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1、计算建模复习9-高斯过程和维纳过程 均方可导和均方连续 基本概念 随机过程基本概念复习 最后一个：相当于自协方差函数除以方差随机过程包含很多变量，只要有一个变量是随机的那就可以！比如这里只要有一个 就可以！严平稳随机过程：如果对于任何的，和任何实数，n维随机变量和具有相同的分布函数数学期望和方差均和时间无关，自相关函数仅仅与时间间隔有关宽平稳随机过程：给定二阶矩过程，如果对于任意的有下面的结论成立：EX(t)=Cx(常数)EX(t)X(t+h)=R(h)尤其需要注意二阶矩的前提即Q:对平稳随机过程而言，如何从样本函数得出随机过程的一些性质？各态历经过程：对一个样本函数取时间上的均值，当观察的时
2、间充分长，将从概率意义上接近它的统计均值（称之为各态历经过程）平稳随机过程功率谱和高阶谱（复习）实际信号能量有限，功率有限必至少满足一条设随机过程的某一样本函数则其傅里叶变换平均功率：即信号在一个周期内的总能量除以周期的长度由傅里叶变量的能量守恒定律：定义:样本的功率谱密度：单位频带上的功率，称为样本的功率谱密度对所有样本(注意上面是样本函数)进行概率意义的平均，得到随机过程的功率谱密度:平稳过程的平均功率等于其均方值或功率谱密度在整个频*域上的积分，若X(t)为各态历经，则功率谱密度可由一个样本函数得到*将其认作每个样本可能的取值概率相同维纳辛钦定理：傅里叶变换对！各种随机过程和分布有何作用
3、？各种随机过程和分布相当于先验知识回归问题，分类问题，聚类问题高斯分布：协方差矩阵:对称半正定矩阵一般假设目标的服从都是高斯分布封闭性：边缘概率，条件概率都是高斯形式高斯过程的定义 多维正态分布 概率密度函数其中非负定对称矩阵！高斯（正态）过程 如果 为实的宽平稳过程，则：为常数(仅仅和时间间隔有关)协方差函数(看不懂！)实平稳正态过程也是实严平稳随机过程定义（高斯过程）：如果随机过程的有限维分布都是正态分布，则称此随机过程为高斯过程或正态过程。正态过程为二阶矩过程由定义可知，其有限维分布的密度函数为：高斯过程的协方差矩阵：高斯（正态）过程的定理：设 为k维正态随机向量序列上述均方收敛于即有下
4、面的式子成立：则 也是正态分布的随机向量定义(均方可导)：如果在定义的T上每一点都均方可导，则称此随机过程是均方可导的（看不懂)若平稳高斯过程在任意两个时刻都是互不相关的，那么也一定是相互独立的对于高斯过程而言，宽平稳和严平稳等价，不相关和独立性也等价高斯混合模型GMM 给定静止摄像头拍摄的视频，如何将其中的运动物体检测出来？利用帧差利用背景建模其中 为单个高斯模型的参数即 GMM的参数估计EM算法：E步：计算后验概率（第j个数据来自第k个高斯的概率）M步：更新参数：第k个高斯的均值：第k个高斯的协方差矩阵:第k个高斯的先验：N为观测点即样本的总数维纳过程（布朗运动）及其性质 维纳过程是一种具
5、有连续时间参数和连续状态空间的一个随机过程定义（维纳过程）：设质点每经过时间，随机的以概率向右移动的距离，以概率向左移动 定义随机变量，如果第 次质点向左移动，如果第 次质点向右 移动设表示在t时刻质点所处在的位置则显然则 假设,其中c0为常数。上述过程被称作随机游走！则有维纳过程是一个独立增量过程：可以看作是由许多微小的相互独立的随机变量组成的和，由中心极限定理可以知道：当时，有：也就是下面的形式：即也就是维纳过程（形式化定义）：设随机过程满足：W是独立增量过程有是关于t的连续函数则称是布朗运动或维纳过程标准维纳过程：当上述c=1,W(0)=0时，称此时的维纳过程为标准的维纳过程将其记作标准
6、维纳过程的一维概率密度函数即维纳过程的性质：维纳过程是正态过程：则 相互独立，且都服从正态分布：因此对于任意时刻的有限维分布都服从正态分布！（相互独立的正态分布的叠加都是正态分布）矩阵相乘的线性表示？不是平稳随机过程，这是因为当时由对称性可以得到不是和时间间隔有关的函数！由此得到维纳过程不是平稳随机过程当时，该自相关函数是一个连续函数，因此标准维纳过程是均方连续的随机过程！（这里不太懂)维纳过程的性质如果记,则显然为偏离系数，为过程的强度，这样的意义下显然的概率密度表达式为:为非平稳随机过程例题：维纳过程的应用 设是一个服从正态分布的白噪声，其均方积分的统计特性随机过程是一个正态过程。假设 由于均方积分是线性变换，由是正态过程可知也是正态过程 也是一个维纳过程