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1、7 正切函数7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的图像与性质1.1.了解任意角的正切函数概念了解任意角的正切函数概念.2.2.能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像.3.3.根据正切函数的图像熟练推导出正切函数的性质根据正切函数的图像熟练推导出正切函数的性质.4.4.能熟练掌握正切函数的图像与性质能熟练掌握正切函数的图像与性质.常见的三角函数除正弦函数、余弦函数外还有正切常见的三角函数除正弦函数、余弦函数外还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质数，并借
2、助于它们的图像研究了它们的性质.今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数坐标系内学习任意角的正切函数.x(1,0)x(1,0)OP(a,b)P(a,b)yMx 在直角坐标系中，在直角坐标系中，如果角如果角满足：满足：RR，k(kZ)k(kZ)，那么，那么，角角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P P（a a，b b），唯一确定比值），唯一确定比值 .一、正切函数的定义一、正切函数的定义 根据函数定义，比值根据函数定义，比值 是角是角的函数，的函数，我们把它叫作角我们把它叫作角的的正切函数正切函数，记作，记作y y
3、tantan，1 1、正切函数的定义、正切函数的定义其中其中RR，+k +k，kZ.kZ.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tantan (R(R，k+k+，kZ).kZ).由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数三角函数.2 2、正切线、正切线 如右图，单位圆与如右图，单位圆与x x轴轴正半轴的交点为正半轴的交点为A(1,0)A(1,0)，任意角任意角的终边与单位圆的终边与单位圆交于点交于点P P，过点，过点A(1,0)A(1,0)作作
4、x x轴的垂线，与角的终边或轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于终边的延长线相交于T T点点.从图中可以看出：从图中可以看出：当角当角位于第一和第三象限时，位于第一和第三象限时，T T点位于点位于x x轴的上方；轴的上方；当角当角位于第二和第四象限时，位于第二和第四象限时，T T点位于点位于x x轴的下方轴的下方.不论角不论角的终边在第几象限，都有的终边在第几象限，都有 ，使得角使得角的正切值与有向线段的正切值与有向线段ATAT的值相等的值相等.因此，我们称因此，我们称有向线段有向线段ATAT为角为角的的正切线正切线.由于由于3 3、正切函数的周期、正切函数的周期 所以所以 是正切函数的周
5、期是正切函数的周期.是它的最小正周期是它的最小正周期.p1.1.想一想正弦函数是如何借助其正弦线做出的图像？想一想正弦函数是如何借助其正弦线做出的图像？2.2.我们能否借助正切线做出正切函数的图像？如何做？我们能否借助正切线做出正切函数的图像？如何做？(2)(2)找横坐标找横坐标（把（把x x轴上轴上到到 这一段分这一段分成成8 8等份）等份）二、正切函数的图像与性质二、正切函数的图像与性质1 1、正切函数的图像、正切函数的图像作法如下：作法如下：(1)(1)作直角坐标系作直角坐标系,并在直并在直角坐标系角坐标系y y轴左侧作单位圆轴左侧作单位圆.XYO(3)(3)在单位圆右半圆中作出在单位圆
6、右半圆中作出正切线正切线.(4)(4)平移平移.(5).(5)连线连线.1 1、正切函数的图像、正切函数的图像全体实数全体实数R R正切函数在开区间正切函数在开区间 上是增加的上是增加的.xyo2 2、正切函数的性质、正切函数的性质(1)(1)定义域定义域(2)(2)值域值域(3)(3)周期性周期性 正切函数是周期正切函数是周期函数函数，T=.正切函数是奇函数，正切曲线关于原点正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O O对称对称.(4)(4)奇偶性奇偶性(5)(5)单调性单调性例例1 1求函数的定义域求函数的定义域.那么函数那么函数 的定义域是：的定义域是：解：解：令令所以由可得：所以由可得：所以
7、函数的定义域是：所以函数的定义域是：例例2.2.不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小.与与与与解解：在上是增函数在上是增函数又又又又且且 是单调递增的是单调递增的即即例例3 3 求求 的单调区间：的单调区间：的增区间为的增区间为的增区间为的增区间为A.B.C.D.以上都不对1.1.已知已知 则则()()A.abc B.cba C.bca D.bacA.abc B.cba C.bca D.bac()c cc 1.1.正切函数的定义正切函数的定义2.2.正切函数的图像正切函数的图像3.3.正切函数的性质正切函数的性质1.1.定义域：定义域：2.2.值域：值域：3.3.周期性：周期性：4.4.奇偶性：奇偶性：5.5.单调性：单调性：全体实数全体实数R R奇函数奇函数正切函数在开区间正切函数在开区间 内都是增加的内都是增加的.正切函数是周期函数，最小正周期正切函数是周期函数，最小正周期T=T=白发无凭吾老矣！青春不再汝知乎？年将弱冠非童子，学不成名岂丈夫？俞良弼