《2023届高考复习圆锥曲线微专题——椭圆双曲线离心率Word版含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高考复习圆锥曲线微专题——椭圆双曲线离心率Word版含解析.docx（57页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023届高考复习微专题离心率（学生版）圆锥曲线是历年高考必考知识点，而离心率问题是圆锥曲线中的热点问题，主要涉及到离心率的求值 和取值范围，这类问题往往是多数学生的薄弱环节。本文主要总结了椭圆离心率的求解方法、椭圆离心率 取值范围的求解、双曲线离心率的求解方法、双曲线离心率取值范围的求解四个问题，并整理了近几年来 的高考真题和模拟题供大家参考和练习。一、椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：（1）直接求出凡C,利用离心率公式e=C求解.由a与人的关系求离心率，利用变形公式6=41，求解.构造Q, C的齐次式.离心率6的求解中可以不求出，C的具体值，而是得出。与C的关系， 从而
2、求得e.例1 （2022淮北质检）设椭圆E的两焦点分别为尸1, Fz,以尸1为圆心，/2|为半径的圆与 交于P, 0两点.若尸2为直角三角形，则的离心率为（）A./2 1 B.i 1C.零D.也+1跟踪练习1、（2022宿州质检）已知椭圆。的方程为7+方=1（0）,焦距为2c,直线/：尸方-X与椭圆C相交于A, 8两点，若|AB| = 2c,则椭圆。的离心率为（）A近屋C1D1xk* 2d*42、（2021 重庆诊断）已知椭圆C： 16f+4y2=l,则下列结论正确的是（）A.长轴长为彳D.离心率为*3、（2018课标全国II）已知后，出是椭圆。的两个焦点，P是。上的一点，若P尸PA,且NPF
3、2K=60。，则。的离心率为（）B. 2一小C. 2D.也y 27、（2022,山东滨州模拟）已知双曲线C：，一方=1（0,。）的左、右焦点分别为B（5, 0）,22人（5, 0）,则不能使双曲线。的方程为全一看=1的条件是（） 10 yA.双曲线的离心率为/B.双曲线过点（5, ?C.双曲线的渐近线方程为3x4y=0D.双曲线的实轴长为4ISV28、已知离心率为勺的双曲线C 7一方=1（q0, b0）的左、右焦点分别为后，尸2,用是双 曲线C的一条渐近线上的点，且。为坐标原点，若SZOM=16,则双曲线的 实轴长是（）A. 32B. 16C. 84D. 49、（2019全国）已知双曲线C，一
4、5=130,岳0）,过C的左焦点且垂直于轴的直线交C于M, N两点，若以MN为直径的圆经过。的右焦点，则。的离心率为（）A. 72+1B. 2C 3D. 72J v210、（2018新课标III）设人是双曲线C： 了一方=1。0,比0）的左，右焦点，。是坐标原点，过b2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P,若|PB|=,|OP|,则。的离心率为（）A. y5B. 2C. y3D. a/211、（2022广西贵港联考）已知M为双曲线C，一=130,匕0）左支上一点，A,尸分别为 双曲线C的右顶点和左焦点，MA = FA,若9=60。，则双曲线。的离心率为（）A 3B. 4C. 23D. 6/ v21
5、2、（2021 .天津高考）已知双曲线了一g=1（40,入0）的右焦点与抛物线y2=2px（p0）的焦点重 合，抛物线的准线交双曲线于A, 8两点，交双曲线的渐近线于C、。两点，若|CD|=g|A那则双曲线的离心率为（）A.gB.C. 2D. 313、双曲线盘一g=1（“0, Q0）的渐近线方程为尸2x,则该双曲线的离心率为（）A.5C.当D.小X2 V214、已知抛物线2=以的焦点为 准线为/.若/与双曲线，一立=1（40, Q0）的两条渐近线分别交于点A和点8,且|A8|=4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（）A.6 B.V3C.2D.515、已知双曲线C： =l（a0, b0）的
