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1、 第三章第三章 流体动力学基础流体动力学基础1.1.拉格朗日法（随体法）拉格朗日法（随体法）t0时，初始坐标a、b、c作为该质点的标志 x=x(a,b,c,t)，y=y(a,b,c,t)，z=z(a,b,c,t)速度：加速度：物理概念清晰，但处理问题十分困难3.1 研究流体运动的两种方法2.2.欧拉法（局部法、当地法）欧拉法（局部法、当地法）某瞬时，整个流场各空间点处的状态以固定空间、固定断面或固定点为对象，应采用欧拉法a.a.流体质点的加速度流体质点的加速度同理b.b.质点导数质点导数对质点的运动要素A：时变导数位变导数时变加速度位变加速度1.1.恒定流与非恒定流恒定流与非恒定流（1）恒定流
2、（2）非恒定流所有运动要素A都满足2.2.均匀流与非均匀流均匀流与非均匀流（1）均匀流（2）非均匀流3.2 流体运动的基本概念例：速度场例：速度场求（求（1 1）t=2s时，在时，在(2，4)点的加速度；点的加速度；（2）是恒定流还是非恒定流；）是恒定流还是非恒定流；（3）是均匀流还是非均匀流）是均匀流还是非均匀流。（1）将t=2，x=2，y=4代入得同理解：（2）（3）是非恒定流是非恒定流是均匀流是均匀流3.3.流线与迹线流线与迹线（1 1）流线）流线某瞬时在流场中所作的一条空间曲线，曲线上各点速度矢量与曲线相切流线微分方程：流线上任一点的切线方向与该点速度矢量一致性质：一般情况下不相交、不
3、折转流线微分方程流线微分方程（2 2）迹线）迹线质点运动的轨迹迹线微分方程：对任一质点迹线微分方程迹线微分方程流线的特性：流线的特性：（1）流线除驻点、奇点等特殊点，在一般情况下不能相交，也不能是折线，而是光滑的曲线或直线 (2)不可压缩流体中，流线的疏密程度反映了该时刻流场中各点的速度大小，流线越密，流速越大，流线越稀，流速越小。（3）恒定流动中，流线的形状不随时间而改变，流线与迹线重合；非恒定流动中，一般情况下，流线的形状随时间而变化，流线与迹线不重合。例：速度场vx=a，vy=bt，vz=0（a、b为常数）求:（1）流线方程及t=0、1、2时流线图；（2）迹线方程及t=0时过（0，0）点
4、的迹线。解：（1）流线：积分：oyxc=0c=2c=1t=0时流线oyxc=0c=2c=1t=1时流线oyxc=0c=2c=1T=2时流线流线方程（2）迹线：即迹线方程（抛物线）oyx注意：流线与迹线不重合例：已知速度vx=x+t，vy=y+t求：在t=0时过（1，1）点的流线和迹线方程。解：（1）流线：积分：t=0时，x=1，y=1c=0流线方程（双曲线）流线方程（双曲线）（2）迹线：由由t=0时，时，x=1，y=1得得c1=c2=-1迹线方程（直线）迹线方程（直线）（3 3）若恒定流：）若恒定流：vx=x，vy=y 流线流线 迹线迹线注意：恒定流中流线与迹线重合注意：恒定流中流线与迹线重合
5、4.4.流管与流束流管与流束流管流管在流场中任意取不与流线重合的封在流场中任意取不与流线重合的封闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管状表面状表面5.5.过流断面过流断面在流束上作出与流线正交的横断面在流束上作出与流线正交的横断面12注意：只有均匀流的过流断面才是平面注意：只有均匀流的过流断面才是平面例：例：121 1处过流断面处过流断面2 2处过流断面处过流断面流束流束流管内的流体流管内的流体6.6.元流与总流元流与总流元流元流过流断面无限小的流束过流断面无限小的流束总流总流过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成过流断面为有限大小的流束，它由无数元流
6、构成 按周界性质：按周界性质：按周界性质：按周界性质：总流四周全部被固体边界限制总流四周全部被固体边界限制总流四周全部被固体边界限制总流四周全部被固体边界限制有压流。如有压流。如有压流。如有压流。如自来水管、矿井排水管、液压管道。自来水管、矿井排水管、液压管道。自来水管、矿井排水管、液压管道。自来水管、矿井排水管、液压管道。总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接触触触触无压流。如河流、明渠。无压流。如河流、明渠。无压流。如河流、明渠。无压流。如河流、明渠。总流四周不与固体接
