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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载立体几何学问点总结一. 空间多边形1. 不在同一平面内的如干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线.就叫做封闭的空间折2. 如空间折线的最终一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合,线. 3. 如封闭的空间折线各线段彼此不相交,就叫做这空间多边形平面,平面是一个不定义的概念,几何里的平面是无限舒展的 . 4. 平面通常用一个平行四边形来表示 . 5. 平面常用希腊字母 、 、 或拉丁字母 M、N、P 来表示,也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示,如平面 AC. 6. 在立体几何中,大写字母 A,B,C, 表示点,小写字母,a,
2、b,c, l,m,n, 表示直线,且把直线和平面看成点的集合,例如：因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系,a Al 点 A 在直线 l 上； A 点 A不在平面 内；b l 直线 l 在平面 内；c a 直线 a 不在平面 内；d l m=A直线 l 与直线 m相交于 A 点；e l=A 平面 与直线 l 交于 A点；f =l 平面 与平面 相交于直线 l. 二. 平面的基本性质公理 1 假如一条直线上的两点在一个平面内,内. 那么这条直线上全部的点都在这个平面公理 2 假如两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 . 公理 3 经过不在同始终线上的三个点,有且只有
3、一个平面 . 依据上面的公理,可得以下推论 . 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 . 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 . 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 . 三. 证题方法直接证法证题方法反证法间接证法同一法名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载四. 空间线面的位置关系共面 平行没有公共点1 直线与直线 相交有且只有一个公共点异面 既不平行,又不相交 直线在平面内有很多个公共点2 直线和平面 直线不在平面内 平行没有公共点 直线在平面外 相交有且只有一
4、公共点3 平面与平面 相交有一条公共直线 很多个公共点 平行没有公共点五. 异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采纳反证法 . 有时也可用定理“ 平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 六. 线面平行与垂直的判定 1 两直线平行的判定定义：在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行 . 假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即如 a ,a , =b, 就 a b. 平行于同始终线的两直线平行,即如 a b,b c, 就 a c. 垂直于同一平面的两直线平行,即如a ,b ,就 a b 两平行平面与同一个平面相交,
5、那么两条交线平行,即如 , , =b,就 a b 假如一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即如 =b,a ,a ,就 a b. 2 两直线垂直的判定定义：如两直线成 90 角,就这两直线相互垂直 . 一条直线与两条平行直线中的一条垂直,也必与另一条垂直 . 即如 b c,a b, 就 ac 一条直线垂直于一个平面,就垂直于这个平面内的任意一条直线 . 即如 a ,b ,ab.名师归纳总结 三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线,如和这个平面的一条斜线的射影垂第 2 页,共 9 页直,就它也和这条斜线垂直. 假如一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面的垂
6、线垂直. 即如a ,b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 , 就 ab. 三个两两垂直的平面的交线两两垂直,即如 , , , 且 =a, =b, =c,就 a b,b c,c a. 3 直线与平面平行的判定定义：如一条直线和平面没有公共点,就这直线与这个平面平行 . 假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,就这条直线与这个平面平行 . 即如 a ,b ,a b, 就 a . 两个平面平行,其中一个平面内的直线平行于另一个平面,即如 ,l ,就 l . 假如一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面,那么这条直线和这个平面平行 .
7、即如 ,l ,l ,就 l . 在一个平面同侧的两个点,假如它们与这个平面的距离相等,那么过这两个点的直线与这个平面平行,即如 A , B , A、B 在 同侧,且 A、B 到 等距,就 AB . 两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行,也与另一个平面平行,即如 ,a , a ,a ,就 . 假如一条直线与一个平面垂直,就平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行,即如a ,b ,ba,就 b . 假如两条平行直线中的一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面 或在这个平面内 ,即如 a b,a ,b 或 b 4 直线与平面垂直的判定定义：如一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就这条直
8、线和这个平面垂直 . 假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 .即如 m , n ,mn=B,l m,l n, 就 l . 假如两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面 . 即如 l a,a , 就 l . 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面,即如 ,l ,就 l . 假如两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面,即如 ,a = ,l ,l a, 就 l . 假如两个相交平面都垂直于第三个平面,就它们的交线也垂直于第三个平面,即如 , , 且 a = , 就 a . 5 两平面平行的判