6、左、右焦点分别为B, F2, 一条渐近线为/,过点上且与/平行的直线交双曲线。于点若|MB| = 2|MF2|,则双曲线C的离心率为（）A.p B.a/3A.p B.a/3C.y516、（2019全国卷II , 12）设方为双曲线CD.V6，一方=1（。0,80）的右焦点，。为坐标原点,以0方为直径的圆与圆f+y2=/交于p,。两点.若|PQ| = |OF|,则。的离心率为（）A. y/2B.小C. 2D.小17、（2021山西阳泉期末）双曲线,一奈=l（a0,比0）的左、右焦点分别为乃，F2.过人作斜率为1的直线交y轴于点A,交双曲线右支于点B,若融=超，则该双曲线的离心率是（）A5B. 2
7、C.邓D. 1+29218、（2021 .安徽省安庆一中模拟）已知双曲线一方=1（0,岳0）的右焦点为若过点尸且 倾斜角为60。的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （）A. （1,2）B. （1,2C. （2, 4-oo）D. 2, +8）19、设厂为双曲线C，一=133。）的右焦点，。为坐标原点，以。尸为直径的圆与圆f+V=Q2交于p,。两点.若|PQ = |OF|,则C的离心率为（）A.2B.小C.2D.520、（多选）已知椭圆Ci：，+*=l（ab0）的左、右焦点分别为乃，Fi,离心率为创，椭圆C1的上顶点为加，且加;谑=0,双曲线C2和椭圆G有相同焦点，
8、且双曲线。的离心率 为及，P为曲线。与C2的一个公共点.若NBPF2=全则下列各项正确的是（）R事D. 6162= 2C.D. e-e= 121、如图,Fl,尸2是双曲线C： 2-j2=l（0,。0）的左、右 若直线y=%与双曲线。交于P,。两点，且四边形PQQ尸2为 曲线的离心率为.7222、（2019.新课标I ）已知双曲线C： 了一方=1（。0,比0）的左、 别为尸I,尸2,过B的直线与。的两条渐近线分别交于A, 8两点.若户a=屈，FB F7B=0, 则C的离心率为.23、（2021 河北衡水中学调研）已知相是2与8的等比中项，则圆锥曲线25=1的离心率 是24过双曲线最一齐=1（。0
9、,匕0）的右焦点尸作垂直于x轴的直线，交双曲线于A, B两点, O为坐标原点，若048为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e=.7225、如图，B和B分别是双曲线宏一方=13。，Q0）的两个焦点，A和3是以。为圆心， 以|0乃|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率 为.26、已知双曲线C：，一=l（a0,力0）的右顶点为A,以A为圆心，为半径作圆A,圆A与双曲线。的一条渐近线交于N两点.若NK4N=60。，则。的离心率为.27、已知产为双曲线C：x2屋一京=1（0,力0）的右焦点，A为C的右顶点，B为。上的点,且8b垂直于x轴.若AB的斜率为3,求。的离心率.四、
10、双曲线离心率取值范围的求解方法列出含有。，b, C的齐次不等式，借助于尻=。2 片消去乩然后转化成关于e的不等式 求解. 92例4（2022临川一中模拟）已知双曲线，一，=1（“0,匕0）中，Ai,/A2 是左、右顶点，尸是右焦点,B是虚轴的上端点.若在线段8方上（不.含端点）存在不同的两点2）,使得户区户九=0,则双曲线离心率/ 的取值范围是. 跟踪练习 ?21、（2022合肥市名校联考）已知双曲线”一方=1（。，0）的左、右焦点分别为为，放，点P在双曲线的右支上，且|PB|=4|PB|,则此双曲线的离心率e的最大值为（）A-3B.|C. 2D.2、（2021 河北邯郸模拟）设双曲线C：，一
