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1、量子力学用算符表达与表象变换第1页，本讲稿共14页4.1 算符的运算规则算符的运算规则1.算符定义算符定义：作用在一个函数上得出另一个函数的作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号运算符号。2.线性算符线性算符算符 若成立，则是线性算符。单位算符单位算符I I，I I，对对是任意函数成立。是任意函数成立。算符相等算符相等：对任意函数：对任意函数，若，若 成立，则成立，则 .可观测的力学量算符都是线性算符。是态迭加原理反映。第2页，本讲稿共14页算符和、差满足算符和、差满足交换律与结合律交换律与结合律。3.算符和、差定义：如哈密顿算符H4.算符之积定义 例如，例如，算符之积满足结合律，但不满足交
2、换律1)坐标与动量算符的一般坐标与动量算符的一般对易关系：对易关系：2)引入泊松括号：坐标动量对易式第3页，本讲稿共14页称算符A、B对易。称算符A、B不对易。泊松括号有如下几个恒等式：泊松括号有如下几个恒等式：c c为常数。为常数。称雅可比称雅可比(Jacobi)Jacobi)恒等式。恒等式。练习练习1 1。第4页，本讲稿共14页3)3)角动量算符基本对易式角动量算符基本对易式 其他对易关系通过其他对易关系通过x,y,z轮换得到。轮换得到。可统一写成：或写成：（1）规定：偶置换为偶置换为1，奇置换为，奇置换为1，任两个相同为，任两个相同为0。称为Levi-Civita 符号。注注：（：（1）
3、式右边）式右边、L下标相同的意味求和。下标相同的意味求和。第5页，本讲稿共14页其他重要的对易关系式：其他重要的对易关系式：定义:，i=x,y,z 定义：定义：练习练习 2第6页，本讲稿共14页 球坐标下的角动量算符形式：球坐标下的角动量算符形式：(推导见周世勋量子力学教程推导见周世勋量子力学教程p62)第7页，本讲稿共14页2、P90，练习，练习3；作业作业10第8页，本讲稿共14页5.逆算符逆算符若成立，称是的逆算符。有公式：6.算符函数，（问）第9页，本讲稿共14页补充知识：补充知识：标识（或称内积）标识（或称内积）第10页，本讲稿共14页8.转置算符：转置算符：9.厄米共轭算符厄米共轭
4、算符7.复共轭算符：是复共轭算符：例，有公式：有公式：若算符满足：，若算符满足：，其中其中、是任意函数，则称是的是任意函数，则称是的厄米共轭算符厄米共轭算符，记为：记为：。（与书上定义（。（与书上定义（4141）式是一致）式是一致）定义式为：第11页，本讲稿共14页厄米共轭算符是互逆的。厄米共轭算符反映二厄米共轭算符是互逆的。厄米共轭算符反映二个算符的一种对应关系。个算符的一种对应关系。厄米共轭算符的几个关系式：厄米共轭算符的几个关系式：V(r)+=V(r)第12页，本讲稿共14页10.厄米算符厄米算符其中其中、是任意函数是任意函数，厄米算符反映某一类算符的特性。定理：定理：体系的任何状态下，其厄米算符的体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数。平均值必为实数。可测量的物理量算符一定为厄米算符可测量的物理量算符一定为厄米算符。逆定理也成立逆定理也成立(证明见证明见P93P93）。）。坐标、动量、角动量、哈密顿算符等都是厄米算符坐标、动量、角动量、哈密顿算符等都是厄米算符。第13页，本讲稿共14页1、P131，习题，习题41；2、P132，习题，习题47；3、P133,习题习题49，a,b.c。4、练习、练习2作业作业11P90，练习3、练习4讲解第14页，本讲稿共14页