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1、第5章 非平稳时间模型现在学习的是第1页，共47页本章结构n带趋势的平稳过程n单位根过程n带趋势的平稳过程与单位根过程的比较n平稳性的单位根检验n协整与误差修正模型现在学习的是第2页，共47页5.1、带趋势的平稳过程如何拟合趋势性？把趋势看成时间的确定函数，随机过程围绕一个确定的趋势，随机变化部分是平稳的如：把向上的趋势看成一个简单的线性趋势+白噪声部分，即：现在学习的是第3页，共47页n如果图形显示增长是非线性的，可用多项式趋势来表示：n更一般的，白噪声可用一个平稳随机过程代替：现在学习的是第4页，共47页n带趋势的平稳随机过程均值方差如下：n均值是时间的函数，方差是常数现在学习的是第5页，
2、共47页5.2、单位根过程一、随机游动过程随机过程y t,t=1,2,若y t=yt-1+t，其中t为独立同分布的白噪声序列，E(t)=0，D(t)=E（t 2）=20,xt+；0,xt-现在学习的是第10页，共47页随机过程y t,t=1,2,若y t=yt-1+t，其中=1，t 为平稳过程，E（t）=0，Cov（t，t-s）=s1时，|1时，就是平稳过程。单位根过程名称的由来现在学习的是第12页，共47页 随机游走序列 Xt=Xt-1+t经差分后等价地变形为 Xt=t 由于t是一个平稳过程，因此差差分分后后的的序序列列 Xt是是平稳的。平稳的。单整单整现在学习的是第13页，共47页如果一个
3、时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原序如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原序列是列是一阶单整（一阶单整（integrated of 1）序列）序列，记为，记为I(1)p单位根过程实际上是1阶单整过程一般地，如果一个时间序列经过一般地，如果一个时间序列经过d次差分后变成平稳序列，次差分后变成平稳序列，则称原序列是则称原序列是d 阶单整阶单整（integrated of d）序列，记为）序列，记为I(d)。显然，I(0)代表一平稳时间序列。代表一平稳时间序列。现在学习的是第14页，共47页现实经济生活中现实经济生活中:n只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的只有少数经济指标的时间序列表
4、现为平稳的，如利率等如利率等;n大大多多数数指指标标的的时时间间序序列列是是非非平平稳稳的的，如如一一些些价价格格指指数数常常常常是是2阶阶单单整整的的，以以不不变变价价格格表表示示的的消消费费额额、收收入入等等常常表表现现为为1阶单整。阶单整。n大大多多数数非非平平稳稳的的时时间间序序列列一一般般可可通通过过一一次次或或多多次次差差分分的的形形式变为平稳的。式变为平稳的。n但但也也有有一一些些时时间间序序列列，无无论论经经过过多多少少次次差差分分，都都不不能能变变为为平平稳稳的的。这种序列被称为这种序列被称为非单整的（非单整的（non-integrated）。现在学习的是第15页，共47页例
5、例 中国支出法中国支出法GDP的单整性的单整性经过试算，发现中中国国支支出出法法GDP是是1阶阶单单整整的的，适当的检验模型为现在学习的是第16页，共47页例例 中国人均居民消费与人均国内生产总值的单整性中国人均居民消费与人均国内生产总值的单整性经过试算，发现中中国国人人均均国国内内生生产产总总值值GDPPC是是2阶阶单单整整的的，适当的检验模型为 同样地，CPC也是也是2阶单整的阶单整的，适当的检验模型为现在学习的是第17页，共47页yt=0.1+0.1t+yt-1+t 生成的序列图含随机趋势和确定性趋势的混合随机过程含随机趋势和确定性趋势的混合随机过程现在学习的是第18页，共47页n考虑如
6、下的含有一阶自回归的随机过程：Xt=+t+Xt-1+t （*）其中:t是一白噪声，t为一时间趋势。1)如果=1，=0，则（*）式成为一带漂移的随机游走过程一带漂移的随机游走过程：Xt=+Xt-1+t （*）根据的正负，Xt表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势为随机性趋势（随机性趋势（stochastic trend）。5.3、带趋势平稳过程与差分平稳过程的比较现在学习的是第19页，共47页2)如果=0，0，则（*）式成为一带时间趋势的随机变化过程：Xt=+t+t （*）根据的正负，Xt表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势为确定性趋势确定性趋势3)如果=1，0，则Xt包含有确定性与随机性两种趋势
