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1、1一、最小方差无偏估计 由定义由定义2.4知，最小方差无偏估计（知，最小方差无偏估计（MVUE）是在）是在无偏估计类中，使均方误差达到最小的估计量，即在无偏估计类中，使均方误差达到最小的估计量，即在均方误差最小意义下的最优估计。它是在应用中，人均方误差最小意义下的最优估计。它是在应用中，人们希望寻求的一种估计量。们希望寻求的一种估计量。第1页/共30页2第2页/共30页3第3页/共30页4第4页/共30页5第5页/共30页6 定理定理2.7给出了最小方差无偏估计的一种判别方法，给出了最小方差无偏估计的一种判别方法，但由上例可见，该判别法使用并不方便，而且还只是一但由上例可见，该判别法使用并不方
2、便，而且还只是一个充分条件。为了寻求更好的方法，需要借助充分统计个充分条件。为了寻求更好的方法，需要借助充分统计量甚至充分完备统计量的概念。量甚至充分完备统计量的概念。第6页/共30页7定理定理2.8的说明的说明：如果无偏估计不是充分统计量的函数，则将之对充分统计量求条件期望可以得到一个新的无偏估计，该估计的方差比原来的估计的方差要小，从而降低了无偏估计的方差。换言之，考虑 的估计问题只需要在基于充分统计量的函数中进行即可，该说法对所有的统计推断问题都是正确的，这便是所谓的充充分性原则分性原则。第7页/共30页8第8页/共30页9第9页/共30页10第10页/共30页11第11页/共30页12
3、第12页/共30页13第13页/共30页14第14页/共30页15第15页/共30页16 2.要直接验证某个估计量是最小方差无偏估计量是困难的.若能求出无偏估计中方差的下界,而且又能说明参数 的一切无偏估计中存在某个估计 的方差能达到这个下界，那么 就是 的最小方差无偏估计.下面给出一个判别准则：1.最小方差无偏估计提供了一种优良的估计，最小方差无偏估计提供了一种优良的估计，然而一个更深入的问题是：无偏估计的方差是否可然而一个更深入的问题是：无偏估计的方差是否可以任意小？如果不可以，那么它的下界是多少？这以任意小？如果不可以，那么它的下界是多少？这个下界等否达到？个下界等否达到？第16页/共3
4、0页定理2.10 (Cramer-Rao不等式)设X1,X2,Xn是从密度函数为 的总体抽取的样本,是 的一个无偏估计,若(1)集合 与 无关;(2)对 积分与微分可交换且 存在，即(3)则有则有第17页/共30页其中其中常称常称为为Fisher信息量信息量.特别当特别当 ,有有常用的另一个表达式常用的另一个表达式常称为常称为C-R不等式不等式.第18页/共30页 费希尔信息量是数理统计学中一个基本概念，很多的统计结果都与费希尔信息量有关。如极大似然估计的渐近方差，无偏估计的方差的下界等都与费希尔信息量I()有关。I()的种种性质显示，“I()越大”可被解释为总体分布中包含未知参数 的信息越多
5、。第19页/共30页例2.22 设总体服从泊松分布 ，X1,X2,Xn 是来自总体的一个样本，试求参数 的无偏估计的下界？解解:(1):(1)写出密度函数写出密度函数 (2)(2)求密度函数对数、再求导求密度函数对数、再求导 (3)(3)计算计算fisherfisher信息量信息量 (4)(4)代入代入C-RC-R不等式求方差下界不等式求方差下界第20页/共30页1.写出密度函数，求对数2.计算fiser信息量3.代入C-R不等式求方差下界第21页/共30页例2.23 设 X1,X2,Xn 是取自总体 X 的一个样本,求 的无偏估计的方差下界.解:(1)写出密度函数 (2)求密度函数对数、再求
6、导 (3)计算 (4)代入C-R不等式求方差下界 最后寻找无偏估计中满足方差下界的估计量.第22页/共30页1.写出密度函数2.求密度函数对数3.计算fiser信息量4.代入C-R不等式求方差下界第23页/共30页2.求密度函数对数的导数3.计算fiser信息量4.代入C-R不等式求方差下界5.计算最小方差无偏估计的方差第24页/共30页252、有效估计、有效估计1)定义定义2.8 P57第25页/共30页 例2.24 设 X1,X2,Xn 是取自总体 XB(N,p)的一个样本，验证 是参数P的有效估计量.1.写出概率函数,再求对数2.计算fiser信息量3.代入C-R不等式求方差下界第26页/共30页4.计算无偏估计的方差5.计算效率第27页/共30页可能不是无偏估计第28页/共30页第29页/共30页谢谢您的观看！第30页/共30页