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1、正态分布大数定律与中心极限定理第1页，本讲稿共45页记作记作 其中其中 及及 0 0都为常数，这种分布叫做都为常数，这种分布叫做正态分布正态分布或或高斯分布高斯分布。设连续型随机变量设连续型随机变量 X X 的概率密度为的概率密度为 1.正态变量的密度函数正态变量的密度函数 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第2页，本讲稿共45页特别地，当特别地，当 时，正态分布时，正态分布 叫做叫做标准正态分布标准正态分布。其概率密度为其概率密度为 2.2.正态分布正态分布 的密度曲线的密度曲线 若固定若固定=0 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态
2、分布、大数定律与中心极限定理第3页，本讲稿共45页0.53.3.正态变量的分布函数正态变量的分布函数4.4.标准正态分布的密度函数与分布函数标准正态分布的密度函数与分布函数 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第4页，本讲稿共45页4.4.正态密度函数的性质正态密度函数的性质 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第5页，本讲稿共45页（3 3）第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第6页，本讲稿共45页 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中
3、心极限定理第7页，本讲稿共45页 若若 ,求求X 落在区间落在区间 内的概率，内的概率，其中其中例题例题4.1.2例题例题4.1.1,解：查表可得：解：查表可得：故 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第8页，本讲稿共45页解解查表得查表得 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第9页，本讲稿共45页拐点拐点 拐点拐点 随机变量随机变量 X 落在落在 之外的概率小于之外的概率小于3。通常认为这一概率很小，根据小概率事件的实际不可能性通常认为这一概率很小，根据小概率事件的实际不可能性 原理，我们常把区间原理，我们常
4、把区间看作是随机变量看作是随机变量 X 的的 实际可能的取值区间这一原理叫做实际可能的取值区间这一原理叫做三倍标准差原理三倍标准差原理（或（或3 法则法则）。）。第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第10页，本讲稿共45页 例例4.1.3 把温度调节器放入储存着某种液体的容器中，调节器的设定温度 为d 度,已知液体的温度T是随机变量，且（1）若度的概率；度，求（2）若要求保持液体的温度至少为80度的概率不少于0.99，问d至少为多少度？解解（1）由已知，所求的概率为（2）据题意，需求d,使得因为 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、
5、大数定律与中心极限定理第11页，本讲稿共45页利用0.9901正态分布表，有所以即故设定温度d至少为81.165度.一般地，给定实数存在实数使得为随机变量X上的则称百分位点.百分位点的解释和应用在数理统计部分还要详细说明 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第12页，本讲稿共45页二、正态分布的数字特征二、正态分布的数字特征1.1.数学期望数学期望 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第13页，本讲稿共45页1.1.方差方差3.3.中心矩中心矩 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与
6、中心极限定理第14页，本讲稿共45页若若 k 为偶数，为偶数，若若 k 为奇数，奇函数对称积分为奇数，奇函数对称积分则：则：第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第15页，本讲稿共45页例题例题4.1.4 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第16页，本讲稿共45页例题4.1.5（2009，4分）第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第17页，本讲稿共45页二维随机变量二维随机变量(X X,Y,Y)的正态分布概率密度表示如下：的正态分布概率密度表示如下：其中，参数其中，参数
7、 及及 分别是随机变量分别是随机变量 X X 及及 Y Y 的数的数学期望，学期望，及及 分别是它们的标准差，分别是它们的标准差，参数参数参数参数 r r 是它们的相关系数。是它们的相关系数。三、二维正态分布三、二维正态分布1.1.二维正态分布的密度二维正态分布的密度 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第18页，本讲稿共45页2.2.二维正态分布的边缘密度二维正态分布的边缘密度定理定理4.2.1 其中 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第19页，本讲稿共45页置换积分变量但是，一定注意，反过来，两个一维正态
8、分布未必能确定二维正态分布.第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第20页，本讲稿共45页3.3.二维正态分布的独立性与相关系数二维正态分布的独立性与相关系数应用相关系数公式能够计算出：第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第21页，本讲稿共45页另外另外,若设相关系数为零，则若设相关系数为零，则 如果随机变量如果随机变量X与与 Y 独立独立,并且都服从正态分布并且都服从正态分布,则则 在二在二维维正正态态分布中，独立性与不相关是一致的，分布中，独立性与不相关是一致的，这是二维正态分布的一个重要特征.第四章第四章
9、正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第22页，本讲稿共45页例例4.2.2 设随机变量设随机变量X 与与Y 独立独立,并且都服从正态分布并且都服从正态分布 N(0,1),求求的的概率密度概率密度.解解 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第23页，本讲稿共45页例题例题4.2.3 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第24页，本讲稿共45页四、正态变量的线性函数的分布四、正态变量的线性函数的分布定理定理4.3.1证证由于由于 是单调函数，且反函数为是单调函数，且反函数为 第四章第四章
