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1、专题检测（十四）大题专攻锥曲线中的最值、范围、证明问题1.抛物线C y2=2px（p0）,满足以下三个条件中的一个：抛物线。上一动点。到焦点尸的距离比到直线机：1= 1的距离大1；点A（2, 3）到焦点/与到准线/： x=一的距离之和等于7；该抛物线。被直线上xy2=0所截得弦长为16 .请选择其中一 个条件解答以下问题.（。求抛物线C的标准方程；（2）。为坐标原点，直线/与抛物线。交于N两点，直线OM的斜率为抬，直线ON 的斜率为攵2，当M 攵2=4时z求OMN的面积的最小值.注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.解：（1）假设选择，那么抛物线。上一动点。到焦点厂的距离与到直线
2、x=-2的距离相等，故5=2,故=4,所以抛物线的方程为V=8x.假设选择，那么/（29+9+|2+刍=7,解得p=4,故抛物线的方程为产阶（y=x29假设选择，那么由彳可得产一2y4p=0,l/=2px,所以也, 74P2 +16/7=16,解得p=4,故抛物线的方程为y2=8x.设 MN： x=my+n, Mx, yD，Ng /），因为MN与抛物线。相交于A/, N两点，所以将 MN:代入）2=8%消去 了 得：y1myn=0,贝（/ = 6422 + 320 且 丁1+竺=8祇，y ”= -8，由题意可知k =,攵2XA2所以ki 42=?所以=2,32 31 J2 6464X2 “次
3、yi y2 8所以OMN的面积S=：义2义M ）引=M 竺| =N64於+6428,当且仅当777 = 0时等号成立，所以OMN的面积的最小值为8.2. (2021 ,重庆第一中学高三模拟)A, 3分别为椭圆C：右顶点，尸为右焦点，点P为。上的一点，P/恰好垂直平分线段03(0为坐标原点)，PF(1)求椭圆。的方程;(2)过户的直线/交C于N两点，假设点。满足了4=碗+次(Q, M, N三点不共线)，求四边形OMQN面积的取值范围.解：(1)由题意可知尸(c, 0), B(a, 0),TP尸恰好垂直平分线段OS，4=2c,令X=C令X=C丫2 v2，代入涓+方=1得尸牙.h2 3a 2a=2c
4、,a=T6Z2 = /?2 + c2,a=2c,a=T 0,6m92=6m92=一93m2+45设MN的中点为,那么磁=族+员=2小,与。互相平分，四边形OMQN为平行四边形, 5平行四边形OMQN=2somn=2 XX OF X |y 一m| = lyi -y2 =)()i+y2)24jiy236m2(3m2+4) 236m2(3m2+4) 23612/+13m2+437+4 *令/= y而+ 1 2 1+加2 = /2 贝ll S 平行四边形 OMQN=令/= y而+ 1 2 1+加2 = /2 贝ll S 平行四边形 OMQN=nt3於+1.y=3H-：=3.y=3H-：=3/ + 1在
5、1, +8)上单调递增, ,tj1123/+y4, j（0, 3, JOVS平行四边形omqnW3.3d7综上所述，四边形OMQN面积的取值范围为(0, 3.3 .椭圆C：5+|=13人。)的左、右焦点分别为E, F2,左、右顶点分别为A, B, |FiF2| = 2, AB=4.(1)求椭圆。的方程；(2)过&的直线与椭圆。交于M, N两点(均不与A, B重合)，直线与直线x=4交 于G点，证明：A, N, G三点共线.解：（1）由内尸zl=2c=2,即 c= 1,又|A5|=2a=4,即 a=2.九2 0/./?2=72c2=3,故椭圆C的方程为1+；=L(2)证明：可设直线mV的方程为x
6、=/%y+l, M(xi, yi), Ng,竺),x=my-l9x2-得（3/?：2+4）/2 + 67?7y9 = 0 且 / = 144（/+1）0,9v Iyi+y2=3层+4,6”=一右不不而直线加3的方程为2）,令 x=4,得 G|4,令 x=4,得 G|4,那么有就=(及+2,竺)，左=(6,机与又 丁 62 （X2 + 2）X（ 6m 61 37n2+i=04/771my 16”（ 少-1）2y 1 （切2+3）42yly2-6 （yi+竺）my 1my 1：.AN /G,而 ANAAG=A,N, G三点共线./ v24 . (2021 全国统一考试模拟演练)双曲线 C 涓一方=
7、1(。0，Z?0)的左顶点为A,右焦点、为F,动点8在C上.当b时，AF = BF.(1)求。的离心率；(2)假设8在第一象限，证明：ZBFA = 2ZBAF.解：(1)设双曲线的离心率为e，焦距为2c,在/一抉=1中，当8尸，A/时，点B的横坐标为c,b2那么B点的纵坐标为y=,因为 AF| = |8fl，b2所以 a-c=一,即 a1-ac=b1, a2-ac=c2a2,所以 e2 2 = 0,又 e,解得 e=(2)证明：由(1)知 2=c, b2 = 3a29所以双曲线方程可化为如图，设 B(x, y)(x09 y0)9那么以8=南也二言所以tan 2 8 =xa2tan 01 tan2 82 (x+)y(x+“)2一)心2 (x+q) yy2P+2 办+4。2 2a-xy=攵bf= tan N BEA, cx2 (x+)y(x+o) 2-3z22-1)设/BAF=。,贝Itan又因为,所以N8E4 = 2N84F