7、。确定性与随机性两种趋势。Xt=+t+Xt-1+t现在学习的是第20页，共47页n判断一个非平稳的时间序列，其趋势是随机性的还是确定性的，可通过后文的ADF检验中所用的第3个模型进行n 该模型中已引入了表示确定性趋势的时间变量t，即分离出了确定性趋势的影响。n因此，n如果检验结果表明所给时间序列有单位根，且时间变量前的如果检验结果表明所给时间序列有单位根，且时间变量前的参数显著为零，则该序列显示出随机性趋势参数显著为零，则该序列显示出随机性趋势n如果没有单位根，且时间变量前的参数显著地异于零，则如果没有单位根，且时间变量前的参数显著地异于零，则该序列显示出确定性趋势。该序列显示出确定性趋势。现
8、在学习的是第21页，共47页 随机性趋势可通过差分的方法消除随机性趋势可通过差分的方法消除 如：对式Xt=+Xt-1+t 可通过差分变换为 Xt=+t 该时间序列称为差分平稳过程（差分平稳过程（difference stationary process）；现在学习的是第22页，共47页确定性趋势无法通过差分的方法消除，而只能通过确定性趋势无法通过差分的方法消除，而只能通过除去趋势项消除，除去趋势项消除，如：对式Xt=+t+t可通过除去t变换为Xt-t=+t该时间序列是平稳的，因此称为趋势平稳过程趋势平稳过程现在学习的是第23页，共47页带趋势平稳过程与差分平稳过程的比较n1、预测的比较、预测的
9、比较考虑 H0：y t=+yt-1+t H1：y t-t=(y t-1-(t-1)+t，|1.n在H0下，yT对yT+h的条件期望的影响是永久的随预测步长的增加，预测均方误差将趋于无穷现在学习的是第24页，共47页y t-t=(y t-1-(t-1)+tn在H1下，结论：结论：趋势平稳过程代表了一个时间序列长期稳定的变化过趋势平稳过程代表了一个时间序列长期稳定的变化过程，因而用于进行长期预测则是更为可靠的。程，因而用于进行长期预测则是更为可靠的。随h增加，第一项影响逐渐减小趋于0，故当前的值对未来的预测影响是短暂的随预测步长的增加，预测均方误差将趋于yT的无条件方差现在学习的是第25页，共47
10、页n2、趋势平稳过程方差是常数，均值是时间的函数；差分平稳过程方差是时间的函数；n3、趋势平稳过程对冲击的反应是暂时的，而单位根过程对冲击的反应是长久的。现在学习的是第26页，共47页 单位根检验（单位根检验（unit root test）是统计检验中普遍应用的一种检验方法。1 1、DFDF检验检验我们已知道，随机游走序列 Xt=Xt-1+t是非平稳的，其中t是白噪声。而该序列可看成是随机模型 Xt=Xt-1+t中参数=1时的情形。5.4 平稳性的单位根检验现在学习的是第27页，共47页也就是说，对式 Xt=Xt-1+t （*）做回归，如果确实发现=1，就说随机变量Xt有一个单位根。n（*）式
11、变成差分形式：Xt=(-1)Xt-1+t =Xt-1+t (*)因此，检验（*）式是否存在单位根=1，也可通过（*）式判断是否有=0。现在学习的是第28页，共47页上述检验可通过上述检验可通过OLS法下的法下的t检验完成。检验完成。n 然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的t 检验无法使用。n Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量服从的分布（这时的t统计量称为 统计量统计量），即DF分布分布（见下表）n由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零值的偏态分布。现在学习的是第29页，共47页n 因此，可通过OLS法估计 X X