11、5=130,方0）的焦距为2c（c0）,左、右焦点分 别是尸1,尸2,点尸在C的右支上，且c|PB|=a|尸Fi|,则。的离心率的取值范围是（）A. （1, y/2）B.他,+8）C. （1/+也D. 1+72, +8）3、（2021河北省衡水中学调研）已知点厂是双曲线，一奈=1（。6人。）的右焦点，点是该双曲线的左顶点，过/且垂直于x轴的直线与双曲线交于A, 3两点，若NAE8是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A. （1+ +8）B. （1，1+啦）C. （2, 4-oo）D. （2,1+72）4、（2021天津南开区期末）已知双曲线最一Ql（a0,力0）的左、右焦点分别为尸i,
12、F2,点、M在双曲线的左支上，且|MF2| = 7|MA|,则此双曲线离心率的最大值为（）A- 3B- 1D.C. 2225、（2021 .四川广元、山西孝义模拟）已知双曲线E： %一方=1（0,。0）的左、右焦点分别为Fi, Fi,过尸2作圆0： 一十尸二片的切线，切点为了,延长尸27交双曲线后的左支于点尸，若 |PF2|2|TF2|,则双曲线后的离心率的取值范围是（）A. （2, +8）B.（小,+oo）C.（也，小）D. （2,玳）?26、（2022石家庄模拟）已知点方是双曲线，一%=1（0, b0）的左焦点，点石是该双曲线的右顶点，过方且垂直于x轴的直线与双曲线交于4 8两点，若AAB
13、E是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A.(l, +0)C(l, 1+V2)A.(l, +0)C(l, 1+V2)B.(l, 2)D.(2, 1+M7、已知双曲线,一/=1。0, 60）的左、右焦点为尸1,产2,在双曲线上存在点P满足21AM+ PB|W旧1后|,则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A. （1,2B. 2, +8）C. （1,也D.电,+8）228、已知尸1, B分别是双曲线C，一方=1（40, h。）的左、右焦点，点P是双曲线。上在第一象限内的一点，若sinZPF2Fi = 3sinZPFiF2,则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）A. （1,2）B. （1,3
14、）C. （3,+8）D. （2,3）?29、（2021 长沙模拟）已知b2是双曲线今一方0）的左、右焦点，经过点尸2且与X轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A,且%多则该双曲线离心率的 。4取值范围为.10、（2022.湖北七市（州）联考）已知双曲线，一奈=1（。人0）的左、右焦点分别为K（C, 0）,sin / PFi F） nF2（c, 0）,若双曲线存在一点P使.则该双曲线的离心率的取值范围是.sinZPr2ri cX2 丫2一11、已知双曲线C： 了一台=1（。0,80）的左焦点为忆O为坐标原点，P为双曲线。右支上一点，PFPO = 2a,则双曲线。的离心率的取值范围是.12、在
15、平面直角坐标系xOy中，已知双曲线最一:=1（4力0）的左、右焦点分别为b2, 直线y=息交双曲线。于M, N两点.（1）若M（2,3）,四边形MFiNr2的面积为12,求双曲线C的方程；若牛且四边形MBNB是矩形，求双曲线。的离心率e的取值范围.2023届高考复习微专题一一离心率（解析版）一、椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法:（1）直接求出，c,利用离心率公式e=C求解.（2）由a与b的关系求离心率，利用变形公式5求解.构造mc的齐次式.离心率e的求解中可以不求出c的具体值，而是得出a与c的关系， 从而求得e.例1 （2022淮北质检）设椭圆E的两焦点分别为回，/2,以人
