《2023届高考复习解析几何微专题——圆锥曲线中的定值定点问题Word版含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高考复习解析几何微专题——圆锥曲线中的定值定点问题Word版含解析.docx（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023届高考复习解析几何微专题维曲线中的定值、定点问题（学生版）一、圆锥曲线中求解定值问题常用的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.%2的右焦点，过”定值.例1 （2022盐城市高三一模）设尸为椭圆C： y+y2=l点（2, 0）的直线与椭圆。交于A, 5两点.（1）若点B为椭圆。的上顶点，求直线4尸的方程;（2）设直线AF 8。的斜率分别为而,Z2&W0）,求证:例2 （2022洛阳统考）设抛物线C 丁2=2内（.0）的焦点为-点p（*加）（加0）是抛物线 。上一点，且|PF| = 5.（1）求抛物线C的方程；（2）
2、若A, 8为抛物线C上异于P的两点，且B4_LP8.记点A, 8到直线y=4的距离分别为Q，b,求证：力为定值.(2)证明：由P(4,m)(加0)是抛物线。上一点，得根=4,易知直线PA斜率存在且不为0,设直线PA的方程为x4 = Q4)(/W0), A(xi, yi), 3(必fx4 = 4),由彳?)消去x得产一49+16Q1) = 0, / = 162)20,所以/W2,所以l/=4x,yi=414,所以 a=|yi (一4)| = |4八.1144因为 PALPB,所以用一7代替/(武0,号2, 一：W2),得 了2=74=伙一(一4)|= T ，1/1/I右4、所以。b= 4rX-
3、=16,即次？为定值.跟踪练习1、(2021安徽安庆市一模)已知椭圆C +=1(6/70),过椭圆左焦点厂的直线4小y十仍=0与椭圆。在第一象限交于点M,三角形的面积为勺.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点M作直线/垂直于轴，直线M4、MB交椭圆分别于A、B两点，且两直线关于直线/对称，求证：直线AB的斜率为定值.解：(1)直线X4、/丁+0)的离心率为乎，且过点4(2,1).(1)求。的方程；(2)点N在。上，且AMJ_AN, AD1MN,。为垂足.证明：存在定点。，使得|。| 为定值.412b解：(1)由题意得了+亭=1 , 2=5，解得q2 = 6, Z?2 = 3. 0)交于a, b
4、两点,且 OAOB=-3.(1)求抛物线。的方程；(2)过点M作直线/ _U交抛物线。于P,。两点，记OAB, OPQ的面积分别为Si,S2,证明：,+,为定值.解：(1)设直线/： x=my+,联立方程联立方程y2 = 2x,消去 x 得，y22pmy2P=0, 设 A(xi, yi), 3(x2,，则 yi+y2=2n, yyi=2p,又因为因心 OB =xiX2+w= my +1)( 2y2+ l)+w=(1 + m2) i2+m(y i +券)+1=(1 + m2)( 2p) + 2pm2 +1 = 2p+1 = 3.解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)证明：由知M(l,
5、0)是抛物线。的焦点，所 以 |A8|=xi +x2+p=2yi + 加2+2+p=4 加2+4.原点到直线I的距离2所以 Si =3义石土3X4(/7?+1)= 2/1+m2.因为直线/过点(1,0)且，JL/,1+加m277121所以S2=2 所以 S,+s& 4( 1+m2) 4( 1+m2) 444、已知抛物线C 丁 = 2度经过点尸(1, 2).过点。(0, 1)的直线/与抛物线。有两个不同的 交点A, B,且直线必交y轴于“，直线PB交y轴于N.(1)求直线/的斜率的取值范围；(2)设。为原点，QM).QO,西=/玄)，求证：:为定值.解：因为抛物线y2 = 2px经过点(1, 2
6、),所以2P=4,即p=2.故抛物线C的方程为y2=4x.由题意知，直线/的斜率存在且不为0.设直线/的方程为 =入+1(左70). y2=4x,由 _得%2%2+(2%一4)x+l=0.依题意 d = (2k-4)2-4Xk2X 10,解得女0)经过点p(i, 2).过点。(0,1)的直线/与抛物线。有两个不同的交点A, B,且直线外交y轴于直线P8交y轴于N.(1)求直线/的斜率的取值范围；(2)设。为原点，QM=XQO, QN=iiQO,求证：q+时为定值.解：因为抛物线丁=2川过点(1,2),所以2P=4,即p=2.故抛物线C的方程为产=4%，由题意知，直线/的斜率存在且不为0.设直线
