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1、常见曲线物极坐标方程第1页，本讲稿共23页新课引入新课引入思考思考1：在平面直角坐标系中：在平面直角坐标系中1、过点、过点(3,0)且与且与x轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为_;过点过点(3,3)且与且与x轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为_ x=3x=32、过点、过点(a,b)且垂直于且垂直于x轴的直线方程为轴的直线方程为_x=a特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。取任意值。与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点的坐标找出曲线上动点的坐标 与与 之间的关系，然后
2、列出方程之间的关系，然后列出方程f(,)=0，再化简并讨论。，再化简并讨论。思考思考2:怎样求曲线的极坐标方程？怎样求曲线的极坐标方程？第2页，本讲稿共23页例例1、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为/4的射线的极坐标方程。的射线的极坐标方程。oMx分析：如图，所求的射线上任分析：如图，所求的射线上任一点的极角都是一点的极角都是/4，其极径可以取任意的非负数。故所求其极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为直线的极坐标方程为新课讲授新课讲授引申引申1：求过极点：求过极点,倾角为倾角为5/4的射线的极坐标方程的射线的极坐标方程 引申引申2：求过极点：求过极点,倾角为倾角为/4的直线的极坐
3、标方程的直线的极坐标方程第3页，本讲稿共23页 和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？线组合而成。原因在哪？为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为则上面的直线的极坐标方程可以表示为或或原因在原因在0第4页，本讲稿共23页求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤:1、根据题意画出草图；、根据题意画出草图；2、设点、设点M(,)是直线
4、上任意一点；是直线上任意一点；3、连接、连接MO；4、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立关于,的方程，并化简；的方程，并化简；5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。第5页，本讲稿共23页例例 4 设点设点P的极坐标为的极坐标为(0,0,)，直线直线l过点过点P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为a a,求直线求直线l的极坐标方程。的极坐标方程。oxMP解：如图，设点解：如图，设点M(,)为直线上除点为直线上除点P外的任意外的任意一点，连接一点，连接OM，在在MOP中有中有 显然点显然点P的坐标也是它的解。的坐标也是它的解。第6页，本讲稿共23页第7页，本讲稿共2
5、3页练习：按下列条件写出直线的极坐标方程：练习：按下列条件写出直线的极坐标方程：第8页，本讲稿共23页小结：直线的几种极坐标方程。小结：直线的几种极坐标方程。1、过极点、过极点2、过某个定点，且垂直于极轴、过某个定点，且垂直于极轴3、过某个定点，且与极轴成一定的角度、过某个定点，且与极轴成一定的角度第9页，本讲稿共23页若圆心的坐标为若圆心的坐标为M(0,0)，圆的半径为，圆的半径为r，求圆的方程。，求圆的方程。OMPx第10页，本讲稿共23页运用此结果可以推出一些特殊位置的圆的极坐标方程。运用此结果可以推出一些特殊位置的圆的极坐标方程。练习练习1:求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程()
6、圆心在极点，半径为圆心在极点，半径为2；()圆心在圆心在(a,0)，半径为，半径为a；()圆心在圆心在(a,/2)，半径为，半径为a；()圆心在圆心在(0,)，半径为，半径为r 2 2acos 2asin 2-2 0 cos(-)+0 2-r2=0第11页，本讲稿共23页辨析辨析:圆心在不同位置时圆参数方程和特征圆心在不同位置时圆参数方程和特征.第12页，本讲稿共23页练习练习4:以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)为圆心为圆心,1为半径的圆的方为半径的圆的方程是程是()C练习练习3:极坐标方程分别是极坐标方程分别是 cos 和和 sin 的两个的两个圆的圆心距是多少圆的圆心距是多少?第
7、13页，本讲稿共23页例例3、在圆心的极坐标为、在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为，半径为4的圆中，的圆中，求过求过极点极点O的弦的中点的轨迹。的弦的中点的轨迹。练习练习5:在极坐标系中在极坐标系中,已知圆已知圆C的圆心的圆心C(3,/6),半径半径r=3 求圆求圆C的极坐标方程。的极坐标方程。若若Q点在圆点在圆C上运动上运动,P在在QO的延长线上的延长线上,且且OQ:OP=3:2,求动点求动点P的轨迹方程。的轨迹方程。第14页，本讲稿共23页 我们已经学过，椭圆、双曲线、抛物线有我们已经学过，椭圆、双曲线、抛物线有两种几何定义，其中，第二定义把三种圆两种几何定义，其中，第二定义把三种圆锥曲
8、线统一起来了，请回忆后说出三种圆锥曲线统一起来了，请回忆后说出三种圆锥曲线的第二定义锥曲线的第二定义 到定点到定点F(焦点焦点)的距离与到定直线的距离与到定直线l(准线准线)的距的距离比是一个常数离比是一个常数e(离心率离心率)的点的轨迹。的点的轨迹。当当e(0，1)时，轨迹为椭圆，时，轨迹为椭圆，当当e(1，+)时，轨迹为双曲线，时，轨迹为双曲线，当当e=1时，轨迹为抛物线时，轨迹为抛物线第15页，本讲稿共23页 在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的几在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的几何定义，求出曲线的极坐标方程何定义，求出曲线的极坐标方程 设到定点设到定点F到定直线到定直线l的距离为的
9、距离为p，求到定点，求到定点F和定直线和定直线l的距离之比为常数的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标的点的轨迹的极坐标方程。方程。Fl第16页，本讲稿共23页对圆锥曲线的统一极坐标方程对圆锥曲线的统一极坐标方程 ，请思考讨论并深入了解下述几个要点：请思考讨论并深入了解下述几个要点：1、该方程是以双曲线右焦点和椭圆的左焦点为极点建、该方程是以双曲线右焦点和椭圆的左焦点为极点建立的，若以双曲线的左焦点和椭圆的右焦点建立极立的，若以双曲线的左焦点和椭圆的右焦点建立极坐标系，它们的统一方程什么？坐标系，它们的统一方程什么？2、统一方程中的、统一方程中的p、e分别是什么？分别是什么？p表示焦准距；表示焦
10、准距；e表示离心率。表示离心率。第17页，本讲稿共23页练习练习1 1第18页，本讲稿共23页数学运用数学运用 例例1、2003年年10月月1517日，我国自主研制的神舟五号载日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球，人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）距离地面分别为距离地面分别为200km和和350km，然后进入距地面约，然后进入距地面约34
11、3km的圆形轨道。若地球半径取的圆形轨道。若地球半径取6378km，试写出神舟五，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。第19页，本讲稿共23页 例例2、求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两、求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两 部分的倒数和为常数。部分的倒数和为常数。练习练习2 2、已知抛物线已知抛物线y2=x的焦点为的焦点为F。以以F为极点为极点,x轴正方向为极轴的正方向轴正方向为极轴的正方向,写出此抛物线写出此抛物线的极坐标方程；的极坐标方程；过过F作直线作直线l交抛物线于交抛物线于A、B两点两点,若若|AB|4,运用抛运用抛物线的极坐标方程物线的极坐标方程,求直线求直线l的倾斜角。的倾斜角。数学运用数学运用 第20页，本讲稿共23页练习练习3 3第22页，本讲稿共23页课堂小结课堂小结圆锥曲线的统一极坐标方程圆锥曲线的统一极坐标方程中，极点的位置，中，极点的位置，p的意义，的意义，e的意义分的意义分别是什么？别是什么？第23页，本讲稿共23页