9、定定义：假如两个平面没有公共点,那么这两个平面平行,即无公共点 . 假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行,即如名师归纳总结 a,b ,ab=P,a ,b , 就 . 第 3 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载垂直于同始终线的两平面平行 平行于同一平面的两平面平行. 即如 a, a, 就 . . 即如 , , 就 . 一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线,就这两个平面平行,即如 a,b ,c,d ,a b=P,a c,b d, 就 . 6 两平面垂直的判定 定义：两个平面相交
10、,假如所成的二面角是直二面角,那么这两个平面相互垂直,即 二面角 a =90 . 假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直,即如 l ,l ,就 . 一个平面垂直于两个平行平面中的一个,也垂直于另一个 . 七. 直线在平面内的判定. 即如 , ,就1 利用公理 1：始终线上不重合的两点在平面内,就这条直线在平面内 . 2 如两个平面相互垂直,就经过第一个平面内的一点垂直于其次个平面的直线在第一个平面内,即如 ,A ,AB ,就 AB . 3 过一点和一条已知直线垂直的全部直线,都在过此点而垂直于已知直线的平面内,即如 A a,a b,A ,b ,就 a . 4 过平面外一点
11、和该平面平行的直线,都在过此点而与该平面平行的平面内,即如 P , P , ,Pa,a ,就 a . 5 假如一条直线与一个平面平行,那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内,即如a ,A ,Ab,b a, 就 b . 八. 存在性和唯独性定理1 过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；2 过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；3 过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；4 与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；5 过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；6 过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；7 过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只
12、有一个；. 8 过两条相互垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个 九. 射影及有关性质 1 点在平面上的射影自一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面上的射影,点的 射影仍是点 . 2 直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线,过两垂足的直线叫做直线在名师归纳总结 这平面上的射影. . 第 4 页,共 9 页和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3 图形在平面上的射影一个平面图形上全部的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影 .
13、 当图形所在平面与射影面垂直时,射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时,射影仍是一个图形 . 4 射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：i 射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长；ii 相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长；十一 . 直线和平面所成的角1 定义 和平面所成的角有三种：i 垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角 . ii 垂线与平面所成的角 直线垂直于平面,就它们所成的角是直角 . iii 一条直线和平面平行,或在平面内,就它们所成的角是 0 的角 . 2 取值范畴 0 903
14、求解方法作出斜线在平面上的射影,找到斜线与平面所成的角 . 解含 的三角形,求出其大小 . 最小角定理斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角,亦可说,斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角 . 十二 . 二面角及二面角的平面角1 半平面 直线把平面分成两个部分,每一部分都叫做半平面 . 2 二面角 条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角 . 这条直线叫做二面角的棱,这两个平面叫做二面角的面,即二面角由半平面一棱一半平面组成 . 如两个平面相交,就以两个平面的交线为棱形成四个二面角 . 二面角的大小用它的平面角来度量,通常认为二面角的平面角
15、 的取值范畴是0 1803 二面角的平面角以二面角棱上任意一点为端点,分别在两个面内作垂直于棱的射线,这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角 . 如图,PCD是二面角 -AB- 的平面角 . 平面角 PCD的大小与顶点 C在棱 AB上的位置无关 . 二面角的平面角具有以下性质：名师归纳总结 i 二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面,即AB平面 PCD. 第 5 页,共 9 页ii从二面角的平面角的一边上任意一点 异于角的顶点 作另一面的垂线, 垂足必在平- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 面角的另一边 或其反向延长线学习必备欢迎下载上. iii二面角的平
16、面角所在的平面与二面角的两个面都垂直,即平面 PCD ,平面 PCD . 找 或作 二面角的平面角的主要方法 . i 定义法 ii 垂面法 iii 三垂线法 依据特别图形的性质 4 求二面角大小的常见方法先找 或作 出二面角的平面角 ,再通过解三角形求得 的值 . 利用面积射影定理S=Scos其中 S 为二面角一个面内平面图形的面积,形的面积, 为二面角的大小 . S 是这个平面图形在另一个面上的射影图利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小 . 十三 . 空间的各种距离 点到平面的距离 1 定义 面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面 的距离 . 2 求点面距