16、为圆心，|八尸2|为半径的圆与交于P,。两点.若尸2为直角三角形，则的离心率为（）A.21 bW, 1C.号D.a/2+ 1解析：不妨设椭圆月的方程为，+=13人0）,如图所示，因为PF1b2为直角三角 形，所以又|PB| = |四歹2| = 2c,所以|PB|=2陋c,所以|P四| + |尸歹2| = 20+2#0=2a,所以椭圆石的离心率6=*=陋一1 .故选A.跟踪练习1、（2022宿州质检）已知椭圆。的方程为方=1（0），焦距为2c,直线/：尸拳x与椭圆C相交于A, B两点，若|A3| = 2c,则椭圆。的离心率为（）B4B4c4D4解析：选A.设直线与椭圆在第一象限的交点为A（x,
17、y）,则直线由|AB| = 2c,可 知|Q4|=-/?T=c,即X? + （x） 2=c,解得y=gc,即 A（2，c, gc）,把点、门A的坐标代入椭圆方程，得8418e2+9=0,即（4/3）.（2/3）=0,所以&=方-. 乙2、（2021重庆诊断）已知椭圆C： 16+4/=1,则下列结论正确的是（D ）A.长轴长为!B.焦距为平L 1IC.短轴长为aD.离心率为芋 3、（2018课标全国II）已知尸2是椭圆C的两个焦点，P是。上的一点，若PFi_LPF2,且ZPF2Fi=60,则。的离心率为（DB. 2一小A. 1一里D.小一 1解析：设|析尸2|=X,贝力析耳1|=小工,=2羽于是
18、离心率ec 2c 2%一2一（1+佝小一1.FiF2=2x9 故 2=|尸尸i| + |P刑=(1+5)%,2。=尸1丹|4、（2021 .河北省衡水中学调研）直线/经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到/的距B.B.离为其短轴长的小则该椭圆的离心率为（B ）A- 3C.C.D.解析：不妨设直线/：3叁=1，即.+cy历=0号椭圆中心到I的距离J.：）竽今e=吃=5，故选B. v,r A5、（2017全国卷川）已知椭圆C： +=1（。乂0）的左、右顶点分别为4, A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线区一少+2=0相切，则。的离心率为（A ）A.坐B.当D.解析：由题意知以4A2为直径的圆
19、的圆心为（0,0）,半径为Q.又直线bx-ay-2ab0与圆相切,圆心到直线的距离。=圆心到直线的距离。=labyjc + b2.b=Jc yjcb2a ac yjcb2a a1 fd,?)2 46 达、上 A 1= 3 故选A-?26、若椭圆C，+方=1（。20）的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为（A.；解析：依题意可知，c=b, 又 a=yjb2+c2=y2c,椭圆的离心率6=?=坐7、（2021 .云南昆明模拟）ABC为等腰三角形，且NC=90。，则以A, C为焦点且过点3的椭 圆的离心率为（D ）A.坐C.小一1D.也一1解析：由题意ABC为等腰三角形，且NC=90。,可知：A3C是等
20、腰直角三角形,且：3c=2c, AC=2c, AB2-2c 9 由椭圆的定义可知：2gc+2c=2,则椭圆的离心率:则椭圆的离心率:6=号工=啦 1.故选D.8、已知椭圆C：:+=1（。60）的右焦点为R过点/作圆/+产尻的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为（）A1 b立正*/Y.2JLx 23-L 3解析：如图，由题意可得，pb=c,则2 = /, 即 2（a2c1）=c29 则 2q2=3cV2 日口 c 加 2 -勺，勺.9、（2021 .湖北省宜昌市调研）过点P（3）且倾斜角为22的直线与椭圆5+方=1 相交于LxA, 8两点，若成=而，则该椭圆的离心率为（C ）A. 1B.