12、t t=X Xt-1t-1+t t 并计算t统计量的值，与DF分布表中给定显著性水平下的临界值比较：如果：如果：t临界值，则拒绝零假设临界值，则拒绝零假设H0：=0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。认为时间序列不存在单位根，是平稳的。表表 无常数项的无常数项的DF分布临界值表分布临界值表 样 本 容 量 显著性水平 25 50 100 500 t分布临界值（n=）0.01-2.66-2.62-2.60-2.58-2.58-2.33 0.05-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-1.65 现在学习的是第30页，共47页n注意：在不同的教科书上有不同的描述，但是结注意：在不同的教
13、科书上有不同的描述，但是结果是相同的。果是相同的。例如：例如：“如果计算得到的如果计算得到的t统计量的绝对值大于临界统计量的绝对值大于临界值的绝对值，则拒绝值的绝对值，则拒绝=0”的假设，原序列不存在的假设，原序列不存在单位根，为平稳序列。单位根，为平稳序列。现在学习的是第31页，共47页n一般地，一个随机游走序列或不含漂移，或含有漂移，或同时具有确定性和随机性趋势，为容许各种可能性，DF检验在如下三种形式下进行估计：Xt=Xt-1+t （*）Xt=+Xt-1+t （*）Xt=+t+Xt-1+t （*）n在每种情况下，零假设均为H0：=0，备择假设 H1：0，即在备则假设下，（*）式为平稳时间
14、序列，（*）式是均值非0的平稳时间序列，（*）是带确定性趋势的平稳时间序列现在学习的是第32页，共47页n三种检验的临界值是不同的，因此如果正确的模型是（*），而我们估计了（*），那就会遇到设定误差的问题，同样，正确模型是（*），但估计了（*），也会出现同样的情况。n解决办法：用OLS同时估计出上述三个模型，然后通过DF临界值表检验零假设H0：=0。n1）只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，就可以认为时间序列是平稳的；n2）当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时，则认为时间序列是非平稳的。现在学习的是第33页，共47页 表表 有常数项的有常数项的DFDF分布临界值表分布临界值表 样 本
15、容 量 显著性水平 25 50 100 500 t分布临界值（n=）0.01-3.75-3.58-3.51-3.44-3.43-2.33 0.05-3.00-2.93-2.89-2.87-2.86-1.65 样 本 容 量 显著性水平 25 50 100 500 t分布临界值（n=）0.01-4.38-4.15-4.04-3.98-3.96-2.33 0.05-3.60-3.50-3.45-3.42-3.41-1.65 表表 有常数项和趋势项的有常数项和趋势项的DF分布临界值表分布临界值表现在学习的是第34页，共47页 进一步的问题进一步的问题：在使用上述模型 X Xt t=+t+t+X Xt
16、-1t-1+t t对时间序列进行平稳性检验中，实实际际上上假假定定了了时时间间序序列列是是由由具具有有白噪声随机误差项的一阶自回归过程白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的生成的。但但在在实实际际检检验验中中，时时间间序序列列可可能能由由更更高高阶阶的的自自回回归归过过程程生生成成的的，或或者者随随机机误误差差项项并并非非是是白白噪噪声声，这样用OLS法法进进行行估估计计均均会会表表现现出出随随机误差项出现自相关机误差项出现自相关，导致DF检验无效。为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF（Augment Dickey-Fu
17、ller）检检验验。2、ADF检验检验现在学习的是第35页，共47页ADF检验是通过下面三个模型完成的：检验是通过下面三个模型完成的：n 模模型型3 中中的的t是是时时间间变变量量，代表了时间序列随时间变化的某种趋势（如果有的话）。n 检检验验的的假假设设都都是是：针针对对H1:500-2.58-2.23-1.95-1.6125-3.75-3.33-3.00-2.6250-3.58-3.22-2.93-2.60100-3.51-3.17-2.89-2.58250-3.46-3.14-2.88-2.57500-3.44-3.13-2.87-2.57dt500-3.43-3.12-2.86-2.5
