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1、主要内容对称性质对称性质 线性性质线性性质奇偶虚实性奇偶虚实性尺度变换性质尺度变换性质时移特性时移特性频移特性频移特性 微分性质微分性质时域积分性质时域积分性质意义 傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：讨论傅里叶变换的性质，目的在于：了解特性的内在联系；了解特性的内在联系；用性质求用性质求F()；了解在通信系统领域中的应用。了解在通信系统领域中的应用。)()( Ftf若若 ftF2则则 ftF2则则一对称性质1 1性质性质2
2、 2 意义意义 tFtF )()(相同，相同，形状与形状与若若 。幅度差形状相同，的频谱函数形状与则2 ,ttf)t (F 为偶函数为偶函数若若tf j1 F二线性性质1 1性质性质2 2例例3-7-33-7-3)()(, )()(2211 FtfFtf若若为常数为常数则则2122112211,)()()()(ccFcFctfctfc tu tsgn2121三奇偶虚实性 td)t (fFtj e 02tdtcos)t (f td)t (fFtj e在在3.43.4的的“傅里叶变换的表示傅里叶变换的表示”中曾介绍过。中曾介绍过。1、f(t)是是实实函数函数 实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为
3、实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶偶、奇奇函数函数若若f(t)是是实偶实偶函数，函数，F()必为必为的的实偶实偶函数函数若若f(t)是是实奇实奇函数，函数，F()必为必为的的虚奇虚奇函数函数 02tdtsin)t (fj 2、 f( (t t) )是虚函数虚函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱仍为偶、奇函数，但实部R()为奇函数，虚部 X()为偶函数。令 tjgtf dt)tsin(tgdt)tcos(tjgdtetjgFtj 实部虚部由定义由定义 )(de )()(j FttftfFt )(de )(de )()(jj FuufttftfFut)()()()( FtfFtf，则，则若若证明：
4、证明：可以得到可以得到任意 f(t)，都具有如下性质都具有如下性质 FtfFFtfFFtfF)()()(四尺度变换性质意义意义为非零实常数则若aaFaatfFtf,1),()(1) 0a1 时域压缩，频域扩展时域压缩，频域扩展a倍。倍。 。 FFtftfa , 1 )3(otE2 2 tfo E 2 F 2ot 2tfEo E2 22F (1) 0a1 时域压缩，频域扩展时域压缩，频域扩展a倍。倍。 )()(j)(* FXR 为为奇奇函函数数为为偶偶函函数数 XR ,)(j)()( XRF 共共轭轭为为实实函函数数时时当当 *,FFtf * , 1 )3(FFFtftfa ),()( Ftf若
5、若;e )()(0j0tFttf 则则)(je)()( FF 若若 0)(j0e)()(tFttf 则则五时移特性 000ttt 左左右右相移相移幅度频谱无变化，只影响相位频谱，幅度频谱无变化，只影响相位频谱，)()( Ftf若若ataFatatf0j0e1 则时移加尺度变换0 j0e )()( tFttf则ataFaattf0j0e1 则)()( Ftf若若 号号为为常常数数，注注意意则则 00j0j e )(e )( 00 FtfFtftt2证明 1性质 六频移特性 ttftftttdee )(e )(jjj00 F ttftde )(0j 0 F3说明4应用 )( FOO )(0 F0
6、O )(0 F0 0j ,e)(0 右移右移频域频谱搬移频域频谱搬移乘乘时域时域ttf0j ,e)(0 左移左移频域频谱搬移频域频谱搬移乘乘时域时域ttf 通信中调制与解调。通信中调制与解调。 0000002sin21cos FFjt)t (fFFt)t (f可以导出七微分性质时域微分性质时域微分性质频域微分性质频域微分性质)(j)()()( FtfFtf ，则则),()( Ftf若若 djd)(Fttf则则 dd)(jFttf nnnFtft dd)(j 或或 nnnFtftj)(1时域微分)(j)()()( FtfFtf ，则则 )(j )( Ftfnn一般情况下一般情况下 nntfFF
7、j)( 则则 ，若已知若已知)(tfFn :)(j)( FtfF 90j ,相位增加相位增加幅度乘幅度乘 ),()( Ftf若若 ddj)(Fttf则则 dd)(jFttf 或或 nnnFtft dd)(j 2频域微分性质或或 nnnFtftj)(推广推广八时域积分性质 ，则，则若若 Ftf jd00FfFt 时，时， jFFdft 0也可以记作：也可以记作： )(j1)( F卷积定理卷积定理卷积定理的应用卷积定理的应用一卷积定理 2211, FtfFtf若若 2121 FFtftf 则则 2211, FtfFtf若若 212121 FFtftf 则则倍。倍。各频谱函数卷积的各频谱函数卷积的时
