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1、最小方差无偏估计第1页，本讲稿共22页优良的无偏估计都是充分统计量的函数优良的无偏估计都是充分统计量的函数.将之应用在参数估计中可得将之应用在参数估计中可得:其中等号成立的充要条件为其中等号成立的充要条件为X与与 (Y)几乎处处相等几乎处处相等.定理定理1:设设X和和Y是两个是两个r.v.,EX=,VarX0,令令则有则有是样本是样本,是是的充分统计量的充分统计量,定理定理2:设总体的概率函数为设总体的概率函数为p(x;),对对的任一无偏估计的任一无偏估计 一、Rao-Blackwell 定理第2页，本讲稿共22页注注:定理定理2表明表明:若无偏估计不是充分统计量的函数若无偏估计不是充分统计量
2、的函数,则将之对充分统计则将之对充分统计量求条件期望可得一个新的无偏估计量求条件期望可得一个新的无偏估计,且它为充分统计量的函数且方差会且它为充分统计量的函数且方差会减小减小.即即,考虑点估计只需在充分统计量的函数中进考虑点估计只需在充分统计量的函数中进行行,这就是这就是 充分性原则充分性原则.令令=p2 ,则则为为的无偏估计的无偏估计.因为因为 是充分统计量是充分统计量,由定理由定理2,从而可令从而可令可得可得故故 为为的无偏估计的无偏估计.且且例例1.1.设设为来自为来自b(1,p)的样本的样本,求求p2的的U.E为为p 的充分统计量的充分统计量解：解：前已求过前已求过:进一步改进：进一步
3、改进：第3页，本讲稿共22页二、最小方差无偏估计定义定义:注：注：一致最小方差无偏估计是一种最优估计一致最小方差无偏估计是一种最优估计.由定理由定理2,只要只要它存在它存在.它一定是充分统计量的函数它一定是充分统计量的函数.一般地一般地,若依赖于充分统若依赖于充分统计量的无偏估计只有一个计量的无偏估计只有一个,它一定是它一定是UMVUE.Problem：无偏估计的方差是否可以任意小无偏估计的方差是否可以任意小?如果不能任意小如果不能任意小,那么它那么它的下界是什么的下界是什么?第4页，本讲稿共22页是总体是总体X的样本的样本,定理定理3:(UMVUE准则准则)设设如果对任一个满足如果对任一个满
4、足 是是的任一无偏估计的任一无偏估计,例例2:2:设设为来自为来自Exp(1/)的样本的样本,则则为为 的充分统计量的充分统计量,证明证明:为为的的UMVUE.反之亦成立.第5页，本讲稿共22页1 1、Fisher信息量的信息量的定义定义.三、罗三、罗-克拉美（克拉美（CramerRao）不等式）不等式(1)(1)是实数轴上的一个开区间是实数轴上的一个开区间;设设总体总体X 的概率函数为的概率函数为p(x;),且满足条件且满足条件:正则条件第6页，本讲稿共22页(1)(1)I()越大越大,总体分布中包含未知参数的信息越多。总体分布中包含未知参数的信息越多。例例3:3:设设总体为总体为Poiss
5、on分布，即分布，即注：注：例例4:4:设设总体为指数分布总体为指数分布Exp(1/)，即，即(2)I()的另一表达式为的另一表达式为第7页，本讲稿共22页注：注：常见分布的信息量常见分布的信息量 I()公式公式 两点分布两点分布X b(1,p)b(1,p)泊松分布泊松分布 指数分布指数分布正态分布正态分布第8页，本讲稿共22页 设设总体总体X 的概率函数为的概率函数为p(x;),满足上面定义中的条满足上面定义中的条件；件；x1,.,xn 是来自总体是来自总体X的一个样本的一个样本,T(x1,.,xn)是是g()的一个无偏估计的一个无偏估计.2、定理、定理4(Cramer-Rao不等式不等式)
