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1、课时跟踪检测(五十)锥曲线中的范围、最值、证明问题x2L (2022无锡八校检测)0为坐标原点，椭圆。w+y2=i,点。，/，N为C上的动点，且。，M, N三点共线，直线OM, ON的斜率分别为心，卜2也止20).(1)证明:kik2= 1 IQ(2)当直线。M过点(1,0)时，求5而+药手忑的最小值.解：证明：由题得，M, N关于原点对称，那么可设。(凡ji), M(x2, J2),那么N(一七, 一力).因为点O, M在椭圆C上，所以Y+W=l, ?+K=l,即比=1一於=1一学，所/2，+32_兑一比1 2 XX2 Xl+x2 X? xl xxi4*一(2)设直线。M的方程为7=抬(工一
2、1),将其代入了+72=1可得，(1+4后)始一84衣+4后一 4=0, J0,所以+*2=普后,因此|ON| =71+必|X1一（一必）I=J1+4M + X21=+；% 由(1)得，肌无2=一；，所以区加|=笔拼设1=产而(1, +8),那么矽=2 1,那么患+ 滞包井=2什拉8,当且仅当Q2,即时取等号.故去+滞标的最 小值为8.2 .椭圆白店=1()的离心率为坐 尸是其右焦点，直线尸履与椭圆交于4 tt D/B 两点,AF+BF=S.(1)求椭圆的标准方程；(2)设。(3,0),假设NAQB为锐角，求实数A的取值范围.解：(1)设入为椭圆的左焦点，连接为8,由椭圆的对称性可知，AF=F
3、iB9所以|4川 + BF = BFi| + BF=2a=89 所以=4,又。=色=，a2=b2+c29 解得 c=2，5, b=2, 所以椭圆的标准方程为卷+?= 1.设点 A（X1, Ji）, B（x2, J2）,那么至7=（X13, J1）,日咨=（X23, J2）,联立, 所以 QA QB =(xi3)(X23)+jij2=93(xi+x2)+xiX2+jij2=93(xi 4-X2)+(1+A:2)xiX2=得（442+1口216 = 0,所以 Xl+x2 = 0, X1X2 =得（442+1口216 = 0,所以 Xl+x2 = 0, X1X2 =一16因为NAQ5为锐角，所以工？
4、应0,9柴苫)0,解得或AV所以实数k的取值范围为(一8, 嚣+8)_93 .抛物线后了2=2川0)的焦点为死 过点厂作圆。：a+2)2+y2=5的两条切线 119 119 且 h -L h*(1)求抛物线E的方程；(2)过点尸作直线/与E交于A, B两点，假设A, B到直线3x+4y+20=0的距离分别为 di, dz,求di+4的最小值.9皓，0)设两条切线解：由题得，(+2)2+了2=弓的圆心为0(2,0),半径r= ? , y2=2(p0)的焦点为Zi, L与圆C的切点分别为M, N,那么|CM|=|CN|=八又 HL,且|M|3s= NFf 四边形 CMKV 为正方形，：.CF= y
5、2r= 4ix*=3,那么+2=3,解得p=2,抛物线的方程为y2=4x.(2)由知F(l,0).易得直线I的斜率不为0,那么可设直线I的方程为x=my+L联立 j2=4x,fjij2=-4,得y24/wy4=0, / 0,由根与系数的关系得Jxi+x2=/njix=my+l9Lyi+j2=4m,+m2+2=4m2+2.设A(xi,山)，B(X29 J2),设线段AB的中点为Q,贝Q(2/+12%).设 点Q到直线3x+4y+20=0的距离为d,可得力+必=2d./d=乃，Q-2+ 1)42.+20| =|6m2+8/n+23|+ 3 t 2 L 狂 p 目-61, 汉日,122Z=Z, 当机