7、触总流四周不与固体接触总流四周不与固体接触总流四周不与固体接触射流。如孔口、管射流。如孔口、管射流。如孔口、管射流。如孔口、管嘴出流。嘴出流。嘴出流。嘴出流。7 7 7 7 流量、断面平均流速流量、断面平均流速流量、断面平均流速流量、断面平均流速 a.a.流量：流量：流量：流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流单位时间通过某一过流断面的流体量。流单位时间通过某一过流断面的流体量。流单位时间通过某一过流断面的流体量。流量可以用量可以用量可以用量可以用体积流量体积流量体积流量体积流量Q Qv v（mm3 3/s/s）、质量流量质量流量质量流量质量流量Q Qmm（kg/skg/s）表示。显然，对
8、于均质不可压缩流体有表示。显然，对于均质不可压缩流体有表示。显然，对于均质不可压缩流体有表示。显然，对于均质不可压缩流体有 元流体积流量元流体积流量元流体积流量元流体积流量 总流的体积流量总流的体积流量总流的体积流量总流的体积流量 b.b.断面平均流速：断面平均流速：断面平均流速：断面平均流速：总流过流断面上各点的流速总流过流断面上各点的流速总流过流断面上各点的流速总流过流断面上各点的流速v v一般一般一般一般不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度都相等，大
9、小均为断面平均流速都相等，大小均为断面平均流速都相等，大小均为断面平均流速都相等，大小均为断面平均流速v v。以。以。以。以v v计算所得的计算所得的计算所得的计算所得的流量与实际流量相同。流量与实际流量相同。流量与实际流量相同。流量与实际流量相同。8 8 均匀流与非均匀流均匀流与非均匀流均匀流与非均匀流均匀流与非均匀流 流场中所有流线是平行直线的流动，称为流场中所有流线是平行直线的流动，称为流场中所有流线是平行直线的流动，称为流场中所有流线是平行直线的流动，称为均匀流均匀流均匀流均匀流，否则称为否则称为否则称为否则称为非均匀流非均匀流非均匀流非均匀流。按非均匀程度的不同又将非均。按非均匀程度
10、的不同又将非均。按非均匀程度的不同又将非均。按非均匀程度的不同又将非均匀流动分为渐变流和急变流，凡流线间夹角很小接匀流动分为渐变流和急变流，凡流线间夹角很小接匀流动分为渐变流和急变流，凡流线间夹角很小接匀流动分为渐变流和急变流，凡流线间夹角很小接近于平行直线的流动称为近于平行直线的流动称为近于平行直线的流动称为近于平行直线的流动称为渐变流渐变流渐变流渐变流，否则称为，否则称为，否则称为，否则称为急变流急变流急变流急变流。显然，渐变流是一种近似的均匀流。因此，显然，渐变流是一种近似的均匀流。因此，显然，渐变流是一种近似的均匀流。因此，显然，渐变流是一种近似的均匀流。因此，渐变流有如渐变流有如渐变
11、流有如渐变流有如下性质：下性质：下性质：下性质：（1 1 1 1）渐变流的流线近于平行直线，过流断面近于平面；）渐变流的流线近于平行直线，过流断面近于平面；）渐变流的流线近于平行直线，过流断面近于平面；）渐变流的流线近于平行直线，过流断面近于平面；（2 2 2 2）渐变流过流断面上的动压强分布与静止流体压强分）渐变流过流断面上的动压强分布与静止流体压强分）渐变流过流断面上的动压强分布与静止流体压强分）渐变流过流断面上的动压强分布与静止流体压强分布规律相同，即布规律相同，即布规律相同，即布规律相同，即 实质：质量守恒1.连续性方程的微分形式oyxzdmxdmxdxdydzdt时间内x方向：流入质
12、量流出质量净流出质量3.3 连续性方程同理：dt时间内，时间内，控制体总控制体总净流出质量：净流出质量：由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于密度变化而减少的质量，即连续性方程的微分形式不可压缩流体即例：已知速度场 此流动是否可能出现？解：由连续性方程：满足连续性方程，此流动可能出现例：已知不可压缩流场ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z=0处uz=0，求uz。解：由得积分由z=0，uz=0得c=02.连续性方程的积分形式A1A212v1v2在dt时间内，流入断面1的流体质量必等于流出断面2的流体质量，则连续性方程的积分形式不可压缩流体分流时合流时刚体平移、旋转流体平移、旋转