21、半C.当D.当解析：由题意可知尸为的中点，且履5= 1,22设 A(xi, yi), 8(x2, 2),则今十方=1,.z yi”， AB XI X2 C(y +,2)且斜率为平的直线上，后仍为等腰三角形,/（XI +工2）,A是。的左顶点，点P在过AZFiF2P=120,则。的离心率为（）A.|一7C.tD4解析:如图，作轴于点A由题意可设|尸1刑=|尸刑=2,则c=l, 由 NBBP=120。，可得|EB|=小,BF2 = 1,故 IAB+1 + 1+2,tanZB4B=PB_ V3 _3 ABa+2 6a 3 a 3p I解得。=4,所以6=吃=工.C4* i-11、已知R,产2是椭圆C
22、：3+/=130）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为为的直线上，PF1F2为等腰三角形，/FiF2P=120。,则。的离心率为（）D.小一14、（2021 .河北省衡水中学调研）直线/经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到/的距 离为其短轴长的士则该椭圆的离心率为（）A. |B. 3c 2-3C- 3D* 45、（2017全国卷III）已知椭圆C：5、（2017全国卷III）已知椭圆C：1（泌0）的左、右顶点分别为4, A2,且以线段4A2为直径的圆与直线桁一冲+2。=0相切，则。的离心率为（）A.坐B.当A.坐B.当A.|B坐C坐D乎7、（2021云南昆明模拟）ZkABC为
23、等腰三角形，且NC=90。，则以A, C为焦点且过点8的椭 圆的离心率为（）人哗B.C.小TD. V2-18、已知椭圆C：，+=1（。匕0）的右焦点为尸，过点尸作圆一+产二店的切线，若两条切 线互相垂直，则椭圆。的离心率为（）A1 22口 逅jo 23-L- 33 it工29、（2021 ,湖北省宜昌市调研）过点P（3,l）且倾斜角为手的直线与椭圆，方=1（。泌0）相交于A, 3两点，若成=而，则该椭圆的离心率为（）A. 1B.当C.当D, 4解析:如图，作轴于点反由题意可设尸1尸2| =b2| =1,由 NEP=120。，可得回=小，BFi = 1, ikAB =。+2, tanN/45=L
24、=,解得。=4,所以 e= |An| 。十 2 o12、设椭圆E的两焦点分别为B,/2,以B为圆心，阴b2|为半径的圆与E交于P, Q两点.若A . y2 1A . y2 1B.下一 2PRB为直角三角形，则石的离心率为（）不，选A.D. 2+1解析：不妨设椭圆石的方程为5+方=1（。人0）,如图所 P尸1尸2为直角三角形，尸尸1_L尸1/2,又IP/1| = |尸1尸2| = 2c,，|P氏2| |PFi| + PFi = 2c+2吸c=2，J椭圆E的离心率e=色=也一1 .故13、（2022青岛质检）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是 离心率相同的椭圆.某校体育馆
25、的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图所示，若由外层 椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC BD,且两切线斜率之积等于 一右则椭圆的离心率为（）35A-4B-8C亚D逅j4口4?2解析：设内层椭圆方程为，+方=1（。0）, .内外椭圆离心率相同，外层椭圆可设成诵= 1（/ 1），设切线4的方程为y=k（x+ma）9与了+方=1联立得：（+“*2Z72 1吩+ 2/%3后工+加24好22 = 0,由/ = 0,贝I好=与*1，同理可得好=三,（优21）, .好.我=飞a azx 1ctci因此，-於坐.故选D.+方=1（。0）与双曲线C2：U M Cl l O 414、（2022
26、晋中新一双语学校模拟）设R, F2同时为椭圆Ci：Y2 V2益一苏=1（m。，力。）的左、右焦点，设椭圆。与双曲线C2在第一象限内交于点例，椭圆 。与双曲线。2的离心率分别为口，及，。为坐标原点，若固/2|=2|0|,则+=（）A. 2gB，V2 C.1 D. 2乙解析：选D.如图，iMF=m9 MF2 = n9焦距为2g由 |y / 椭圆定义可得根+=2d（） x由双曲线定义可得m几=2ai,解得m=a-a, n=aa.当/2| = 2|。|时，则NBMF2=90。，所以病+2=4于，即a2+ai=2c2,由离心率的公式可得+5=2.15、（多选）已知尸是椭圆E： +5= 1（机）上任意一点