7、/的方程为 =丘+1/力0).f/=4x,由 1 得好/ + (2左一4)x+1 =0.y=kx+l依题意 / = (2攵一4)24XSX 10,解得左0或0左1.又雨，与y轴相交，故直线/不过点(1, -2).从而k乎3.所以直线/斜率的取值范围是(一8, -3)U(-3,0)U(0,1).(2)设 A(xi, yi), 5(x2, yi)9由（1）知X +12由（1）知X +122k4_ 1 X1X2=2.yi - 2直线出的方程为y2=(x1).令x=0,得点Af的纵坐标为+ 2.+ 2.yi + 2 ,-kx-1*r+2= _同理得点N的纵坐标为坐差手同理得点N的纵坐标为坐差手+2.由
8、 QA/=%QO, QN=。得 2=1 yM, =1 yN.2 +214所以冷=士+1 XI 1. X2 112X1X2 （XI+X2）1 心 k2=+=.=.1yN （kl）xi （左一1）x2 k1 xxi k1 X 1?2.所以为定值.二、圆锥曲线中求解定点问题常用的方法(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明.(2) “一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标.(3)求证直线过定点(xo,泗)，常利用直线的点斜式方程yyo=A(xxo)来证明.例3 (2022河南名校模拟)已知双曲线C：，一奈=
9、130,。0)的右焦点R 半焦距c=2,4 1点方到右准线元=7的距离为5,过点方作双曲线。的两条互相垂直的弦Ab CD,设AbC。的中点分别为M, N.求双曲线C的标准方程；(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标.21I解：(1)由题设可得c=5, c=2,所以/ = 3,及=，一届=1, C ，所以双曲线C的标准方程为所以双曲线C的标准方程为X2 2 了一产1.(2)由(1)知双曲线的右焦点为b(2, 0).设过点尸的弦48所在的直线方程为1=+2,A(, yi), 8(x2, *),所以M以+2,审).2=1,由 3消去x得(标-3)y?+4份+1 =0,x=ky+2因为弦A3与
10、双曲线。有两个交点，所以於一3W0,所以 y+y2=(,所以当攵=0时，点即方点，此时，直线MN为x轴.当上力0时，将上式M点坐标中的人换成一%表3 W0),可得N(3_ ， 当直线MN不垂直x轴时，直线MN的斜率公外=当直线MN不垂直x轴时，直线MN的斜率公外=2k 2k3k2 3k216 _ 6 於一3一心 3k2 12k3 （於一1）直线MN的方程为y普=京宁(一卷),化简得万母3)，所以直线过定点(3, 0).当直线MV垂直于x轴时，不失=47，此时攵=1,直线/N也过定点(3, 0).综上所述，直线N过定点(3, 0).跟踪练习1、过抛物线C： y2=4x的焦点方且斜率为左的直线/交
11、抛物线。于A, 8两点.(1)若|AB| = 8,求直线/的方程；(2)若4关于x轴的对称点为Q,求证：直线3。过定点，并求出该点的坐标. 解：由产=4x知焦点尸的坐标为(1, 0),则直线/的方程为y=Z(x1), 代入抛物线方程)2 = 4x,得 2%2 (22+4)x+Z:2 = 0,由题意知k中0,且/= L(2F+4)24炉.3=16(3+1)。.设 A(xi, yi), 8(X2, 丁2),X1X2= 1.2人2+4由抛物线的弦长公式知|A3|=xi+x2+2 = 8,则一足=6,即42=,解得k=l所以直线I的方程为y=(x1).直线3。的斜率版出v+yi 44 4(%xi),(
12、2)由(1)及抛物线的对称性知，D点的坐标为(xi, yi),所以直线BD的方程为y+yi =即(y 2-y i )y+y 2y i - y?=4x-4x i.因为田= 4X1,次= 4X2, X1X2=1,所 以(丁1)2= 16x1x2= 16,即 yiy2=4(y, 丁2 异号).所以直线BD的方程为4(x+l) + (yi券=0,fx+l=0,fx= 1,对任意yi, y2&R,有彳 八 解得彳 八 lj=0,y=0,即直线恒过定点(一1, 0).2、已知椭圆C，+奈=1的右焦点为(1，0)，且经过点4。，D-(1)求椭圆。的方程；(2)设。为原点，直线/： y=依+Wl)与椭圆。交于