13、、变形（线变形、角变形）平移线变形旋转角变形3.4 流体微元的运动分析流体微元的速度：1.平移速度：ux，uy，uz2.线变形速度：x方向线变形是单位时间微团沿x方向相对线变形量（线变形速度）同理存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因3.旋转角速度：角平分线的旋转角速度逆时针方向的转角为正顺时针方向的转角为负是微团绕平行于oz轴的旋转角速度同理微团的旋转：4.角变形速度：直角边与角平分线夹角的变化速度微团的角变形：存在不在质点连线方向的速度梯度是产生旋转和角变形的原因是微团在xoy平面上的角变形速度同理例：平面流场ux=ky，uy=0（k为大于0的常数），分析流场运动特征解：流线方程
14、：线变形：角变形：旋转角速度：xyo（流线是平行与x轴的直线族）（无线变形）（有角变形）（顺时针方向为负）例：平面流场ux=ky，uy=kx（k为大于0的常数），分析流场运动特征解：流线方程：（流线是同心圆族）线变形：（无线变形）角变形：（无角变形）旋转角速度：（逆时针的旋转）刚体旋转流动1.有旋流动2.无旋流动即：有旋流动和无旋流动例：速度场ux=ay（a为常数），uy=0，流线是平行于x轴的直线，此流动是有旋流动还是无旋流动？解：是有旋流xyoux相当于微元绕瞬心运动例：速度场ur=0，u=b/r（b为常数），流线是以原点为中心的同心圆，此流场是有旋流动还是无旋流动？解：用直角坐标：xyo
15、ruxuyup是无旋流（微元平动）小结：流动作有旋运动或无旋运动仅取决于每个流体微元本身是否旋转，与整个流体运动和流体微元运动的轨迹无关。无旋有势1.速度势函数类比：重力场、静电场作功与路径无关势能无旋条件：由全微分理论，无旋条件是某空间位置函数(x,y,z)存在的充要条件函数称为速度势函数，无旋流动必然是有势流动速 度 势 函 数由函数的全微分：得：（的梯度）2.拉普拉斯方程由不可压缩流体的连续性方程将代入得即拉普拉斯方程为拉普拉斯算子，称为调和函数不可压缩流体无旋流动的连续性方程注意：只有无旋流动才有速度势函数，它满足拉普拉斯方程3.极坐标形式（二维）不可压缩平面流场满足连续性方程：即：由
16、全微分理论，此条件是某位置函数（x，y）存在的充要条件函数称为流函数有旋、无旋流动都有流函数流函数由函数的全微分：得：流函数的主要性质：（1）流函数的等值线是流线；证明：流线方程（2）两条流线间通过的流量等于两流函数之差；证明：（3）流线族与等势线族正交；斜率：斜率：等流线等流线等势线等势线利用（2）、（3）可作流网（4）只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程证明：则：将代入也是调和函数得：在无旋流动中例：不可压缩流体，ux=x2y2，uy=2xy，是否满足连续性方程？是否无旋流？有无速度势函数？是否是调和函数？并写出流函数。解：（1）满足连续性方程（2）是无旋流（3）无旋流存在势函数：取（x0，
17、y0）为（0，0）（4）满足拉普拉斯方程，是调和函数（5）流函数取（x0，y0）为（0，0）1.均匀平行流速度场（a,b为常数）速度势函数等势线流函数流线uxyo112323几种简单的平面势流当流动方向平行于x轴当流动方向平行于y轴如用极坐标表示：112211222.源流与汇流（用极坐标）（1）源流：1122o34ur源点o是奇点r0 ur速度场速度势函数等势线流函数流线直角坐标（2）汇流 流量1122o34汇点o是奇点r0 ur（3）环流势涡流（用极坐标）注意：环流是无旋流！速度势函数流函数速度场环流强度逆时针为正1122o34u也满足同理，对无旋流：势流叠加原理势 流 叠 加 原 理（1）
18、半无限物体的绕流（用极坐标）模型：水平匀速直线流与源流的叠加（河水流过桥墩）流函数：速度势函数：即视作水平流与源点o的源流叠加u0S几个常见的势流叠加的例子作流线步骤：找驻点S：将代入（舍去）将代入得驻点的坐标：u0Sors（1）（2）由（2）由（1）将驻点坐标代入流函数，得则通过驻点的流线方程为给出各值，即可由上式画出通过驻点的流线流线以为渐进线外区均匀来流区；内区源的流区（“固化”、半体）（2）等强源汇流（用极坐标直角坐标）模型：源流与汇流叠加（电偶极子）xyoaarr1r2P(x,y)12q-q势函数流函数源流和汇流的叠加当a0，q，2qa常数M偶极流利用三角函数恒等式、级数展开，化简a
