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1、1.5.1 1.5.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积数学史上的三次危机数学史上的三次危机第二次数学危机第二次数学危机无穷小是零吗？无穷小是零吗？第一次数学危机第一次数学危机无理数的发现无理数的发现第二章数系的扩充与复数数系的扩充与复数第三次数学危机第三次数学危机悖论的产生悖论的产生第三章推理与证明推理与证明微积分(数学分析）微分导数极限理论等 微分学积分学定积分不定积分 曲边梯形的面积问题2:圆面积公式是如何推导的圆面积公式是如何推导的?问题1:最基本、最奇妙的曲边图形是最基本、最奇妙的曲边图形是 什么？什么？三国时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合
2、体而无所失矣”刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积三国时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：刘徽在九章算术注中讲到刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积 1.曲曲边边梯梯形形：在在直直角角坐坐标标系系中中，由由连连续续曲曲线线y=f(x)，直直线线x=a、x=b及及x x轴轴所所围围成成的的图图形形叫叫做做曲曲边边梯形。梯形。一一.求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积如何求曲边梯形的面
3、积？如何求曲边梯形的面积？下面我们先研究一个特殊情形：下面我们先研究一个特殊情形：由抛物线由抛物线y=x2、直线直线x=1和和x轴所围成的轴所围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积x yOy=x21S=?（1 1）分割）分割把区间把区间0，1等分成等分成n个个小区间：小区间：过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个个小曲边梯形，他们的面积分别记作小曲边梯形，他们的面积分别记作 （2 2）近似代替）近似代替（3 3）求和）求和（4 4）取极限）取极限 (过剩近似值)(过剩近似值)y=f(x)bax yO A1用两个矩形的面积近似代替近似代替曲边梯形的面积 y=f(x)b
4、ax yO用四个矩形的面积近似代替近似代替曲边梯形的面积 y=f(x)bax yO y=f(x)bax yOA A1+A2+An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边于是曲边梯形的面积梯形的面积A A近似为近似为A1AiAn 以直代曲以直代曲,无限逼近无限逼近 1.当当n很大时，函数很大时，函数 在区间在区间 上的值，可以用上的值，可以用()近似代替近似代替 A.B.C.D.C练 习2、在、在“近似代替近似代替”中，函数中，函数f(x)在区间在区间 上的近似值等于（上的近似值等于（）A.只能是左端点的函数值只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确以上答案均不正确C练 习