13、两个不同点P, Q,直线AP与工 轴交于点，直线AQ与x轴交于点N.若|OM,QN| = 2,求证：直线/经过定点.解：由题意得，Z?2=l, c=l, 所以 a2=b2+c2 = 2.所以椭圆。的方程为9+丁=1.(2)证明:设 P(xi, yi), 0(x2, 2),则直线AP的方程为厂刊+1.XI令尸o,得点M的横坐标” 一a.又 y=kx + t,从而|OM| = |xm| =同理，|0N| =同理，|0N| =X2kx2rt1 y=kx t,%2得(1+22)/+4人比+22 = 0,了+户1,4 kt22则+x2=_+2d，X1X2=1+2F所以QM|ON| =xiX2kxrt1k
14、x2-t1XX2lXX2-k (Z1 ) (Xl+x2)+ (t-1 ) 22r22 l+2k22r22 ,_ 4kt ) . ,7+2k2+k(I)彳77五I) 2又|0MQN| = 2,所以2解得，=0,所以直线/经过定点(0, 0).3、已知抛物线。的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(l, 2)为抛物线。上一点.(1)求抛物线。的方程;(2)若点8(1, 2)在抛物线。上，过点8作抛物线。的两条弦8P与BQ,如跖pZ%= 一2,求证：直线PQ过定点.解：(1)若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线方程为丁2=以，代入点A(l, 2),可得。=4, 所以抛物线方程为y2=4x.若抛物线的焦点在
15、轴上，设抛物线方程为x2=my,代入点A(l,2),可得根=3，所以抛物线方程为/=5.综上所述，抛物线。的方程是y2=4x或炉=5.(2)证明：因为点8(1, 2)在抛物线。上，所以由(1)可得抛物线。的方程是y2=4x. 易知直线3P, 3。的斜率均存在，设直线3P的方程为y+2 =4x1),将直线8P的方程代入产=4尤，消去y,得冽2(2Z?+4攵+4)x+ (攵+2)2=0.设 P(xi, yi),则 xi”+2) 2上 (1+2) 2 2攵+4 所以2用一,替换点P坐标中的k,可得。(上一1)2, 2 2左)，从而直线PQ的斜率为 K2Z+4_k 2+2k2公+北2k”+2) 2/、
16、攵4+23+必+4-一3+2攵+2-1?(I)故直线PQ的方程是2k厂 2+2 2千1)4.2kx传厂2r_2i+6k标一2左一2令x=3,解得y=2,所以直线PQ恒过定点(3, 2).4、(2021 广东广州三校联考)如图，已知椭圆C： -z+y2 =1的上顶点为A,右焦点为 直 C4*线A/7与圆M： x2+y26x2y+7 = 0相切，其中(1)求椭圆的方程；(2)不过点A的动直线/与椭圆C相交于P,。两点，且AP_LAQ,证明：动直线/过定点, 并且求出该定点坐标.解：(1)由题可知，A(0,l), F(c,0),跟踪练习1、(2021.安徽安庆市一模)已知椭圆C： $+=1(。泌0)
17、,过椭圆左焦点厂的直线4仍丁+5=0与椭圆。在第一象限交于点M,三角形的面积为(1)求椭圆。的标准方程；(2)过点M作直线/垂直于1轴，直线MA、MB交椭圆分别于A、8两点，且两直线关于 直线/对称，求证：直线的斜率为定值.2、(2020新高考I卷)已知椭圆C：且过点4(2,1).(1)求。的方程；(2)点N在。上，且AMJ_AN, ADLMN,。为垂足.证明：存在定点。使得|。| 为定值.X则直线AF的方程为二+y=l,即x+cyc=0,因为直线A尸与圆M：X2+26%-2y+7 = 0相切, 该圆的圆心为M（3,l）, r=小,3则= /， c2 = 2, .。2 = 3,故椭圆的标准方程
18、为小+尸=1.依题得直线/的斜率必存在，设/： y=kx+m,设点 P（xi, yi）, 2（x2,/）,y=kx-m 联立y=kx-m 联立0, 即 m20, 即 m200）的离心率= l（Q00）的离心率当根=3时，直线/： y=kx恒过点（0, 0，故直线恒过定点（0,5、（2021 江西上饶模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C，且短轴长为2.明:求椭圆C的标准方程;若直线/与椭圆。交于M, N两点，P(O,1),直线PM与直线PN的斜率之积为卷 证 直线/过定点并求出该定点坐标.a 2解：由2b=2a1 = b1-rc17:啦得0, ._ 4mk_ 2ml - 2.Xl+x2=-