8、间函数的乘积时间函数的乘积21 时域卷积定理时域卷积定理时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。频域卷积定理频域卷积定理卷积定理揭示了卷积定理揭示了时间域时间域与与频率域频率域的运算关系，在通信的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。系统和信号处理研究领域中得到大量应用。 duuFuFFF 2121 其中求系统的响应。求系统的响应。 的傅里叶变换。的傅里叶变换。求求 tf d tf d j0j1dFFFft 将时域求响应，转化为频域求响应。将时域求响应，转化为频域求响应。 tf th tg thtftg GFtgHFG1 二应用用时域卷积定理求频谱密
9、度函数。用时域卷积定理求频谱密度函数。 dtuf tutf 主要内容正弦信号的傅里叶变换正弦信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换如何由如何由F0()求求Fn单位冲激序列的傅氏变换单位冲激序列的傅氏变换 周期矩形脉冲序列的傅氏变换周期矩形脉冲序列的傅氏变换周期信号：周期信号：非周期信号：非周期信号：周期信号的傅里叶变换如何求？周期信号的傅里叶变换如何求？与傅里叶级数的关系？与傅里叶级数的关系？ 离散谱离散谱傅里叶级数傅里叶级数 1 nFtf 连续谱连续谱傅里叶变换傅里叶变换 Ftf 叶变换叶变换统一的分析方法：傅里统一的分析方法：傅里非周期非周期周期周期 tf引言由由
10、欧拉公式欧拉公式由频移性质由频移性质一正弦信号的傅里叶变换 tttttt0000jj0jj0eej21sinee21cos 21 0j0j2e12e100 tt 000002221cos t同理同理 000jjsin t已知已知 )()(cos000 t 000jjsin t0 0 F O频谱图:cos0频谱图频谱图t :sin0频谱图频谱图t 0 0 F o 0 0 2 2 o由傅里叶级数的指数形式出发：由傅里叶级数的指数形式出发：其傅氏变换其傅氏变换(用定义用定义)二一般周期信号的傅里叶变换112: T设设信信号号周周期期 ntjnnFtf1eT tnjnnntnjnFFFFtfFF11e
11、eTT 12 nFnn 12 nFnn ; 1T的频谱由冲激序列组成的频谱由冲激序列组成tf 谐波频率谐波频率位置位置 :1 n 离散谱成正比与强度 2,FF:nn几点认识 表示的是频谱密度。表示的是频谱密度。因为因为谱线的幅度不是有限值谱线的幅度不是有限值 F, 2 ,1处处只存在于只存在于周期信号的周期信号的 nF 。幅度为幅度为频率范围无限小频率范围无限小 , 1T2 nFFnn 三如何由 求 的关系的谱系数与周期信号即单个脉冲的nFtfFT0 00 Ftf设设 )(tdtfFTTtj1e220011 0FnF 22111112e1eTTtnjTnntnjnT)(tdtfTFFtf 比较
12、式比较式(1),(2) 1011 nFTFn 所以 nFtfF的谱系数求周期函数可由T0 nnTtt1T ntnjntnjnTFt11e1e 1T 所以四周期单位冲激序列的傅里叶变换t tT 1 1 1 1 1 1T1T 12T12T o 1 t 因因为为 的傅氏级数谱系数的傅氏级数谱系数所以所以tT 11TFn 1 1 1 1 1 12 1 1 12 Fo 。强强度度和和间间隔隔都都是是激激序序列列的的频频谱谱密密度度函函数数仍仍是是冲冲1T, t频谱 nnnFtFF1T2 nnT1121 nn11 1 nF11T1 12 1 12 onF五周期矩形脉冲序列的傅氏变换 tf1Tto1T 2
13、2 E 2Sa)(0 EF 1011 nFTFn 所以 12 nF)(Fnn 1112Sa nnEn 1112Sa2 nnTEn 单个脉冲的傅里叶变换单个脉冲的傅里叶变换)(1 nF O1 12 1TE 2)(1 nF OF()1211EnF利用时域卷积定理利用时域卷积定理)()()(T0ttftf 时域抽样时域抽样 理想抽样理想抽样矩形脉冲抽样矩形脉冲抽样频域抽样频域抽样从连续信号到离散信号的从连续信号到离散信号的桥梁桥梁，也是对信号进行，也是对信号进行数字处理数字处理的第一个环节。的第一个环节。周期周期信号信号抽样原理图：抽样原理图：一抽样)(stfD/A)(nf)(ngA/D)(tg)(
14、tp)(tf量量化化编编码码数数字字滤滤波波器器 tftfFFtf能否恢复能否恢复由由的关系的关系与与需解决的问题需解决的问题sss)(: )( mm Ftf , Ptp ss Ftf满足：满足： tptftf s -2-ns nPPn dtetpPtjnsSTST 22sT1 其中其中根据频域卷积定理根据频域卷积定理 nsnSnFPPFF 21 ns)n(s 二理想抽样（周期单位冲激抽样）连续信号抽样信号抽样脉冲 tf tfs tT nnFTFFssTs1 21 )t ()t (f)t (fTs )( mm Ftf , Ptp ss Ftf n)nTt ()t ()t (psT tf(t)o