19、0：偶极流（3）等强源流（用极坐标直角坐标）xyoaarr1r2P(x,y)模型：两个源流叠加（两个同性电荷）QQ12势函数流函数=C=C源流和源流的叠加（4）源环流螺旋流（用极坐标）模型：源流与环流叠加（水泵蜗壳内的扩压流动）势函数流函数等势线流线流线和等势线是相互正交的对数螺旋线源流和环流的叠加（流线与等势线为相互正交的对数螺旋线族）离心泵的叶片形状离心泵的叶片形状3.6 3.6 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用 3.6.1 3.6.1 理想流体元流的伯努利方程理想流体元流的伯努利方程理想流体元流的伯努利方程理想流体元流的伯努利方程 为了推导方便，将理想流体运动微分方程式写成为了推导方
20、便，将理想流体运动微分方程式写成为了推导方便，将理想流体运动微分方程式写成为了推导方便，将理想流体运动微分方程式写成 该方程为非线性偏微分方程，只有特定条件下才能该方程为非线性偏微分方程，只有特定条件下才能该方程为非线性偏微分方程，只有特定条件下才能该方程为非线性偏微分方程，只有特定条件下才能求得其解。这些特定条件为：求得其解。这些特定条件为：求得其解。这些特定条件为：求得其解。这些特定条件为：恒定流动，有恒定流动，有恒定流动，有恒定流动，有 沿流线积分，将流线上的沿流线积分，将流线上的沿流线积分，将流线上的沿流线积分，将流线上的d dx x、d dy y、d dz z分别乘理想分别乘理想分别
21、乘理想分别乘理想流体运动微分方程的三个分式，然后相加得流体运动微分方程的三个分式，然后相加得流体运动微分方程的三个分式，然后相加得流体运动微分方程的三个分式，然后相加得 对于恒定流动，流线与迹线重合，所以沿流线下对于恒定流动，流线与迹线重合，所以沿流线下对于恒定流动，流线与迹线重合，所以沿流线下对于恒定流动，流线与迹线重合，所以沿流线下列关系式成立，即列关系式成立，即列关系式成立，即列关系式成立，即 质量力只有重力，则质量力只有重力，则质量力只有重力，则质量力只有重力，则 根据以上积分条件，根据以上积分条件，根据以上积分条件，根据以上积分条件，有有有有 不可压缩均质流体，不可压缩均质流体，不可
22、压缩均质流体，不可压缩均质流体，=常数。上式可写为常数。上式可写为常数。上式可写为常数。上式可写为 积分得积分得积分得积分得 对同一流线上的任意两点对同一流线上的任意两点对同一流线上的任意两点对同一流线上的任意两点1 1、2 2，有有有有 上两式为重力场中理想流体沿流线的伯努利积分式，上两式为重力场中理想流体沿流线的伯努利积分式，上两式为重力场中理想流体沿流线的伯努利积分式，上两式为重力场中理想流体沿流线的伯努利积分式，称为称为称为称为伯努利方程伯努利方程伯努利方程伯努利方程。由于元流的过流断面面积无限小，。由于元流的过流断面面积无限小，。由于元流的过流断面面积无限小，。由于元流的过流断面面积
23、无限小，所以沿流线的伯努利方程也适用于元流。所以沿流线的伯努利方程也适用于元流。所以沿流线的伯努利方程也适用于元流。所以沿流线的伯努利方程也适用于元流。理想流体元流（流线）伯努利方程的应用条件理想流体元流（流线）伯努利方程的应用条件理想流体元流（流线）伯努利方程的应用条件理想流体元流（流线）伯努利方程的应用条件：1 1、理想流体；、理想流体；、理想流体；、理想流体；2 2、恒定流动；、恒定流动；、恒定流动；、恒定流动；3 3、质量力只有重力；、质量力只有重力；、质量力只有重力；、质量力只有重力；4 4、沿元流（流线）积分；、沿元流（流线）积分；、沿元流（流线）积分；、沿元流（流线）积分；5 5
24、、不可压缩流体。、不可压缩流体。、不可压缩流体。、不可压缩流体。：单位重量流体对某一基准面具有的位置势能，：单位重量流体对某一基准面具有的位置势能，：单位重量流体对某一基准面具有的位置势能，：单位重量流体对某一基准面具有的位置势能，又称位置高度或位置水头；又称位置高度或位置水头；又称位置高度或位置水头；又称位置高度或位置水头；3.6.2 3.6.2 3.6.2 3.6.2 理想流体元流伯努利方程的意义理想流体元流伯努利方程的意义理想流体元流伯努利方程的意义理想流体元流伯努利方程的意义：单位重量：单位重量：单位重量：单位重量流体流体流体流体具有的压强势能，又称测压管高度或压强水头；具有的压强势能
25、，又称测压管高度或压强水头；具有的压强势能，又称测压管高度或压强水头；具有的压强势能，又称测压管高度或压强水头；：单位重量流体具有的总势能，又称测压管水头；：单位重量流体具有的总势能，又称测压管水头；：单位重量流体具有的总势能，又称测压管水头；：单位重量流体具有的总势能，又称测压管水头；：单位重量流体具有的动能，又称流速高度或速度水头；：单位重量流体具有的动能，又称流速高度或速度水头；：单位重量流体具有的动能，又称流速高度或速度水头；：单位重量流体具有的动能，又称流速高度或速度水头；：单位重量流体具有的机械能，又称：单位重量流体具有的机械能，又称：单位重量流体具有的机械能，又称：单位重量流体具