19、2+p =2F+1 yi-l 券-1 yy8+”)+1 KPM-KPN一 一 一 一X X2XX2+ Z(m- 1)(X1 +x2)+ (2 I)21XX26代入 Xl+X2= 4mk2m2 223+1，X1X2=22+1整理得:m2 3m+2 = 0,解得：加=2或根=1(舍去)，即直线过定点(0,2).6、已知椭圆C捻+=l(aQ0)的左、右焦点分别为b2,点A, 3分别为C的右顶点和上顶点，若43人的面积是AM2的面积的3倍，且瓦?百方=3.(1)求C的标准方程；(2)若过点修，0)且斜率不为。的直线与C交于M, N两点，点尸在直线=6上，且NP与轴平行，求证：直线MP恒过定点.解：设椭
20、圆。的焦距为2c,则为(一c,0),解(c,0),二点A, 8分别为C的右顶点和上顶点，.A(q,O), B(0, b),则瓦X = (q+g。)，了西= (c,b）.b）.1.又ABB的面积是A5F2的面积的3倍，且瓦t下蕾=3, + c = 3（一c）,! LY2 V2/ I、C 解得。=2, C=l,则 I02=5,.二。的标准方程为C（Q 十 c） = 3,4 D2(2)证明：设直线MN的方程为A/(xi, yi), Ng 竺)，则P(6,).J,0怛成立, x=my+,由根与系数的关系得，y+yi =由根与系数的关系得，y+yi =4m32T茄彳 2 = W+4 -W2 = 3。1+
21、刈.又直线MP的方程为V V2厂丁2=1_6（元6）, 令 y=0, 得 x-6=四二8.%尸.+|,y2y（ yrny 一亍 6=V2V16 myyiy12y2y8h 一予则10 x一丁,故直线恒过定点(，0).7、ABC中，已知伏一也，0), C巫 0), ADJ_8c交8C于点。，”为A。中点，满足点H的轨迹为曲线C(1)求曲线。的方程;(2)过点，0, g)作直线/交曲线。于P,。两点，求证：以P。为直径的圆恒过定点.解：设 H(x, y),则 A2y), BH=(x+yf29 y), Zt = (%-2, 2y),因为所以了方？=。，即(x+6)(x也) + 2y2 = 0,x2整理
22、得f+2y2 = 2,即与+y2=l. 乙因为在ABC中，三顶点不可能共线，所以yWO,X2故曲线。的方程为i+y2=iuwo).(2)证明：若直线/斜率不存在，可得圆：Y+y2=l,若直线/斜率为o,可得圆：f+卜一)若直线/斜率为o,可得圆：f+卜一)2=9两个圆的公共点为N(0, -1),两个圆的公共点为N(0, -1),若直线/斜率存在且不为。时，设其方程为(女W0),由若直线/斜率存在且不为。时，设其方程为(女W0),由产乙+g,2可得(2R五十尸1,416+1)/+1近一互=0,/0 恒成立，设点 P(%i, yi),。(12, J2),由根与系数的关系得由根与系数的关系得Xl+X
23、2 =XX2 =_ 4k 6R+3,16183+9NP - NQ=(x, yi + l)(x2, y2+l)=xix2+(yi + l)(y2+l) =X1X2 + kx +YaX2 +g)416=(必 + 1)X1X2 +qZ(xi +x2)+4-16(+1) 34 16 183+9 + 6好+3 +1 A=0,161c 16 16k1+-3(18 左2+9) y183 + 9即NPLN。，所以以P。为直径的圆经过定点M0，-1).综上所述，以尸。为直径的圆恒过定点N(0, -1).3、已知0为坐标原点，过点M(l,0)的直线/与抛物线C产=2.元。)交于a, B两点,且 OAO3=-3.(
24、1)求抛物线。的方程；(2)过点M作直线/ _U交抛物线。于P,。两点，记OAB, OPQ的面积分别为Si,S2,证明：*+专为定值.4、已知抛物线C： y2=2p%经过点P(l, 2).过点。(0, 1)的直线/与抛物线C有两个不同的 交点A, B,且直线物交y轴于直线P8交y轴于N.(1)求直线/的斜率的取值范围；(2)设。为原点，QMXQO, QNpiQO,求证：:十加定值.5、（2018北京高考）已知抛物线C： y2=2*（po）经过点p（i, 2）.过点QQ1）的直线/与抛物 线。有两个不同的交点A, B,且直线交y轴于直线交y轴于N.（1）求直线/的斜率的取值范围；（2）设。为原点