6、=-Q时，d取付最小值不，力+力 的最小值为4. (2022重庆，、中适应性月考)乙，巳分别是椭圆E： +=1(0)的左、右焦点，|FiF2|=4, A/是后上一点，直线MB与“轴垂直，且附入|=3附6|.(1)求椭圆E的方程；(2)设A, B, C, O是椭圆E上的四点，AC与5。相交于点尸2,且ACLL3。，求四边形 ABCO面积的最小值.解：由椭圆的定义得，|MB|+|MF2|=2a,又|MFi|=3|MF2|,那么附/1|=手，眼入尸与 因为直线M2垂直于X轴，所以|MB|2一|MF2|2=|乙/2肉 代入解得标=8.又C=2,那么=4, 故椭圆E的方程为五十%= L o q当直线AC
7、的斜率存在且不为零时，可设直线AC的斜率为无，A(xi, ji), C(x2, ji),那么直线AC的方程为y=k(x-2).联立那么直线AC的方程为y=k(x-2).联立得(1+242.2-8公工+8公-8=0, /0,8 A28 X1X2=i + 2R2,所以 |A C=y(l+A:C+2 又因为所以四边形ABCD的面积5=于4。卜|3。|=再次微子因为 (1+212).2+2)W(1+212)：仔+2) 2= 3”1) 2,所以 SN紫，当且仅当 1+212=/+2, 即k=l时取等号.当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S=1x / a6464义2。=8.综上可得，
8、四边形ABCD面积的最小值为瓦.5.点M是圆a (x-ZA+Vnar2)与x轴负半轴的交点，过点M作圆C的弦 MN,并使弦MN的中点恰好落在y轴上.(1)求点N的轨迹方程；(2)设点N的轨迹为曲线E,延长N。交直线工=-2于点A,延长NC交曲线E于点3, 曲线E在点3处的切线交y轴于点O,求证：ADLBD.解：(1)由题意知，C(2,0), M(2-/;0).设N(x, y),那么弦MN的中点为一；十”,V弦MN的中点恰好落在y轴上，所以 |A C=y(l+A:C+2 又因为所以四边形ABCD的面积5=于4。卜|3。|=再次微子因为 (1+212).2+2)W(1+212)：仔+2) 2= 3
9、”1) 2,所以 SN紫，当且仅当 1+212=/+2, 即k=l时取等号.当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S=1x / a6464义2。=8.综上可得，四边形ABCD面积的最小值为瓦.5.点M是圆a (x-ZA+Vnar2)与x轴负半轴的交点，过点M作圆C的弦 MN,并使弦MN的中点恰好落在y轴上.(1)求点N的轨迹方程；(2)设点N的轨迹为曲线E,延长N。交直线工=-2于点A,延长NC交曲线E于点3, 曲线E在点3处的切线交y轴于点O,求证：ADLBD.解：(1)由题意知，C(2,0), M(2-/;0).设N(x, y),那么弦MN的中点为一；十”,V弦MN的中点
10、恰好落在y轴上， /.=0,即 r=2+x, A (x 2)2 + j2=(x+2)2,整理得，j2=8x.Vr2, Ax0,点N的轨迹方程为j2=8x(x0)(2)证明：由题易知直线NB的斜率不为0,那么可设直线N3的方程为x=7肛+2.y2=8x9联立彳 , 消去科 整理得y28皿y16=0, z/i = 64m2+640. x=my+2,设 N(xi, ji), B(X29 yi)9 xi, x20,那么 yi+,2=8机，jij2= 16,，后n=,二直线ON的方程为y=x.AT 1X1令=-2,贝言，4(-2,设曲线E在点B处的切线方程为yyi=k(xxi).)(xiX2)2=yj (1+A:2)(xi+x2)2 - 4xixz=坐鲁因为所以直线的斜率为一J,用一*代换上式中的左可得|5D|= 1 I lkk k42(1 + 4 2)i16(1+k2)2J2=At(xx2),联立J ,消去 x,整理得 Ay?-8y+832左、2)=0, zf2=32(A:2X2kyi+2)y=8占=0,4x2 +y 3 - 4X2 + 8X2I V2=J J2J2y?4即真2松+2=0,即&24-4)2=0,得k=不,oJ24-4x7，直线 BD 的方程为 JJ2=(XX2),4X=0,那么 J=)2yiJ2_8 JiJ2+32 44 Ji- 4yl -山* kADk=4_16JU2