27、，M, N是椭圆上关于坐标原点对称的两点,且直线PM, PN的斜率分别为女1,近/曲W0）,若肉点网的最小值为1,则下列结 论正确的是（）A.椭圆石的方程为，+y2=lB.B.椭圆石的离心率为:C.曲线y=log3X；经过E的一个焦点D.直线2%2=0与有两个公共点解析：设 P(xo, yo), Af(xi, ji), xoWixi, yoWyi,则 xi，一P),所以讨=机一等,区=相一竽，人必与二三=着=一于是因| +陶舸两=2巾后妇=2勺| 一常=而，依题意，得由i= 1,解得机=1,故石的方程为+y2=l, A 正确；离心率为哗,B错误；焦点坐标为（土小，0）,曲线y=log3X-J经
28、过焦点（小，0）, C正确；又直线2xy2=0过点（1,0）,且点（1,0）在石内，故直线2xy2 = 0与有两个公 共点，D正确.故选A、C、D.16、已知椭圆C：，+=13力0）的左、右顶点分别为4, A2,且以线段4A2为直径的圆与直线bx-ay2ab=0相切，则C的离心率为坐解析：以线段44为直径的圆是/+丁2 =层，直线法 + 24。=。与圆相切，所以圆心。2 7（0, 0）到直线的距离=，整理为。2 = 3/?2,即 2 = 3(q2_c2)=22 = 3c2,即三=彳,c y6 Q a 32217、直线5x+4y1=0交椭圆C：力+，=1（。人0）于加，N两点，设中点为P,直线0
29、P的斜率等于* O为坐标原点，则椭圆。的离心率为解析:设 M(, yi), Ng y*, MN 中点为 P(xo, yo),则两式相减得因为 kMN= a，kop = 4,所一次）+/（衣一询=0,即言与=一需谓）即如N=一声击,右焦点为B，尸2,过尸2作X轴的垂线与C相交于A,8两点，尸由与y轴相交于点。，若AZ）_LBb则椭圆C的离心率等于.解析：由题意知为（一C, 0）, F2（c, 0）,其中C=d2 廿,因为过尸2且与X轴垂直的直 线为=c,由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A（c,勺，B（c,因为A3平行于y轴，且尸10| = |0放|,所以尸= 即。为线段为3的中点，所以2於 刍
30、-0点。的坐标为（0,一聂），又AQJ18,所以-1,即8科乂7一1=一L c0 c （c）1,整理得 = 2qc,所以g（2 。2）= 2仁又 e= OVeVl,所以，/ + 2e4=0,解 得6=半（6=5舍去）.?219、（2021 浙江高考）已知椭圆R+方=l（aQ0）,焦点乃（一c,0）, F2（c,0）（c0）.若过R的解析：设过Q的直线与圆的切点为圆心A匕。，0,则|AM|=c, |AB|=5。，所以IVI邛。，所以该直线的斜率k=AMc 25IMFirVI _ 52 .因为PFiLx轴，所以|PF2|=t，又尸i尸2|= 2c,所以k=b22线a久2 - C5 2c lac 2
31、e直线和圆（x5+y2 = c2相切，与椭圆的第一象限交于点P,且尸场_L%轴，则该直线的斜率 是, 椭圆的离心率是.-解析：从P作于M点，在平面POM内作球截面圆的切线PN,交平面A181CO1于N点，则在平面POM内形成的图形如图所由题意得 PM=3, OQ=MF=MQ=i,故 PQ=2,20、（2022安徽省蚌埠市二模）通过研究发现：点光源P斜照射球，在底面上形成的投影是椭 圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点尸1（如图所示），如图是底面边长为2、高为3的正四棱 柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源产位于AQ的中点处时， 则在平面AiBiCiDi上的投影形成的椭圆的离