25、，励=%西，QN=QO,求证：十%为定值.二、圆锥曲线中求解定点问题常用的方法（1）“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明.（2） “一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标.（3）求证直线过定点（xo,州），常利用直线的点斜式方程yyo=Z（x沏）来证明. ?2例3 （2022河南名校模拟）已知双曲线C：六一方。）的右焦点F,半焦距c=2,点尸到右准线的距离为看 过点尸作双曲线。的两条互相垂直的弦Ab CD,设A8, 的中点分别为N.求双曲线。的标准方程；（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标.跟踪练
26、习1、过抛物线C产=4%的焦点/且斜率为左的直线/交抛物线。于A, 3两点.(1)若|A3| = 8,求直线/的方程；(2)若A关于x轴的对称点为求证：直线80过定点，并求出该点的坐标.2、已知椭圆C盘+=1的右焦点为(1, 0),且经过点A(0, 1).(1)求椭圆C的方程；(2)设。为原点，直线/： y=日+QWl)与椭圆。交于两个不同点P, Q,直线AP与x轴交于点直线AQ与x轴交于点N.若|OMHON| = 2,求证：直线/经过定点.3、已知抛物线。的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(l, 2)为抛物线。上一点.(1)求抛物线。的方程；(2)若点3(1, 2)在抛物线。上，过点B作抛物
27、线C的两条弦3P与3Q,如kBP-kBQ= 一 2,求证：直线PQ过定点.4、(2021 .广东广州三校联考)如图，已知椭圆C 4+/ =1的上顶点为A,右焦点为 直线A/7与圆A/： 6x2y+7 = 0相切，其中41.求椭圆的方程；(2)不过点A的动直线/与椭圆。相交于P, Q两点，且APL4Q,证明：动直线/过定点,并且求出该定点坐标.5、(2021 .江西上饶模拟)在平面直角坐标系X。)，中，已知椭圆C，+%= 1(。泌0)的离心率 为坐，且短轴长为2.(1)求椭圆。的标准方程；(2)若直线/与椭圆。交于M, N两点，P(0,l),直线PM与直线PN的斜率之积为右证 明：直线/过定点并
28、求出该定点坐标.6、已知椭圆C：，+=1(480)的左、右焦点分别为四，/2,点A, 8分别为C的右顶 点和上顶点，若的面积是ABF2的面积的3倍，且后才了茁=3.(1)求C的标准方程；(2)若过点停，0)且斜率不为。的直线与。交于M, N两点，点P在直线=6上，且NP与工轴平行，求证：直线恒过定点.7、ZA3c 中，已知 3(一啦，0), C(a/2, 0), AQJ_8c 交于点。，“为 AO 中点，满足B”_LAC,点的轨迹为曲线C.(1)求曲线。的方程；(2)过点从0, 作直线/交曲线C于P,。两点，求证：以PQ为直径的圆恒过定点.2023届高考复习解析几何微专题锥曲线中的定值、定点问
29、题(解析版)一、圆锥曲线中求解定值问题常用的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.例1 (2022盐城市高三一模)设尸为椭圆C： y+/=l点(2, 0)的直线与椭圆。交于A, B两点.(1)若点B为椭圆。的上顶点，求直线A尸的方程;的右焦点，过初定值.(2)设直线AF 3b的斜率分别为%,求证:解：(1)若3为椭圆的上顶点，则3(0, 1).又直线A8过点(2, 0),故直线A8: x+2y2 = 0,2可得 3y24y+1 =0,解得第=1,y = y即点Ax+2y2 = 0,又网1, 0),故直线AF的方程为y
30、=x1.(2)证明：设 A(xi, yi), B(X2,，设直线AB的方程为x=ty+2,代入椭圆方程可得Q + BV+zky+ZnO.4/2所以 yi+y2=RW，丫12=再故1+左2 =yi +” 巾 + ”xi 1 X2 1 Zyi +1 疗 2+1八 2, -4r2/yiy2+yi+)v-+2 -+2(Oi + 1) (O2+I) (Zyi + 1) (3+1)，又女1,左2均不为0,故卷=1,即誉为定值-1.例2 (2022洛阳统考)设抛物线C： 丁 = 2*(0)的焦点为几点p(%机)(机0)是抛物线 。上一点，且|PF| = 5.(1)求抛物线。的方程；(2)若4 8为抛物线C上异于P的两点，且记点A, 3到直线y=4的距离 分别为m b,求证：油为定值.解：由抛物线的定义知|PF|=+4=5,解得p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x.