26、有的机械能，又称总水头。总水头。总水头。总水头。解释伯努利方程的物理意义和几何意义！解释伯努利方程的物理意义和几何意义！解释伯努利方程的物理意义和几何意义！解释伯努利方程的物理意义和几何意义！3.6.3 3.6.3 理想流体元流伯努利方程的应用理想流体元流伯努利方程的应用理想流体元流伯努利方程的应用理想流体元流伯努利方程的应用 说明毕托管的测速原理说明毕托管的测速原理说明毕托管的测速原理说明毕托管的测速原理。如图，现欲测定均匀管流过流断面上如图，现欲测定均匀管流过流断面上如图，现欲测定均匀管流过流断面上如图，现欲测定均匀管流过流断面上A A点的流速点的流速点的流速点的流速u u，可在，可在，可
27、在，可在A A点所在断面设置点所在断面设置点所在断面设置点所在断面设置测压管测压管测压管测压管，测出该点的压强，测出该点的压强，测出该点的压强，测出该点的压强p p，称为，称为，称为，称为静压静压静压静压。另在。另在。另在。另在A A点同一流线下游取相距很近的点同一流线下游取相距很近的点同一流线下游取相距很近的点同一流线下游取相距很近的O O点，在该点放置一根两端开点，在该点放置一根两端开点，在该点放置一根两端开点，在该点放置一根两端开 口的口的口的口的L L型细管，使一端管口型细管，使一端管口型细管，使一端管口型细管，使一端管口 正对来流方向，另一端垂直正对来流方向，另一端垂直正对来流方向，
28、另一端垂直正对来流方向，另一端垂直 向上，此管称为向上，此管称为向上，此管称为向上，此管称为测速管测速管测速管测速管。测。测。测。测 出的压强称为出的压强称为出的压强称为出的压强称为总压总压总压总压或或或或全压全压全压全压。以以以以AOAO所在流线为基准，忽略水头损失，对所在流线为基准，忽略水头损失，对所在流线为基准，忽略水头损失，对所在流线为基准，忽略水头损失，对A A、O O两点两点两点两点应用理想流体元流伯努利方程应用理想流体元流伯努利方程应用理想流体元流伯努利方程应用理想流体元流伯努利方程 则则则则A A点的流速为点的流速为点的流速为点的流速为 考虑到粘性存在等因素的影响，引入修正系数
29、考虑到粘性存在等因素的影响，引入修正系数考虑到粘性存在等因素的影响，引入修正系数考虑到粘性存在等因素的影响，引入修正系数c c，则，则，则，则 将测速管和测压管组合成测量点将测速管和测压管组合成测量点将测速管和测压管组合成测量点将测速管和测压管组合成测量点 流速的仪器称为流速的仪器称为流速的仪器称为流速的仪器称为毕托管毕托管毕托管毕托管。水（）-水银（）c流速系数（11.04）气（）-液（）3.6.4 3.6.4 实际流体元流的伯努利方程实际流体元流的伯努利方程实际流体元流的伯努利方程实际流体元流的伯努利方程 实际流体具有粘性，在流动过程中有一部分机械能实际流体具有粘性，在流动过程中有一部分机
30、械能实际流体具有粘性，在流动过程中有一部分机械能实际流体具有粘性，在流动过程中有一部分机械能将不可逆地转化为热能耗散。根据能量守恒原理，将不可逆地转化为热能耗散。根据能量守恒原理，将不可逆地转化为热能耗散。根据能量守恒原理，将不可逆地转化为热能耗散。根据能量守恒原理，实际流体元流的伯努利方程为实际流体元流的伯努利方程为实际流体元流的伯努利方程为实际流体元流的伯努利方程为 式中：式中：式中：式中：为实际流体元流单位重量流体从为实际流体元流单位重量流体从为实际流体元流单位重量流体从为实际流体元流单位重量流体从1-11-11-11-1过流断过流断过流断过流断面流到面流到面流到面流到2-22-22-2
31、2-2过流断面的机械能损失，称为元流的水头过流断面的机械能损失，称为元流的水头过流断面的机械能损失，称为元流的水头过流断面的机械能损失，称为元流的水头损失。损失。损失。损失。3.6.5 3.6.5 总流的伯努利方程总流的伯努利方程总流的伯努利方程总流的伯努利方程 图示为实际流体恒定图示为实际流体恒定图示为实际流体恒定图示为实际流体恒定 总流，过流断面总流，过流断面总流，过流断面总流，过流断面1-11-1、2-2 2-2 为渐变流断面，面积为为渐变流断面，面积为为渐变流断面，面积为为渐变流断面，面积为A A1 1、A A2 2。在总流中任取元。在总流中任取元。在总流中任取元。在总流中任取元流，流