18、7253.412.972.612.20503.282.892.562.181003.222.862.542.172503.192.842.532.165003.182.832.522.162at5003.182.832.522.1625-4.38-3.95-3.60-3.2450-4.15-3.80-3.50-3.18100-4.04-3.73-3.45-3.15250-3.99-3.69-3.43-3.13500-3.98-3.68-3.42-3.13dt500-3.96-3.66-3.41-3.12254.053.593.202.77503.873.473.142.751003.783.4
19、23.112.732503.743.393.092.735003.723.383.082.72at5003.713.383.082.72253.743.252.852.39503.603.182.812.381003.533.142.792.382503.493.122.792.385003.483.112.782.383bt5003.463.112.782.38现在学习的是第38页，共47页同时估计出上述三个模型的适当形式，然后通过ADF临界值表检验零假设零假设H0：=0。1）只只要要其其中中有有一一个个模模型型的的检检验验结结果果拒拒绝绝了了零零假假设设，就就可可以以认认为为时时间间序序列
20、是平稳的；列是平稳的；2）当当三三个个模模型型的的检检验验结结果果都都不不能能拒拒绝绝零零假假设设时时，则则认认为为时时间间序列是非平稳的。序列是非平稳的。这里所谓模模型型适适当当的的形形式式就是在每个模型中选取适当的滞后差分项，以使模型的残差项是一个白噪声（主要保证不存在自相关）。一个简单的检验过程：一个简单的检验过程：现在学习的是第39页，共47页 例例 检验19782000年间中国支出法GDP时间序列的平稳性。1）经过偿试，模型3取了2阶滞后：通过拉拉格格朗朗日日乘乘数数检检验验（Lagrange multiplier test）对随机误差项的自相关性进行检验：LM（1）=0.92，LM
21、（2）=4.16，小于5%显著性水平下自由度分别为1与2的2分布的临界值，可见不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。现在学习的是第40页，共47页n从从 的系数看，的系数看，t临界值，不能拒绝存在单位根临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。的零假设。n时间T的t统计量小于ADF分布表中的临界值，因此不能拒绝不存在趋势项的零假设不能拒绝不存在趋势项的零假设。需进一步检验模需进一步检验模型型2。现在学习的是第41页，共47页2）经试验，模型2中滞后项取2阶：LM检验表明模型残差不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不不能拒绝存在单位根的
22、零假设能拒绝存在单位根的零假设。常数项的t统计量小于AFD分布表中的临界值，不不能能拒拒绝绝不不存常数项的零假设。存常数项的零假设。需进一步检验模型1。现在学习的是第42页，共47页3)经试验，模型1中滞后项取2阶：LM检验表明模型残差项不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不不能能拒拒绝存在单位根的零假设绝存在单位根的零假设。n 可断定中国支出法可断定中国支出法GDP时间序列是非平稳的。时间序列是非平稳的。现在学习的是第43页，共47页n例例12.1.7 检验关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。1)对中国人均国内生
23、产总值GDPPC来说，经过偿试，三个模型的适当形式分别为现在学习的是第44页，共47页n 三个模型中参数的估计值的t统计量均大于各自的临界值，因此不能拒绝存在单位根的零假设不能拒绝存在单位根的零假设。n 结论：人均国内生产总值（人均国内生产总值（GDPPC）是非平稳的。）是非平稳的。现在学习的是第45页，共47页2）对于人均居民消费CPC时间序列来说，三个模型的适当形式为 现在学习的是第46页，共47页n 三个模型中CPCt-1的t统计量的值均比各自的ADF临界值大，不不能拒绝该时间序列存在单位根的假设能拒绝该时间序列存在单位根的假设，n因此,可判断人均居民消费序列可判断人均居民消费序列CPC是非平稳的。是非平稳的。现在学习的是第47页，共47页