物体上的面力和体力，这些力被假设为与变形无关的不变力系（保守力），则外力功包括这两部分力在可能位移上所作的功。o2.5.2应变能 以位移（或应变）为基本变量所表达的变形能叫做应变能（strai
19、n energy）。它也包括两部分 1）对应于正应力与正应变的应变能 2）对应于剪应力和剪应变的应变能对应于正应力与正应变的应变能，另外两个方向上的计算类似。对应于剪应力和剪应变的应变能（其它两个剪应力类似）o由叠加原理，将所有方向的正应力应变和剪应力应变叠加得哥西应变张量哥西应变张量o哥西应变张量工程应变 o从而得系统势能*虚功原理*o刚体：在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功（各力所作的功的代数和）恒等于零。*虚功原理*o变形体：外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功（外
20、力功）等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功（内力功）。2.6特殊问题的讨论o实际问题中，经常有一些比较典型的情况，需要有针对性的进行处理，如o厚度较薄的平面问题o厚度较厚的等截面平面应变问题o物体的刚体移动o物体变形后的体积变化等o弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。o平面应力问题o平面应变问题2.6.1平面应力问
21、题o几何形状特征：物体在一个坐标方向（例如z）的几何尺寸远远小于其他两个坐标方向的几何尺寸，如图所示的薄板。o载荷特征：在薄板的两个侧表面上无表面载荷，作用于边缘的表面力平行于板面，且沿厚度不发生变化，或虽沿厚度变化但对称于板的中间平面，体积力亦平行于板面且沿厚度不变。几何方程物理方程平衡方程考察应力边界特点注意：注意：2.6.2平面应变问题o几何形状特征：物体沿一个坐标轴（例如z轴）方向的长度很长，且所有垂直于z轴的横截面都相同，即为一等直柱体；位移约束条件或支承条件沿z方向也相同。o 载荷特征：柱体侧表面承受的表面力以及体积力均垂直于z轴，且分布规律不随z变化。几何方程物理方程平衡方程特点
22、：方向位移以及应变为零（但z方向的应力不为零）注意注意：由于z方向的伸缩被阻止，所以可以看出,平面应力和平面应变问题的物理方程可以通过以下变换互相得到因为在平面应变问题中也有和，所以有相应的剪应变为零。平面应力平面应变平面应变平面应力平面应力和平面应变的区别平平 面面 应应 力力平平 面面 应应 变变基本量基本量平衡方程平衡方程相 同几何方程几何方程相 同物理方程物理方程形式相同、内容不同。将代入平面应力问题的物理方程即可得到平面应变问题的物理方程。2.6.3刚体位移的表达o刚体位移意味着刚体内没有任何应变，根据几何方程，积分可得o要使得第三个式子成立，须满足以下条件求解得：关于其中系数的讨论：o=0，v0=0时有o=0，u0=0时有u0是x方向的刚体位移 v0是y方向的刚体位移 ou0=0，v0=0时有合成位移是该点饶o点的转动，角速度为可以看出，ij表示刚体位移中的刚体转动，转动角度为0。o体积应变