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1、有限差分法的基本知识第1页，本讲稿共30页1 1 差分方程差分方程 有限差分法和有限元法是解偏微分方程的两种主要的数值方法。由于数字电子计算机只能存储有限个数据和作有限次运算，所以任何一种适用于计算机解题的方法，都必须把连续问题离散化，最终化成有限形式的代数方程组。第2页，本讲稿共30页 第3页，本讲稿共30页 1 1 区域的剖分区域的剖分(区域的离散化）区域的离散化）xt0第4页，本讲稿共30页高等数学中，高等数学中，我们学习过我们学习过Taylor公式：公式：1 1 微分方程离散微分方程离散(差分方程）差分方程）1 微分方程离散微分方程离散(差分方程）差分方程）第5页，本讲稿共30页 第6
2、页，本讲稿共30页第7页，本讲稿共30页第8页，本讲稿共30页第9页，本讲稿共30页高等数学中，高等数学中，我们学习过我们学习过Green公式：公式：2 2 积分插值法积分插值法2 积分插值法积分插值法第10页，本讲稿共30页 oHxtEFGL1L2L3L4第11页，本讲稿共30页 第12页，本讲稿共30页 oxtj-1jj+1n-1nn+1EFGH第13页，本讲稿共30页 第14页，本讲稿共30页 oxtj-1jj+1nn+1EFGH第15页，本讲稿共30页 第16页，本讲稿共30页2 2 截断误差截断误差第17页，本讲稿共30页第18页，本讲稿共30页第19页，本讲稿共30页3 3 收敛性
3、收敛性 一个差分格式能否在实际中使用，最终要看能否任意地逼近微分方程的解。这样对于每一个差分格式，人们便从两个方面加以考虑：一是引入收敛性的概念，考察差分格式在理论上的准确解能否任意逼近微分方程的解；二是引入稳定性的概念，考察差分格式在实际计算中的近似解能否任意逼近差分方程的解。第20页，本讲稿共30页第21页，本讲稿共30页4 4 稳定性稳定性第22页，本讲稿共30页第23页，本讲稿共30页第24页，本讲稿共30页第25页，本讲稿共30页第26页，本讲稿共30页.差分方程、截断误差、收敛性、差分方程、截断误差、收敛性、稳定性的概念；稳定性的概念；.构造差分方程方法构造差分方程方法(直接法和积
4、分插值法直接法和积分插值法)、求截断误差；求截断误差；（重点重点）.如何将偏微分方程构造成相应的差分方程、如何将偏微分方程构造成相应的差分方程、并求由此产生的截断误差并求由此产生的截断误差（难点难点）主要内容主要内容第27页，本讲稿共30页*作业作业*作业作业第28页，本讲稿共30页第29页，本讲稿共30页B.Taylor B.Taylor 简介简介1685.8.18生于英格兰；生于英格兰；1731.11.29在伦敦去世在伦敦去世.1705 进入剑桥大学；进入剑桥大学；1709 法学学士；法学学士；1714 法学博士；法学博士；1712 英国皇家学会会员；英国皇家学会会员；17141718英国皇家学会秘书；英国皇家学会秘书；微积分发明权仲裁委员；微积分发明权仲裁委员；1715出版增量法及其逆，该出版增量法及其逆，该书奠定有限差分法、幂级数展开、书奠定有限差分法、幂级数展开、弦振动问题；在物理、流体动力弦振动问题；在物理、流体动力等大量工作。等大量工作。写作风格过于简洁导致许多工作未获更高声誉。写作风格过于简洁导致许多工作未获更高声誉。第30页，本讲稿共30页