17、离常用的方法：1 直接利用定义求 找到 或作出 表示距离的线段；抓住线段 所求距离 所在三角形解之 . 2 利用两平面相互垂直的性质. 即假如已知点在已知平面的垂面上,就已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离 . 3 体积法其步骤是：在平面内选取适当三点,和已知点构成三棱锥；求出此三棱锥的体积 V 和所取三点构成三角形的面积 S；由 V= 1 S h,求出 h 即为所求 . 这种方法3的优点是不必作出垂线即可求点面距离 . 难点在于如何构造合适的三棱锥以便于运算 . 4 转化法将点到平面的距离转化为 平行 直线与平面的距离来求 . iii 垂线段比任何一条斜线段都短 . 十. 空间中的各种
18、角等角定理及其推论定理如一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,就这两个角相等 . 推论如两条相交直线和另两条相交直线分别平行,就这两组直线所成的锐角 或直角 相等 . 异面直线所成的角名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载O,分别引直线a a,b b, 就1 定义： a、b 是两条异面直线,经过空间任意一点a 和 b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线 a 和 b 所成的角 . 2 取值范畴： 0 90 . 3 求解方法依据定义,通过平移,找到异面直线所成的角 ；解含有 的三角形,求出角 的大
19、小 . 1 定义： a、b 是两条异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a a,b b, 就a 和 b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线 a 和 b 所成的角 . 2 取值范畴： 0 90 . 3 求解方法依据定义,通过平移,找到异面直线所成的角 ；解含有 的三角形,求出角 的大小 . 十一 . 直线和平面所成的角1 定义 和平面所成的角有三种：i 垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角 . ii 垂线与平面所成的角 直线垂直于平面,就它们所成的角是直角 . iii 一条直线和平面平行,或在平面内,就它们所成的角是 0 的角 . 2 取值
20、范畴 0 903 求解方法作出斜线在平面上的射影,找到斜线与平面所成的角 . 解含 的三角形,求出其大小 . 最小角定理斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角,亦可说,斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角 . 十二 . 二面角及二面角的平面角1 半平面 直线把平面分成两个部分,每一部分都叫做半平面 . 2 二面角 条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角 . 这条直线叫做二面角的棱,这两个平面叫做二面角的面,即二面角由半平面一棱一半平面组成 . 如两个平面相交,就以两个平面的交线为棱形成四个二面角 . 二面角的大小用它的平面角来度量,通常
21、认为二面角的平面角 0 1803 二面角的平面角 的取值范畴是名师归纳总结 以二面角棱上任意一点为端点,分别在两个面内作垂直于棱的射线,这两条射线所组第 7 页,共 9 页成的角叫做二面角的平面角. C在棱 AB上的如图, PCD是二面角 -AB- 的平面角 . 平面角 PCD的大小与顶点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载位置无关 . 二面角的平面角具有以下性质：i 二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面,即 AB平面 PCD. ii 从二面角的平面角的一边上任意一点 异于角的顶点 作另一面的垂线, 垂足必在平 上. 面角的另一边 或其
22、反向延长线 iii 二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直,即平面 PCD ,平面 PCD . 找 或作 二面角的平面角的主要方法 . i 定义法 ii 垂面法 iii 三垂线法 依据特别图形的性质 4 求二面角大小的常见方法先找 或作 出二面角的平面角 ,再通过解三角形求得 的值 . 利用面积射影定理S=Scos其中 S 为二面角一个面内平面图形的面积,形的面积, 为二面角的大小 . S 是这个平面图形在另一个面上的射影图利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小 . 十三 . 空间的各种距离 点到平面的距离 1 定义 面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个
23、平面的距离 . 2 求点面距离常用的方法：1 直接利用定义求 找到 或作出 表示距离的线段；抓住线段 所求距离 所在三角形解之 . 2 利用两平面相互垂直的性质. 即假如已知点在已知平面的垂面上,就已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离 . 3 体积法其步骤是：在平面内选取适当三点,和已知点构成三棱锥；求出此三棱锥的体积 V 和所取三点构成三角形的面积 S；由 V= 1 Sh,求出 h 即为所求 . 这种方法3的优点是不必作出垂线即可求点面距离 . 难点在于如何构造合适的三棱锥以便于运算 . 4 转化法将点到平面的距离转化为 平行 直线与平面的距离来求 . 十四 . 直线和平面的距离1 定
24、义一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离,叫做这条直线和平面的距离 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 求线面距离常用的方法直接利用定义求证 或连或作 某线段为距离,然后通过解三角形运算之 . 将线面距离转化为点面距离,然后运用解三角形或体积法求解之 . 作帮助垂直平面,把求线面距离转化为求点线距离 . 15. 平行平面的距离1 定义个平行平面同时垂直的直线,叫做这两个平行平面的公垂线. 公垂线夹在两个平行平面间的部分,叫做这两个平行平面的公垂线段 叫做这两个平行平面的距离 .
25、 2 求平行平面距离常用的方法 直接利用定义求. 两个平行平面的公垂线段的长度证 或连或作 某线段为距离,然后通过解三角形运算之. 最终转化为点线 面把面面平行距离转化为线面平行距离,再转化为线线平行距离,距离,通过解三角形或体积法求解之. 十五 . 异面直线的距离1 定义 条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线 . 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离 . 任何两条确定的异面直线都存在唯独的公垂线段 . 2 求两条异面直线的距离常用的方法定义法 题目所给的条件, 找出 或作出 两条异面直线的公垂线段,再依据有关定理、性质求出公垂线段的长 . 此法一般多用于两异面直线相互垂直的情形 . 转化法 为以下两种形式：线面距离面面距离等体积法最值法射影法公式法名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页