15、tp(t)oTSEtfS(t)oTSooo F Ps s s sFs1T1m m m s s 相乘卷积(1)冲激抽样信号的频谱ms mms 几点认识 倍。倍。差差幅度幅度含原信号的全部信息含原信号的全部信息包包时时sss ,1,0 1TFTFn 性延拓。性延拓。的周期的周期即即新的频率成分新的频率成分有有为周期的连续谱为周期的连续谱以以 FF , 2sso sFs1Tm s s 现原信号。现原信号。滤除高频成分，即可重滤除高频成分，即可重截止频率截止频率为为其增益其增益器，器，若接一个理想低通滤波若接一个理想低通滤波 3mscms T1抽样信号抽样信号三矩形脉冲抽样 tf :连续信号连续信号
16、tp :抽样脉冲序列抽样脉冲序列 tptftf s :抽样信号抽样信号tf(t)otoTSfS(t)连续信号抽样信号抽样脉冲 tf tfs tptop(t)TSE关系 ; :tf连续信号连续信号 tp ：抽样脉冲序列抽样脉冲序列 tfs :抽样信号抽样信号 )( mm Ftf , Ptp ss Ftf tptftf s限带限带信号信号 PFFs 21 nnPPtpsn2 2 ssnnSaTEP nsssnssss2 2 nFnSaTEnFnSaTEFtf(t)otp(t)oTsEtoTsooo F P 2s s sE sFsTE 1m m m s s 相乘卷积 tfs频谱结构四. 频域抽样 t
17、fF11 抽样后的频谱函数抽样后的频谱函数F1()所对应的时域函数所对应的时域函数f1（t）与与f（t）之间的关系？之间的关系？频谱频谱F()冲激序列冲激序列抽样频谱抽样频谱F1() )( mmttttfF -n1 n FF 1 已知已知 111112 )()(TnnTtnn nTntnTtnFF 1111111)(1 )( nnnTtfnTttfttfFFtf)(1 )(1)()()(1111T111 根据时域卷积定理根据时域卷积定理结论：信号的时域与频域呈抽样（离散）与周期结论：信号的时域与频域呈抽样（离散）与周期（重复）对应关系。（重复）对应关系。f (t)-tm1t0tm0 0F F
18、01 (1)1 1 tT11 1T01T t0 0F 1F1 1 f1 (t)-tmt0tm1T 1T11 相相乘乘卷卷积积时域抽样定理时域抽样定理频域抽样定理频域抽样定理tfS(t)oTSo sFs1Tm s s ms 一、时域抽样定理tf(t)oo F1m m 。或或者者说说最最低低抽抽样样率率为为，即即其其抽抽样样间间隔隔必必须须不不大大于于惟惟一一地地表表示示。可可用用等等间间隔隔的的抽抽样样值值来来的的范范围围，则则信信号号，若若频频谱谱只只占占据据一一个个频频带带受受限限的的信信号号mmmmsmmm2 22121 )( fffTftftf 重建原信号的必要条件：重建原信号的必要条件
19、：不满足此条件，就会发生不满足此条件，就会发生频谱混叠现象。频谱混叠现象。奈奎斯特(Nyquist) 抽样频率和抽样间隔msms2 2ff 或或 隔隔”。称称为为“奈奈奎奎斯斯特特抽抽样样间间是是最最大大抽抽样样间间隔隔, 21msfT 特特抽抽样样频频率率”称称为为“奈奈奎奎斯斯是是最最低低允允许许的的抽抽样样频频率率 , 2 msff 22 22sssmmmTfTf 二、频域抽样定理mt 21若信号若信号f(t)是时间受限信号，它集中在是时间受限信号，它集中在- tm tm的时的时间范围内，若在频域中以不大于间范围内，若在频域中以不大于 的频率间隔的频率间隔对对f(t)的频谱的频谱F()进
20、行抽样，则抽样后的频谱进行抽样，则抽样后的频谱F1()可以唯一地表示原信号可以唯一地表示原信号。mstf21 说明说明：频域抽样间隔：频域抽样间隔在频域在频域F()等间隔抽样，等效于在时域等间隔抽样，等效于在时域f (t)波形波形的周期重复。重复的周期的周期重复。重复的周期Ts2 tmf (t)-tm1t0tm0 0F F0 0F 1Fs s f1 (t)-tmt0tmsT sT11 本章小结一一. .周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数形式形式频谱：离散性、谐波性、收敛性频谱：离散性、谐波性、收敛性周期矩形脉冲信号的频谱特点周期矩形脉冲信号的频谱特点三角形式：三角形式：单边频谱单边频谱指数形式：指数形式：双边频谱双边频谱二二. .傅里叶变换傅里叶变换定义及傅里叶变换存在的条件定义及傅里叶变换存在的条件典型非周期信号的频谱典型非周期信号的频谱冲激函数和阶跃信号的傅里叶变换冲激函数和阶跃信号的傅里叶变换性质性质周期信号的傅里叶变换：周期信号的傅里叶变换：由一些冲激函数组成由一些冲激函数组成抽样信号的傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换抽样定理抽样定理