32、心率是.圆的左、右4则 MN= PM-tan ZMPN= 3 X -=4,根据题目条件知，B是椭圆焦点，MV是长轴，即2=4, MF=ac=,则=2, c= 1,离心率6=不7221、如图所示，已知椭圆了+%=1（人0）, Fi,正2分别为椭 焦点，A为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点A(1)若NQAB=90。，求椭圆的离心率;解析：(iy：AFi = AF2=a9且 NBAB=90。，|FiF2| = 2c,：.e=%=*2222、已知八 人是椭圆C，+方=1(。)的两个焦点，P为。上的点，。为坐标原点.若人为等边三角形，求。的离心率；(2)如果存在点P,使得PFi_LPF2,且BPF2的面
33、积等于16,求匕的值和。的取值范围.解：连接P/k由P0放为等边三角形可知在中，ZF1PF2=9O, PFi = c,|PFi|=V3c,于是 2q = |PB| + |PB| = (#+1)c,故 C 的离心率为 e=小一1.由题意可知，满足条件的点P(x, y)存在当且仅当。必2c=16,即 4x1 = 16,.A4由及2 = + 2得,2=.又由知y2=号，故=4.由及/fZ + c?得/二色/一户)，所以 ,从而 /=b2+c222b2=32,故心4也.当b=4,时，存在满足条件的点尸.所以Z?=4,。的取值范围为46，+).23、(2022青岛调研)已知椭圆： 5+/=1(0),若椭
34、圆上一点尸与其中心及长轴一个端 点构成等腰直角三角形.求椭圆E的离心率；(2)如图，若直线/与椭圆相交于A, B,且A5是圆(x1)2+。+1)2 = 5的一条直径，求椭圆的标准方程.解：(1)由题意不妨设椭圆上的点尸的坐标为g, 5,代入椭圆方程可得(十条=1,即层 = 3,a2 = 3b1=3(a2c2), /. 2a2=3c2, ；.e=哗.(2)由(1)得椭圆E的方程为系+奈=1,易知直线/的斜率存在，设其方程为 1) 1, A（xi, yi）, 8（x2, yi）.yk （ X 1 ）1 ,+3,2 3从oG3+Dx26Z/+l）x+3（女+1）23炉=0. 6k （左+1） 3斤+
35、3 （女+1） 23.2.2= 瓦中1169/又 Xl+X2 = 2, 攵=不 X1X2=49则|A8| =7 1 +冈（Xl+x2）2 4xiX2 =%/-4中 =2小，22椭圆E的标准方程为缶+言=1.T二、椭圆离心率取值范围的求解方法解题的关键是借助图形建立关于。，。，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式， 常用方法如下：(1)几何法：利用椭圆的几何性质，如IRWa，|y|W40el,建立不等关系，或者根据几 何图形的临界情况建立不等关系；（2）直接法：构造m c的齐次不等式，根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有m c的不等关系式。Fi（ c, 0）, F2（c, 0）,九2
36、例2 （2022苏北四市调研）椭圆G： 1fM是椭圆上一点，且满足屈以屈1=0.则椭圆离心率e的取值范围为（）A（。，fl B.（0, f）C.停 1）D.惇,1：解析：设点”的坐标为（xo, yo）9F1（-C9 0）,尸2（c, 0）, （xo+cXxoc）+y8=0,即 x8+y8=c2.又知点M在椭圆G上，:+= 1,（c2 / ）由联立结合/ = /解得看=三，由椭圆的性质可得即q2 （/ 一）c2（廿一）q2 （/ 一）c2（廿一）20,c2Z?2, 即6所以，?，又知人2 = 2一。2/.C26Z2 c2,即 2/三,解得又知oe。）的 左、右焦点，若在直线x=?上存在点P,使线
37、段的中垂线过点则椭圆离心率的取值 范围是（）A（0,阴B（0,阴C惇1）D惇1：解析：设膜，根），*（ C，0），F2（c, 0）,由线段P尸1的中垂线过点尸2得IP尸2| = |尸1尸2|,即 Y停一,+/2 = 2c,得小2 = 4。2 一小一c） 2 + 2tZ2 + 3c20,即 3c2c2。40,得 3/+2e21 20,解得又 0Ve）的下顶点，N在椭圆上,（JT JI ）若四边形0PMN为平行四边形，。为直线ON的倾斜角，若了，则椭圆。的离心率的取值范围为（）解析：因为OPMV是平行四边形，所以 MN/ OP 且 MN=OP,故=枭 代入椭圆方程可得以=华,所以koN=所以koN
