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1、有限差分法基本原理,流体的控制方程,流体的控制方程,数值离散概述,有限差分法求解流动控制方程的基本过程是：首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替连续的求解域，将待求解的流动变量（如密度、速度等）存储在各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差分方程组。求出该差分方程组的解，也就得到了网格点上流动变量的数值解。,离散网格点,差分和逼近误差,差分概念：,设有 的解析函数 ，函数 对 的导数为：,、 分别是函数及自变量的微分， 是函数对自变量的导数，又称微商。上式中的 、 分别称为函数及其自变量的差分
2、， 为函数对自变量的差商。,差分的三种形式（一阶）：,向前差分,向后差分,中心差分,与其对应的差商的三种形式（一阶）：,向前差商,向后差商,中心差商,差分和逼近误差,由导数（微商）和差商的定义可知，当自变量的差分（增量）趋近于零时，就可以由差商得到导数。因此在数值计算中常用差商近似代替导数。,差分和逼近误差,差分和逼近误差,用泰勒级数展开可以推导出导数的有限差分形式。,差分和逼近误差,差分和逼近误差,逼近误差：差商与导数之间的误差，表明差商逼近导数的程度。 由函数的 Taylor 级数展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分的量级，称为用差商代替导数的精度。,差分和逼近误差,差分和逼近误差,差分
3、和逼近误差,差分和逼近误差,差分和逼近误差,二阶中心差分：,二阶中心差分：,差分和逼近误差,差分方程的建立过程,差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。,模型方程,为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过于复杂，常用一些简单的方程来模拟流体力学方程进行讨论分析，以阐明关于一些离散方法的概念。这些方程就叫做模型方程。常用的模型方程：,对流方程：,对流扩散方程：,热传导方程：,Poisson方程：,Laplace方程：,差分方程的建立过程,以对流方程说明差分方程的
4、建立过程。,1.划分网格,选定步长 和 ，然后在坐标平面用平行于坐标轴的两族直线划分网格：,2.针对某一点，用差商近似代替导数 对流方程在 点为,差分方程的建立过程,时间导数用一阶向前差商近似代替：,空间导数用一阶中心差商近似代替：,则对流方程在 点对应的差分方程为,差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程 问题的差分格式。上述初值问题的差分格式可改写为：,观察上述差分格式可看出：若知道第 层的 ，可 由一个差分式子直接算出第 层的 ，故称这类格式 为显示格式。,显式有限差分模板：,时间推进：,例 考虑长度为1的均匀直杆，其表面是绝热的，而且杆截面足够细，可,以把断面上的所有点的温度看成是相
5、同的。 轴取为沿 杆轴方向， 对应杆的端点，则杆内温度分布 随时间变化由下面的扩散方程来描述：,时间导数用一阶向前差商近似代替：,空间导数用二阶中心差商近似代替：,取 ，则最终的差分方程：,显式有限差分模板：,0.0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,0.0,0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0,100,100,0,0,0,0,0,0,0,0,0,100,100,100,100,100,100,100,100,100,100,100,100,50,50,62.5,62.5,68.8,68.8,0,25,25,37.5,37.5,45.3,
6、0,0,12.5,12.5,21.9,21.9,0,0,0,6.25,6.25,14.1,0,0,0,0,6.25,6.25,0,0,0,6.25,6.25,14.1,0,0,12.5,12.5,21.9,21.9,0,25,25,37.5,37.5,45.3,50,50,62.5,62.5,68.8,68.8,如仍取 而为缩短计算时间，时间步长 取 ，则最终的差分方程：,0.0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,0.0,0.5,1.0,1.5,100,100,0,0,0,0,0,0,0,0,0,100,100,100,100,100,100,10
7、0,0,200,0,100,-100,0,0,100,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,100,0,100,-100,100,0,200,差分法的基本理论,上例中，令 表示差分方程的精确解利用Taylor级数将 上式中邻近节点的解在(i，n)点展开，整理并略去上标后可得 上式就是与差分方程等价的微分方程式。一般地说，任何一个微 分方程的差分方程,其差商都可以用Taylor 级数表示，这样都可 以得到一个与差分方程对应的新的微分方程，该微分方程称为差 分方程的修正方程式。,1.相容性,上式中的 就是差分方程与微分方程的差别，称之为截断误 差。显然 与 、 成正比，一般情况下，当步长趋向
8、零时,有限差分方程的截断误差是趋向于零的，则称有限差分方程与相应的偏微分方程是相容的。 一个可用的偏微分方程的差分表达式必须是相容的。否则在 、 趋近零时，差分方程不能趋于原微分方程，差分方程的解就不能代表微分方程的解，差分求解就失去了意义!,2.收敛性 收敛性研究的是差分方程的解与微分方程的解之间的差别问 题。如果在求解区域中的任一离散点 上，当网格步长 、 趋于零时，有限差分方程的解趋近于所近似的微分方程解，则称有 限差分方程的解是收敛的。 一般情况下，证明收敛性是非常难的，暂不予以证明。,3.稳定性 稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。在 数值解中，引进误差是不可避免的，电
9、子计算机也有舍入误差， 因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其 他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算过程中影 响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不 稳定的。,上式中 为差分方程的精确解,如果令 为差分方程的近似数值 解，之间的误差为 。同样，近似数值解也满足同样的方程：,分析例题,Von Neumann稳定性分析方法简介,上式称为误差传播方程。,4.Lax等价定理 对于一个适定的线性初值问题，如果有限差分近似是相容的，则稳定性是收敛性的充分和必要条件。这是有限差分方法最基本的定律。 适用条件： 1）偏微分方程的解存在、唯一且连续地依赖于初值； 2）该定理只适用于线性问题，对非线性此定理至今未得到证明。 重要的实际意义：一般情况下，证明有限差分方程的解收敛于它所近似的偏微分方程的解比较困难。而证明有限差分方程的稳定性和相容性相对来说比较容易。根据该定理只要证明有限差分方程是相容的、稳定的，就保证了收敛性。,几种差分格式介绍,FTCS格式（时间向前差分、空间中心差分）,几种差分格式介绍,FTFS格式（时间向前差分、空间向前差分）,几种差分格式介绍,FTBS格式（时间向前差分、空间向后差分）,几种差分格式介绍,几种差分格式介绍,几种差分格式介绍,迎风格式,