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1、会计学 1正态分布大数定律与中心(zhngxn)极限定理第一页，共45页。记作 其中 及 0都为常数，这种分布叫做正态分布或高斯分布。设连续型随机变量 X 的概率密度为 1.正态变量的密度(md)函数 第四章 正态分布、大数定律(dngl)与中心极限定理第1页/共45页第二页，共45页。特别地，当 时，正态分布 叫做标准正态分布。其概率密度为 2.正态分布 的密度曲线 若固定=0 第四章 正态分布、大数(d sh)定律与中心极限定理第2页/共45页第三页，共45页。0.53.正态变量的分布函数4.标准(biozhn)正态分布的密度函数与分布函数 第四章 正态分布、大数(d sh)定律与中心极限
2、定理第3页/共45页第四页，共45页。4.正态密度函数(hnsh)的性质 第四章 正态分布、大数(d sh)定律与中心极限定理第4页/共45页第五页，共45页。（3）第四章 正态分布、大数定律(dngl)与中心极限定理第5页/共45页第六页，共45页。第四章 正态分布、大数定律与中心(zhngxn)极限定理第6页/共45页第七页，共45页。若,求X 落在区间 内的概率，其中例题4.1.2例题4.1.1,解：查表可得：故 第四章 正态分布、大数定律(dngl)与中心极限定理第7页/共45页第八页，共45页。解查表得 第四章 正态分布、大数定律与中心极限(jxin)定理第8页/共45页第九页，共4
3、5页。拐点 拐点 随机变量 X 落在 之外的概率小于3。通常认为这一概率很小，根据小概率事件的实际不可能性 原理，我们常把区间看作是随机变量 X 的 实际可能的取值区间这一原理叫做三倍标准差原理（或3 法则）。第四章 正态分布、大数定律与中心(zhngxn)极限定理第9页/共45页第十页，共45页。例4.1.3 把温度调节器放入储存着某种液体的容器中，调节器的设定温度 为d 度,已知液体的温度T是随机变量，且（1）若 度的概率；度，求（2）若要求保持液体(yt)的温度至少为80度的概率不少于0.99，问d至少为多少度？解（1）由已知，所求的概率(gil)为（2）据题意，需求d,使得因为 第四章
4、 正态分布、大数(d sh)定律与中心极限定理第10页/共45页第十一页，共45页。利用0.9901正态分布表，有 所以即 故设定温度 d至少为 81.165度.一般地，给定实数 存在实数 使得为随机变量 X上的 则称 百分位点.百分位点的解释和应用在数理统计(sh l tn j)部分还要详细说明 第四章 正态分布、大数(d sh)定律与中心极限定理第11页/共45页第十二页，共45页。二、正态分布的数字特征1.数学期望 第四章 正态分布、大数定律与中心(zhngxn)极限定理第12页/共45页第十三页，共45页。1.方差3.中心矩 第四章 正态分布、大数定律(dngl)与中心极限定理第13页
5、/共45页第十四页，共45页。若 k 为偶数(u sh)，若 k 为奇数，奇函数对称积分则：第四章 正态分布、大数定律与中心(zhngxn)极限定理第14页/共45页第十五页，共45页。例题4.1.4 第四章 正态分布、大数定律(dngl)与中心极限定理第15页/共45页第十六页，共45页。例题4.1.5（2009，4分）第四章 正态分布、大数定律与中心极限(jxin)定理第16页/共45页第十七页，共45页。二维随机变量(su j bin lin)(X,Y)的正态分布概率密度表示如下：其中，参数 及 分别是随机变量 X 及 Y 的数学期望，及 分别是它们的标准差，参数 参数 r 是它们的相关
6、系数。三、二维正态分布1.二维正态分布的密度 第四章 正态分布、大数定律与中心(zhngxn)极限定理第17页/共45页第十八页，共45页。2.二维正态分布的边缘(binyun)密度定理(dngl)4.2.1 其中(qzhng)第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理第18页/共45页第十九页，共45页。置换积分(jfn)变量但是，一定注意，反过来，两个一维正态分布未必(wib)能确定二维正态分布.第四章 正态分布、大数(d sh)定律与中心极限定理第19页/共45页第二十页，共45页。3.二维正态分布的独立性与相关系数应用(yngyng)相关系数公式能够(nnggu)计算出：第四章 正态分布
7、、大数定律与中心极限(jxin)定理第20页/共45页第二十一页，共45页。另外(ln wi),若设相关系数为零，则 如果随机变量X与 Y 独立,并且都服从正态分布,则 在二维正态分布中，独立性与不相关(xinggun)是一致的，这是二维正态分布的一个重要特征.第四章 正态分布、大数定律与中心(zhngxn)极限定理第21页/共45页第二十二页，共45页。例4.2.2 设随机变量X 与Y 独立,并且都服从正态分布 N(0,1),求的概率密度.解 第四章 正态分布、大数定律(dngl)与中心极限定理第22页/共45页第二十三页，共45页。例题4.2.3 第四章 正态分布、大数定律与中心(zhng