32、，流，流，其过流断面的微元其过流断面的微元其过流断面的微元其过流断面的微元面积、面积、面积、面积、位置高度、压强位置高度、压强位置高度、压强位置高度、压强及流速分及流速分及流速分及流速分 别为别为别为别为d dA A1 1、z z1 1、p p1 1、u u1 1；d dA A2 2、z z2 2、p p2 2、u u2 2。将实际流体元流伯努利方程式两边同乘重量流量将实际流体元流伯努利方程式两边同乘重量流量将实际流体元流伯努利方程式两边同乘重量流量将实际流体元流伯努利方程式两边同乘重量流量 得单位时间通过元流两过流断面的能量方程得单位时间通过元流两过流断面的能量方程得单位时间通过元流两过流断
33、面的能量方程得单位时间通过元流两过流断面的能量方程 对上式积分，可得单位时间通过总流两过流断面对上式积分，可得单位时间通过总流两过流断面对上式积分，可得单位时间通过总流两过流断面对上式积分，可得单位时间通过总流两过流断面的能量方程的能量方程的能量方程的能量方程 下面分别确定上式中三种类型的积分下面分别确定上式中三种类型的积分下面分别确定上式中三种类型的积分下面分别确定上式中三种类型的积分 （1 1）（2 2）式中式中式中式中 为动能修正系数。修正用断面平均流速代替实为动能修正系数。修正用断面平均流速代替实为动能修正系数。修正用断面平均流速代替实为动能修正系数。修正用断面平均流速代替实际流速计算
34、动能时引起的误差。即际流速计算动能时引起的误差。即际流速计算动能时引起的误差。即际流速计算动能时引起的误差。即 （3 3）式中式中式中式中 表示单位重量流体从过流断面表示单位重量流体从过流断面表示单位重量流体从过流断面表示单位重量流体从过流断面1-11-1流到流到流到流到2-22-2的的的的平均机械能损失，称为平均机械能损失，称为平均机械能损失，称为平均机械能损失，称为总流的水头损失。总流的水头损失。总流的水头损失。总流的水头损失。将以上积分结果代入前式，得将以上积分结果代入前式，得将以上积分结果代入前式，得将以上积分结果代入前式，得 因两断面间无分流及汇流，因两断面间无分流及汇流，因两断面间
35、无分流及汇流，因两断面间无分流及汇流，得得得得 上式即为上式即为上式即为上式即为实际流体总流的伯努利方程实际流体总流的伯努利方程实际流体总流的伯努利方程实际流体总流的伯努利方程。若式中的。若式中的。若式中的。若式中的h hw w=0=0，则，则，则，则 上式即为上式即为上式即为上式即为理想流体总流的伯努利方程理想流体总流的伯努利方程理想流体总流的伯努利方程理想流体总流的伯努利方程。3.6.6 3.6.6 总流伯努利方程的应用条件和注意事项总流伯努利方程的应用条件和注意事项总流伯努利方程的应用条件和注意事项总流伯努利方程的应用条件和注意事项 总流伯努利方程的应用条件总流伯努利方程的应用条件总流伯
36、努利方程的应用条件总流伯努利方程的应用条件：恒定流动；恒定流动；恒定流动；恒定流动；质量力只有重力；质量力只有重力；质量力只有重力；质量力只有重力；不可压缩流体；不可压缩流体；不可压缩流体；不可压缩流体；所取过流断面为渐变流或均匀流断面，但两断面所取过流断面为渐变流或均匀流断面，但两断面所取过流断面为渐变流或均匀流断面，但两断面所取过流断面为渐变流或均匀流断面，但两断面间允许存在急变流；间允许存在急变流；间允许存在急变流；间允许存在急变流；两过流断面间无分流或汇流；两过流断面间无分流或汇流；两过流断面间无分流或汇流；两过流断面间无分流或汇流；两过流断面间无其它机械能输入输出。两过流断面间无其它
37、机械能输入输出。两过流断面间无其它机械能输入输出。两过流断面间无其它机械能输入输出。总流伯努利方程的注意事项总流伯努利方程的注意事项总流伯努利方程的注意事项总流伯努利方程的注意事项：过流断面除必须选取渐变流或均匀流断面外，一过流断面除必须选取渐变流或均匀流断面外，一过流断面除必须选取渐变流或均匀流断面外，一过流断面除必须选取渐变流或均匀流断面外，一般应选取包含较多已知量或包含需求未知量的断面。般应选取包含较多已知量或包含需求未知量的断面。般应选取包含较多已知量或包含需求未知量的断面。般应选取包含较多已知量或包含需求未知量的断面。过流断面上的计算点原则上可以任意选取，但若过流断面上的计算点原则上
38、可以任意选取，但若过流断面上的计算点原则上可以任意选取，但若过流断面上的计算点原则上可以任意选取，但若计算点选取恰当，可使计算大为简化。例如，管流的计算点选取恰当，可使计算大为简化。例如，管流的计算点选取恰当，可使计算大为简化。例如，管流的计算点选取恰当，可使计算大为简化。例如，管流的计算点通常选在管轴线上，明渠的计算点通常选在自计算点通常选在管轴线上，明渠的计算点通常选在自计算点通常选在管轴线上，明渠的计算点通常选在自计算点通常选在管轴线上，明渠的计算点通常选在自由液面上。由液面上。由液面上。由液面上。基准面是任意选取的水平面，但一般使基准面是任意选取的水平面，但一般使基准面是任意选取的水平