38、=小a3b= tan。.又(71所以坐聿1,所以a小b, a2力0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足|P8|W24则C的离心率的取值范围是（C ）|P8|W24则C的离心率的取值范围是（C ）解析:设 P(xo, yo),由 B(o, b),因为”+方=1，a2=b2+c29 所以|P3|2=x8+(yoi)2 =(1&)+(yo力)2=直冲+5)+.+4+尻，因为bWyoWb,当一力，即反c2、历h3时，IP剧缸x = 4，即|PB|max = 2。，符合题意，由加三。?可得/三2洛即0。0）的右焦点为凡短轴的一个端点为M,直线/： 3%4y=04交椭圆于A, 8两点.若|AF| + |8
39、F|=4,点M到直线/的距离不小于不 则椭圆的离心率的取值范围是（c惇 1)B.D.解析：设左焦点为R）,连接FoA, F（）B,则四边形AFBFo为平行四边形,二4h 4AF-BF=49 ：. |AF| + |AFo|=4, ：.a=2.设 M(0, b),则彳与不：Ab交。于A, 3两点,，故选A.直线/过。的左焦点和上顶点.若以A3为直径的圆与/存在公共点，则。的离心率的取值范围是（解析：由题设知，直线/： ;+/=1,即bxcy+Z2c=0,以A3为直径的圆的圆心为（c,0）,b2b1根据题意，将x=cJ5W竿.又061,所以代入椭圆。的方程，得=，即圆的半径一=.又圆与直线/有公共点
40、，所以7辞不忘?，化简得2cW。，平方整理得“2、5c2,所以e=WV50e3e2A. e e3e2C. 16263B. 6263臼D. 626163解析：因为椭圆的离心率e=1 一2 = a,所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.因为京七1. 44, Tsl. y4-J24,当”43,则导 /y所以61 6362.所以61 6362.故选A.7、过椭圆C A+AkQQO）的右焦点作X轴的垂线，交。于A，B两点，直线/过。的左焦点和上顶点,若以为直径的圆与/存在公共点，则C的离心率的取值范围是（）（C. 0,A（O,制B.惇,1,解析：由题设知，直线/：二；+/=1,即。xcy+Z?
41、c=O,以A3为直径的圆的圆心为（c,h2b10）,根据题意，将x=c代入椭圆C的方程，得=，即圆的半径一=5. （zvCzV/72又圆与直线,有公共点,所以布化简得平方整理得5廿，所以e =民害.又0e0）的上顶点，若。上的任意一点尸都满足|P5|W2b,则C的离心率的取值范围是（）A 惇 1）B.（, 1）（C. 0,工210、已知人是椭圆C： -2、右焦点，A是。的左顶点，点P在过A且斜率为为-的直线上，PF1F2为等腰三角形，ZFiF2P=120,则。的离心率为（）A.|11、已知尸1,A是C的左顶点，点尸在过A且斜率为%的直线上，PFiB为等腰三角形，ZF1F2P=12O,则。的离心
42、率为（）2-3 A2-3 A1 - 2B.1- 4D.12、设椭圆石的两焦点分别为尸1, F2,以尸1为圆心，尸声2|为半径的圆与父于P, Q两点.若 P*/2为直角三角形，则E的离心率为（）A.也-1B.小? 1C.孚D.g+113、（2022.青岛质检）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是 离心率相同的椭圆.某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图所示，若由外层 椭圆长轴一端点A和短轴一端点5分别向内层椭圆引切线AC, BD,且两切线斜率之积等于 -1则椭圆的离心率为（）OD.D.亚 414、（2022晋中新一双语学校模拟）设为,Fi同时为椭圆Ci： 5+=1（。）与双曲线C2：?2也一百=1（0。，。）的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点加，椭圆解析：选C依题意，B(0, b),设椭圆上一点P(%o, yo),则|yo|Wb,郎+法=1,可得8=/一方3,则|尸为2=需+。08)2=普+加-2byo+Z?2=一宗用一2勿()+/+024。2.因为当yo= 一 Z?3、c 、历6时，|PB|2=4Z?2,所以一b,得2c2Wq2,所以离心率e=1W,，故选C.9、已知椭圆R 5+=1(。力: