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1、空间中两点的距离公式第1页，本讲稿共21页一、空间点的直角坐标O 过 空 间 一 个 定 点O，作 三 条 互 相 垂 直的 数 轴，它 们 都 以O为 原 点 且 一 般 具 有相 同 的 长 度 单 位 它们 的 正 向 通 常 符 合 右手 规 则 这 样 的 三 条坐 标 轴 就 组 成 了 一 个空间直角坐标系空间直角坐标系 y轴(纵轴)z轴(竖轴)(坐标)原点 x轴(横轴)x 1 y 1 z 1拇指方向四指转向右手规则第2页，本讲稿共21页 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面x轴及y轴所确定的坐标面叫做 xOy面，另两个坐标面是 yOz 面和zO
2、x面.坐标面：O z y x 第3页，本讲稿共21页O z y x 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面x轴及y轴所确定的坐标面叫做 xOy面，另两个坐标面是 yOz 面和zOx面.坐标面：第4页，本讲稿共21页O z y x 第一卦限卦 限：三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限第5页，本讲稿共21页O z y x 第二卦限卦 限：第6页，本讲稿共21页第三卦限O z y x 卦 限：第7页，本讲稿共21页O z y x 第四卦限卦 限：第8页，本讲稿共21页O z y x 第五卦限卦 限：第9页，本讲稿共21页O z y x 第六卦限卦 限：第10
3、页，本讲稿共21页O z y x 第七卦限卦 限：第11页，本讲稿共21页O z y x 第八卦限卦 限：第12页，本讲稿共21页点的坐标：设 M 为 空 间 一 已 知 点 过点 M 作 三 个 平 面 分 别 垂 直 于 x轴、y 轴和 z 轴，三 个 平 面 在 x 轴、y 轴和 z 轴 的 交 点 依 次 为P、Q、R，在 x 轴、y 轴和 z 轴上 的 坐 标 依 次 为x、y、z，我们称 这 组 数 为点点M的的 坐坐 标标，并 把 x、y、z分 别 称 为 点M的 横 坐 标、纵 坐 标、竖 坐 标 坐 标 为x、y、z 的点M 记为M(x，y，z)O x y z PRx z y
4、MQ第13页，本讲稿共21页3.3空间两点间的距离公式问题1：长方体的对角线是长方体中的那一条线段？问题2：怎样测量长方体的对角线的长？问题3：已知长方体的长、宽、高分别是a、b、c，则对角线的长 第14页，本讲稿共21页问题4：给出空间两点A(x1,y1,z1),P(x2,y2,z2)可否类比得到一个距离公式？1、设O(0,0,0),P(x0,y0,z0)则xyzoPABC第15页，本讲稿共21页O x y z 二、空间两点间的距离 设设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点为空间两点与与x 轴平行的边的边长为轴平行的边的边长为|x 2 x 1|，作作一
5、一个个以以M 1和和M 2为为对对角角线线顶顶点点的的长长方方体体，使使其其三三个个相相邻邻的的面面分分别别平平行行于于三三个个坐坐标标面面M 1M 2PQx 2x 1第16页，本讲稿共21页与与y 轴平行的边的边长为轴平行的边的边长为|y 2 y 1|，y 2 y 1O x y z M 1M 2PQ二、空间两点间的距离 设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点与与x 轴平行的边的边长为轴平行的边的边长为|x 2 x 1|，作一个以作一个以M 1和和M 2为对角线为对角线顶点的长方体，使其三个相邻顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面的面分别平
6、行于三个坐标面第17页，本讲稿共21页与z 轴平行的边的边长为|z 2z 1|z 2z 1O x y z M 1M 2PQ与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|，二、空间两点间的距离 设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点与x 轴平行的边的边长为|x 2x 1|，作一个以M 1和M 2为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分 别 平 行 于 三 个 坐 标 面 第18页，本讲稿共21页因为因为|M1M2|2=|M1Q|2+|M2Q|2=|M1P|2+|PQ|2+|M2Q|2 O x y z M 1M 2PQd|M1M2|所以所以与与z 轴平行的边的边长
7、为轴平行的边的边长为|z 2 z 1|与与y 轴平行的边的边长为轴平行的边的边长为|y 2 y 1|，设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点与与x 轴平行的边的边长为轴平行的边的边长为|x 2 x 1|，作作一一个个以以M 1和和M 2为为对对角角线线顶顶点点的的长长方方体体，使使其其三三个个相相邻邻的的面面分分别别平平行行于于三三个个坐坐标标面面第19页，本讲稿共21页例例1 求证以求证以M 1(4，3，1)、M 2(7，1，2)、M 3(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 解解 因为因为|M 1M 2|2(7 4)2(1 3)2(2 1)2 14，|M 2M 3|2(5 7)2(2 1)2(3 2)2 6，|M 1M 3|2(5 4)2(2 3)2(3 1)2 6，所以所以|M 2M 3|M 1M 3|，即，即D DM 1M 2M 3为等腰三角形为等腰三角形第20页，本讲稿共21页 例2 在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点 解 设所求的点为M(0,0,z)，依题意有|MA|2|MB|2，(04)2(01)2(z7)2(30)2(50)2(2z)2解之得第21页，本讲稿共21页