39、面，但一般使基准面是任意选取的水平面，但一般使z z为正值。为正值。为正值。为正值。方程中的压强方程中的压强方程中的压强方程中的压强p p1 1与与与与p p2 2可用绝对压强或相对压强，但可用绝对压强或相对压强，但可用绝对压强或相对压强，但可用绝对压强或相对压强，但同一方程必须采用同种压强来度量。同一方程必须采用同种压强来度量。同一方程必须采用同种压强来度量。同一方程必须采用同种压强来度量。总流的伯努利方程与元流的伯努利方程区别（1）z1、z2总流过流断面上同一流线上的两个计算点相对于基准面的高程；（2）p1、p2对应z1、z2点的压强（同为绝对压强或同为相对压强）；（3）v1、v2断面的平
40、均流速 沿程有分流或汇流的伯努利方程沿程有分流或汇流的伯努利方程沿程有分流或汇流的伯努利方程沿程有分流或汇流的伯努利方程 在分流处作分流面，将分流划分为两支总流，每支总在分流处作分流面，将分流划分为两支总流，每支总在分流处作分流面，将分流划分为两支总流，每支总在分流处作分流面，将分流划分为两支总流，每支总流的流量是沿程不变的。根据能量守恒原理，可建立流的流量是沿程不变的。根据能量守恒原理，可建立流的流量是沿程不变的。根据能量守恒原理，可建立流的流量是沿程不变的。根据能量守恒原理，可建立分流伯努利方程分流伯努利方程分流伯努利方程分流伯努利方程 3.6.8 3.6.8 水头线和水力坡度水头线和水力
41、坡度水头线和水力坡度水头线和水力坡度 总水头线总水头线总水头线总水头线是沿程各断面总水头是沿程各断面总水头是沿程各断面总水头是沿程各断面总水头 的连的连的连的连线。理想流体的总水头线是水平线，实际流体的总线。理想流体的总水头线是水平线，实际流体的总线。理想流体的总水头线是水平线，实际流体的总线。理想流体的总水头线是水平线，实际流体的总水头线沿程却单调下降，下降的快慢用水力坡度水头线沿程却单调下降，下降的快慢用水力坡度水头线沿程却单调下降，下降的快慢用水力坡度水头线沿程却单调下降，下降的快慢用水力坡度J J表表表表示示示示 测压管水头线测压管水头线测压管水头线测压管水头线是沿程各断面测压管水头是
42、沿程各断面测压管水头是沿程各断面测压管水头是沿程各断面测压管水头 的连线。测压管水头线沿程可升、可降、可水平，的连线。测压管水头线沿程可升、可降、可水平，的连线。测压管水头线沿程可升、可降、可水平，的连线。测压管水头线沿程可升、可降、可水平，其变化快慢用测压管水头线坡度其变化快慢用测压管水头线坡度其变化快慢用测压管水头线坡度其变化快慢用测压管水头线坡度J Jp p表示表示表示表示 例3-2:用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程作水头线H
43、112200总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线伯努里方程的应用 连续性方程能量方程（忽略损失）文丘里流量计文丘里流量计仪器常数K流量系数（0.960.98）注意：水（）-水银（）气（）-液（）例例例例3-43-4 如图，水池通过直径有改变的有压管道泄水，已知管道如图，水池通过直径有改变的有压管道泄水，已知管道如图，水池通过直径有改变的有压管道泄水，已知管道如图，水池通过直径有改变的有压管道泄水，已知管道直径直径直径直径d d1 1125mm125mm，d d2 2100mm100mm，喷嘴出口直径，喷嘴出口直径，喷嘴出口直径，喷嘴出口直径d d3 380mm80mm，水，水，水，水银压差
44、计中的读数银压差计中的读数银压差计中的读数银压差计中的读数 h h180mm180mm，不计水头损失，求管道的泄，不计水头损失，求管道的泄，不计水头损失，求管道的泄，不计水头损失，求管道的泄水流量水流量水流量水流量Q Q和喷嘴前端压力表读数和喷嘴前端压力表读数和喷嘴前端压力表读数和喷嘴前端压力表读数 p p。解：以出口管段中心轴为基准，列解：以出口管段中心轴为基准，列解：以出口管段中心轴为基准，列解：以出口管段中心轴为基准，列1-11-1、2-22-2断面的伯努利方程断面的伯努利方程断面的伯努利方程断面的伯努利方程因因因因 代入上式，得代入上式，得代入上式，得代入上式，得 由总流连续性方程由总