8、xn)极限定理第23页/共45页第二十四页，共45页。四、正态变量的线性函数的分布定理4.3.1证由于 是单调函数，且反函数为 第四章 正态分布、大数定律与中心(zhngxn)极限定理第24页/共45页第二十五页，共45页。推论定理4.3.2证 第四章 正态分布、大数定律与中心(zhngxn)极限定理第25页/共45页第二十六页，共45页。以上(yshng)结论还可以推广到更一般的情况 第四章 正态分布、大数定律(dngl)与中心极限定理第26页/共45页第二十七页，共45页。例题4.3.1定理4.3.3 第四章 正态分布、大数定律与中心(zhngxn)极限定理第27页/共45页第二十八页，共
9、45页。例题4.3.2 第四章 正态分布、大数定律与中心(zhngxn)极限定理第28页/共45页第二十九页，共45页。第四章 正态分布、大数定律与中心极限(jxin)定理第29页/共45页第三十页，共45页。四、切比雪夫定理(dngl)1.背景：若已知一个随机变量(su j bin lin)分布的均值与方差，那么随机变量(su j bin lin)值的是以什么形式集中在均值附近？例如某年级1000名学生线性代数课程成绩的均值为85分，我们关心的是，有多少学生的成绩集中在均值附近？2.切比雪夫定理(dngl)（不等式）：第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理第30页/共45页第三十一页，共4
10、5页。第四章 正态分布、大数定律(dngl)与中心极限定理第31页/共45页第三十二页，共45页。第四章 正态分布、大数定律与中心极限(jxin)定理第32页/共45页第三十三页，共45页。例题(lt)4.4.1设独立随机变量 并且方差是一致有上界的，即存在某则对于任何正数，恒有 定理2（切比雪夫大数定理）分别有数学期望及方差 D(X1),一常数K，使得 第四章 正态分布、大数定律与中心(zhngxn)极限定理第33页/共45页第三十四页，共45页。证 第四章 正态分布、大数定律(dngl)与中心极限定理第34页/共45页第三十五页，共45页。第四章 正态分布、大数(d sh)定律与中心极限定
11、理第35页/共45页第三十六页，共45页。3.依概率收敛定义推论：存在:设独立随机变量服从同一分布,期望及方差则对于任何正数，有 第四章 正态分布、大数(d sh)定律与中心极限定理第36页/共45页第三十七页，共45页。在独立试验序列中,设事件 A 的概率P(A)=p，定理3(伯努利定理）按概率收敛于事件 A 的概率p.即对于任何正数则事件 A在 n 次独立试验中发生的频率fn(A),当试验次数,有证设随机变量 Xi 表示事件(shjin)A 在第 i 次试验中发生的次数(i=1,2,n,),则这些随机变量相互独立，服从相同(xin tn)的0-1分布，且有数学(shxu)期望与方差：由切比
12、雪夫定理的推论即得而 就是事件A在n次试验中发生的次数m，由此可知 第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理第37页/共45页第三十八页，共45页。五、中心极限定理1.背景：大数定理告诉我们，随机变量个数很大时，独立随机变量之和收敛于其均值的和。此时，独立随机变量之和的标准变量的概率分布应是什么状态？中心极限定理告诉我们，变量个数很大时，和的分布依概率收敛于标准正态分布。设随机变量之和为:且数学期望和方差都存在：设随机变量 相互独立,则则和的标准变量为：2.中心极限(jxin)定理变量的设定 第四章 正态分布、大数定律(dngl)与中心极限定理第38页/共45页第三十九页，共45页。列维定理
13、列维定理服从相同的分布，并且有数学期望和方差：则当 时，(z 为任意实数)设独立随机变量它们和的极限分布是正态分布，即 第四章 正态分布、大数定律(dngl)与中心极限定理第39页/共45页第四十页，共45页。第四章 正态分布、大数定律与中心极限(jxin)定理第40页/共45页第四十一页，共45页。各次实验中发生的概率为棣莫弗拉普拉斯定理n 次实验中发生的次数,则有其中z 是任何实数，设在独立实验序列中,事件A 在随机变量 表示事件A 在为任意实数 第四章 正态分布、大数定律与中心极限(jxin)定理第41页/共45页第四十二页，共45页。当 n 充分大时,变量 近似地服从正态分布由于随机变量服从二项分布所以棣莫弗拉普拉斯定理说明:的随机 第四章 正态分布、大数(d sh)定律与中心极限定理第42页/共45页第四十三页，共45页。例题4.5.1 第四章 正态分布、大数定律与中心(zhngxn)极限定理第43页/共45页第四十四页，共45页。第四章 正态分布、大数定律与中心极限(jxin)定理第44页/共45页第四十五页，共45页。