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卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即 一个域中的卷积对应于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积对应于 频域中的乘积。其中表示f的傅里叶变换。下面这种形式也成立：借由傅里叶逆变换,也可以写成注意以上的写法只对特定形式定义的变换正确，变换可能由其它方式 正规化，使得上面的关系式中出现其它的常数因子。这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换 和Hartley变换(参见Mellin inversion theorem )等各种傅里叶 变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝 尔群上定义的傅里叶变换。利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为的序列，按照卷积 的定义进行计算，需要做组对位乘法，其计算复杂度为.；而利用傅里 叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变 换的快速算法之后，总的计算复杂度为。这一结果可以在快速乘法计 算中得到应用。这里展示的证明是基于傅立叶变换的特定形式。如果傅里叶变换的形 式不同，则推导中将会增加一些常数因子。令f、g属于Ll(Rn)。为的傅里叶变换，为的傅里叶变换：其中X和V之间的点表示Rn上的内积。现在发现，因此，通过富比尼定理我们有，于是它的傅里叶变换由积分式定义为观察到，因此对以上变量我们可以再次应用富比尼定理（即交换积分 顺序）：代入；这两个积分就是和的定义，所以：