10、 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第25页，本讲稿共45页推论推论定理定理4.3.2证证 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第26页，本讲稿共45页以上结论还可以推广到更一般的情况以上结论还可以推广到更一般的情况 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第27页，本讲稿共45页例题例题4.3.1定理定理4.3.3 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第28页，本讲稿共45页例题例题4.3.2 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正
11、态分布、大数定律与中心极限定理第29页，本讲稿共45页 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第30页，本讲稿共45页四、切比雪夫定理四、切比雪夫定理 1.1.背景：背景：若已知一个随机变量分布的均值与方差，那么随机变量值若已知一个随机变量分布的均值与方差，那么随机变量值的是以什么形式集中在均值附近？例如某年级的是以什么形式集中在均值附近？例如某年级10001000名学生线性代数课程名学生线性代数课程成绩的均值为成绩的均值为8585分，我们关心的是，有多少学生的成绩集中在均值附分，我们关心的是，有多少学生的成绩集中在均值附近？近？2.2.切比雪夫定理（不
12、等式）：切比雪夫定理（不等式）：第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第31页，本讲稿共45页 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第32页，本讲稿共45页 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第33页，本讲稿共45页例题例题4.4.1设独立随机变量设独立随机变量 并且方差是并且方差是一致有上界一致有上界的，即存在某的，即存在某则对于任何正数则对于任何正数 ，恒有，恒有 定理定理2（切比雪夫大数定理）（切比雪夫大数定理）分别有数学期望分别有数学期望及方差及方差 D(X1)
13、,一常数一常数K，使得使得 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第34页，本讲稿共45页证证 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第35页，本讲稿共45页 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第36页，本讲稿共45页3.3.依概率收敛定义依概率收敛定义推论：推论：存在存在:设独立随机变量设独立随机变量服从同一分布服从同一分布,期望及方差期望及方差则对于任何正数则对于任何正数 ，有，有 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第37页
14、，本讲稿共45页在独立试验序列中在独立试验序列中,设事件设事件 A 的概率的概率P(A)=p，定理定理3(3(伯努利定理）伯努利定理）按概率收敛于事件按概率收敛于事件 A 的概率的概率p.即对于任何正数即对于任何正数则事件则事件 A在在 n 次独立试验中发生的频率次独立试验中发生的频率fn(A),当试验次数当试验次数,有有证证设随机变量设随机变量 Xi 表示事件表示事件A 在第在第 i 次试验中发生的次数次试验中发生的次数(i=1,2,n,),则这些随机变量相互独立，服从相同的则这些随机变量相互独立，服从相同的0-10-1分布，分布，且有数学期望与方差：且有数学期望与方差：由切比雪夫定理的推论
15、即得由切比雪夫定理的推论即得而而就是事件就是事件A在在n次试验中发生的次数次试验中发生的次数m，由此可知，由此可知 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第38页，本讲稿共45页五、中心极限定理五、中心极限定理1.1.背景背景：大数定理告诉我们，随机变量个数很大时，独立随机大数定理告诉我们，随机变量个数很大时，独立随机变量之和收敛于其均值的和。此时，独立随机变量之和的标准变量之和收敛于其均值的和。此时，独立随机变量之和的标准变量的概率分布应是什么状态？中心极限定理告诉我们，变量变量的概率分布应是什么状态？中心极限定理告诉我们，变量个数很大时，和的分布依概
16、率收敛于标准正态分布。个数很大时，和的分布依概率收敛于标准正态分布。设随机变量之和为设随机变量之和为:且数学期望和方差都存在：且数学期望和方差都存在：设随机变量设随机变量相互独立相互独立,则则则和的标准变量为：则和的标准变量为：2.2.中心极限定理变量的设定中心极限定理变量的设定 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第39页，本讲稿共45页列维定理列维定理列维定理列维定理服从相同的分布，服从相同的分布，并且有数学期望和方差：并且有数学期望和方差：则当则当 时，时，(z 为任意实数为任意实数)设独立随机变量设独立随机变量它们和的极限分布是正态分布，即它们
17、和的极限分布是正态分布，即 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第40页，本讲稿共45页 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第41页，本讲稿共45页各次实验中发生的概率为各次实验中发生的概率为棣莫弗棣莫弗拉普拉斯定理拉普拉斯定理n 次实验中发生的次数次实验中发生的次数,则有则有其中其中z 是任何实数，是任何实数，设在独立实验序列中设在独立实验序列中,事件事件A 在在随机变量随机变量 表示事件表示事件A 在在为任意实数为任意实数 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第42页，本讲稿共45页当当 n 充分大时充分大时,变量变量 近似地服从正态分布近似地服从正态分布由于随机变量服从二项分布由于随机变量服从二项分布所以所以棣莫弗棣莫弗拉普拉斯拉普拉斯定理说明定理说明:的随机的随机 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第43页，本讲稿共45页例题4.5.1 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第44页，本讲稿共45页 第四章第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理正态分布、大数定律与中心极限定理第45页，本讲稿共45页