45、流连续性方程由总流连续性方程由总流连续性方程 联解两式，得联解两式，得联解两式，得联解两式，得 列压力表所在断面及列压力表所在断面及列压力表所在断面及列压力表所在断面及3-33-3断面的伯努利方程断面的伯努利方程断面的伯努利方程断面的伯努利方程 因压力表所在断面的管径与因压力表所在断面的管径与因压力表所在断面的管径与因压力表所在断面的管径与2-22-22-22-2断面的管径相同，故断面的管径相同，故断面的管径相同，故断面的管径相同，故 则压力表读数则压力表读数则压力表读数则压力表读数 例例例例3-53-5 如图，已知离心泵的提水高度如图，已知离心泵的提水高度如图，已知离心泵的提水高度如图，已知
46、离心泵的提水高度z z20m20m，抽水流量，抽水流量，抽水流量，抽水流量Q Q35L/s35L/s，效率，效率，效率，效率 1 10.820.82。若吸水管路和压水管路总水头损失。若吸水管路和压水管路总水头损失。若吸水管路和压水管路总水头损失。若吸水管路和压水管路总水头损失h hw w1.5mH1.5mH2 2OO，电动机的效率，电动机的效率，电动机的效率，电动机的效率 2 20.950.95，试求：电动机的功率，试求：电动机的功率，试求：电动机的功率，试求：电动机的功率P P。解：以吸水池面为基准，列解：以吸水池面为基准，列解：以吸水池面为基准，列解：以吸水池面为基准，列1-11-1、2-
47、22-2断面的伯努利方程断面的伯努利方程断面的伯努利方程断面的伯努利方程 由于由于由于由于1-11-1、2-22-2过流断面面积很大，故过流断面面积很大，故过流断面面积很大，故过流断面面积很大，故v v1 100，v v2 200，并且，并且，并且，并且p p1 1p p2 20 0，则，则，则，则 故电动机的功率故电动机的功率故电动机的功率故电动机的功率 H=4cmL=24cm虹吸管出流虹吸管出流等直径虹吸管出流，等直径虹吸管出流，忽略粘性影响。忽略粘性影响。求：（求：（1）出口断面流速；（）出口断面流速；（2）管内最大真空度。）管内最大真空度。=1 （1）在缓变流截面）在缓变流截面1、2列
48、伯努利方程列伯努利方程解解.已知已知 得得p p、z z 用统一的基准度量用统一的基准度量 （2）在缓变流截面）在缓变流截面1、A列伯努利方程列伯努利方程得得 由由安装虹吸管的限制：安装虹吸管的限制：管内最高点压强管内最高点压强高于液体汽化压强高于液体汽化压强真空度真空度H=4cmL=24cm关于气蚀：关于气蚀：低压区产生汽化，高压区气泡破灭空化，它造成流量减小，机械壁面造成疲劳破坏，这种有害作用称气蚀（空蚀）关于计算气蚀的例子：大气压强97.3kPa，粗管径d=150mm，水温40，收缩管直径应限制在什么条件下，才能保证不出现空化？（不考虑损失）10m解：水温40，汽化压强为7.38kPa大
49、气压强汽化压强列1-1、2-2断面的能量方程（必须用绝对压强）列1-1、3-3断面的能量方程（可用相对压强）11223310m连续性方程例：定性作水头线pp总水头线总水头线总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线测压管水头线测压管水头线p总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线p总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线气体的伯努利方程1.气体的伯努利方程（1）用绝对压强（m）常用压强表示（Pa）v1v2p1p2z1z200a1122（2）用相对压强用相对压强计算的气体伯努利方程v1v2p1p2z1z200a1122用相对压强计算的气体伯努利方程p静压v2/2动压(a-)g(z2-z1)位压注意
50、：z2-z1下游断面高度减上游断面高度（）；a-外界大气密度减管内气体密度（）；z2=z1或a=位压为零2.压力线总压线势压线位压线零压线动压静压位压静压+动压=全压静压+动压+位压=总压 例例例例3-63-6 如图，气体由相对压强为如图，气体由相对压强为如图，气体由相对压强为如图，气体由相对压强为 的气罐，经直径的气罐，经直径的气罐，经直径的气罐，经直径d d100mm100mm的管道流入大气，管道进、出口高差的管道流入大气，管道进、出口高差的管道流入大气，管道进、出口高差的管道流入大气，管道进、出口高差h h40m40m，管路，管路，管路，管路的压强损失的压强损失的压强损失的压强损失 ，试