6、:的微分可在积分号下进行，即的微分可在积分号下进行，即则有则有 特别地对特别地对的无偏估计有的无偏估计有上述不等式的右端称为上述不等式的右端称为C-R下界下界,I()为为Fisher信息量信息量.第9页，本讲稿共22页注注:(1)定理对离散型总体也适用定理对离散型总体也适用.只需改积分号为求和号。只需改积分号为求和号。(2)在定理在定理4条件下条件下,若若g()的无偏估计量的无偏估计量T 的方差的方差VarT达到下界达到下界,则则T必为必为g()的最小方差无偏估计的最小方差无偏估计.但是但是它不一定存在它不一定存在,也就是说也就是说,C-R不等式有时给出的下不等式有时给出的下界过小界过小.(3
7、)当等号成立时当等号成立时,T 为达到方差下界的无偏估计为达到方差下界的无偏估计,此此时称时称T 为为g()的的有效估计有效估计。有效估计一定是有效估计一定是UMVUE.（反之不真）（反之不真）第10页，本讲稿共22页3.有效估计有效估计定义定义:定义定义:注注:第11页，本讲稿共22页综上综上,求证求证T是是g()的有效估计的步骤为的有效估计的步骤为:第12页，本讲稿共22页例例5.5.设总体设总体 XExp(1/),密度函数为密度函数为为为 X 的一个样本值的一个样本值.求求 的的最大似然估计量最大似然估计量,并判断它是否为达到方差下界并判断它是否为达到方差下界的无偏估计的无偏估计,即有效
8、估计即有效估计.为参数为参数解解:由似然函数由似然函数第13页，本讲稿共22页经检验知经检验知 的最大似然估计为的最大似然估计为所以它是所以它是 的无偏估计量的无偏估计量,且且而而故故 是达到方差下界的无偏估计是达到方差下界的无偏估计.第14页，本讲稿共22页第15页，本讲稿共22页所以C-R下界为下界为第16页，本讲稿共22页第17页，本讲稿共22页例例8.设设x1,.xn 为取自总体为正态分布为取自总体为正态分布N(,2)的样本的样本,验证验证 因此因此,是是的有效估计的有效估计.解：解：已证过已证过 为为U.E,下求下求的的C-R下界下界,由于由于而而 的的C-R下界为下界为是是 的有效
9、估计的有效估计因此因此第18页，本讲稿共22页 因此因此:解解:由于由于 所以所以2的的C-R下界为下界为:例例9.(接前例接前例)设设x1,.xn 取自正态分布总体取自正态分布总体N(,2),若若未知，讨论未知，讨论2的无偏估计的无偏估计是否为有效估计是否为有效估计.第19页，本讲稿共22页由于由于 其期望为其期望为n-1,方差为方差为2(n-1）所以所以 即即不是不是 2的有效估计，但为的有效估计，但为 2 2的的渐近有效估计渐近有效估计.,而而2的的C-R下界为下界为 注注1:由由P308第四题知第四题知 其方差大于其方差大于C-R下界下界,即有时即有时C-R下界过小下界过小.是是 2的
10、的UMVUE.UMVUE.2:若若已知已知,此时此时 为为2 2的有效估计的有效估计.第20页，本讲稿共22页注注3对于对于 的的C-R下界为下界为:当已知当已知=0时时,易证易证的无偏估计为的无偏估计为可证可证,这是这是的的UMVUE,其方差大于其方差大于C-R下界下界.因此所有因此所有的无的无偏估计的方差都大于其偏估计的方差都大于其C-R下界下界,即即C-R下界过小下界过小.(P307)第21页，本讲稿共22页4.最大似然估计的渐近正态性最大似然估计的渐近正态性定理定理(略略)在总体的分布满足一定条件(P307)的情况下,存在具有相合性和渐近正态性的最大似然估计 ,且 即,最大似然估计通常是渐近正态的,且其渐近方差有一个统一的形式并主要依赖于Fisher信息量.例例10:设设x1,.xn 为取自总体为正态分布为取自总体为正态分布N(,2),(1)在在2已知时已知时,求求的的MLE 的近似分布的近似分布.(2)若若已知，讨论已知，讨论2的的MLE 的渐近分布的渐近分布.第22页，本讲稿共22页