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1、数学问题漫谈数学问题漫谈1 1/55/55数学问题漫谈数学问题漫谈数学问题漫谈数学问题漫谈 主讲人：主讲人：主讲人：主讲人：理学院数学与系统科学系理学院数学与系统科学系理学院数学与系统科学系理学院数学与系统科学系 杨文强杨文强杨文强杨文强 博士博士博士博士 -“-“-“-“数数数数”自有黄金屋自有黄金屋自有黄金屋自有黄金屋七百万美金等你拿！七百万美金等你拿！七百万美金等你拿！七百万美金等你拿！数学问题漫谈数学问题漫谈2 2/55/55 伯努利伯努利伯努利伯努利(John BernoulliJohn Bernoulli)经验告诉我们，正是那些困难且有用的问题，经验告诉我们，正是那些困难且有用的问
2、题，引导着有才智的人们为丰富人类的知识而奋斗引导着有才智的人们为丰富人类的知识而奋斗数学问题漫谈数学问题漫谈3 3/55/55 近代数学问题的历史近代数学问题的历史 HilbertHilbert 的二十三个问题的二十三个问题的二十三个问题的二十三个问题发表于一九发表于一九发表于一九发表于一九00000000年八月八日，国际数学家大会年八月八日，国际数学家大会年八月八日，国际数学家大会年八月八日，国际数学家大会(International Congress of Mathematicians)(International Congress of Mathematicians)影响了整个二十世纪数
3、学的发展影响了整个二十世纪数学的发展已解决的问题：已解决的问题：已解决的问题：已解决的问题：1,2,3,5,9,10,13,14,17,19,21,221,2,3,5,9,10,13,14,17,19,21,22.数学问题漫谈数学问题漫谈4 4/55/55“有名有名有名有名”的数学问题的数学问题的数学问题的数学问题 难难难难-激发人的斗志！激发人的斗志！激发人的斗志！激发人的斗志！能推动数学或其他学科的发展能推动数学或其他学科的发展能推动数学或其他学科的发展能推动数学或其他学科的发展-引起人的兴趣！引起人的兴趣！引起人的兴趣！引起人的兴趣！费马大定理费马大定理费马大定理费马大定理 -近代代数数
4、论近代代数数论近代代数数论近代代数数论 三体问题三体问题三体问题三体问题 -动力系统动力系统动力系统动力系统 最速降线问题最速降线问题最速降线问题最速降线问题-变分学变分学变分学变分学 数学问题一般是基于以下原因提出的数学问题一般是基于以下原因提出的 检验或发展数学的理论检验或发展数学的理论检验或发展数学的理论检验或发展数学的理论-数学自身发展的需要数学自身发展的需要数学自身发展的需要数学自身发展的需要 实际问题的需求实际问题的需求实际问题的需求实际问题的需求-其他学科发展的需要其他学科发展的需要其他学科发展的需要其他学科发展的需要数学问题漫谈数学问题漫谈5 5/55/55 若只用直尺和圆规，
5、根据某些已知条件，作出所要若只用直尺和圆规，根据某些已知条件，作出所要若只用直尺和圆规，根据某些已知条件，作出所要若只用直尺和圆规，根据某些已知条件，作出所要求的几何图形，这称为几何作图问题求的几何图形，这称为几何作图问题求的几何图形，这称为几何作图问题求的几何图形，这称为几何作图问题.古代三大几何作图难题古代三大几何作图难题 三分角问题三分角问题三分角问题三分角问题 倍立方问题倍立方问题倍立方问题倍立方问题 圆化方问题圆化方问题圆化方问题圆化方问题数学问题漫谈数学问题漫谈6 6/55/55 大约在公元前五世纪，人们就提出：既然一个线段大约在公元前五世纪，人们就提出：既然一个线段大约在公元前五
6、世纪，人们就提出：既然一个线段大约在公元前五世纪，人们就提出：既然一个线段可以三等分，那么对任意给定的一个角，仅用直尺可以三等分，那么对任意给定的一个角，仅用直尺可以三等分，那么对任意给定的一个角，仅用直尺可以三等分，那么对任意给定的一个角，仅用直尺和圆规，能不能将这个角三等分和圆规，能不能将这个角三等分和圆规，能不能将这个角三等分和圆规，能不能将这个角三等分.-这是历史最久、流传最广泛的一个几何作这是历史最久、流传最广泛的一个几何作这是历史最久、流传最广泛的一个几何作这是历史最久、流传最广泛的一个几何作图问题图问题图问题图问题小插曲小插曲小插曲小插曲1936193619361936年年年年8
7、 8 8 8月月月月18181818日的日的日的日的北京晨报北京晨报北京晨报北京晨报发表一条消息：发表一条消息：发表一条消息：发表一条消息：郑州铁路站站长汪君花费郑州铁路站站长汪君花费郑州铁路站站长汪君花费郑州铁路站站长汪君花费14141414年精力，终于解年精力，终于解年精力，终于解年精力，终于解决了三分角问题决了三分角问题决了三分角问题决了三分角问题数学问题漫谈数学问题漫谈7 7/55/55 在建国初期，中国科学院数学研究所每年都收到大在建国初期，中国科学院数学研究所每年都收到大在建国初期，中国科学院数学研究所每年都收到大在建国初期，中国科学院数学研究所每年都收到大量的量的量的量的“解决三
8、分角问题解决三分角问题解决三分角问题解决三分角问题”的稿件。为此在的稿件。为此在的稿件。为此在的稿件。为此在数学通数学通数学通数学通报报报报上发表启事，让人们不要白白浪费时间去解这上发表启事，让人们不要白白浪费时间去解这上发表启事，让人们不要白白浪费时间去解这上发表启事，让人们不要白白浪费时间去解这个不可解的几何作图问题个不可解的几何作图问题个不可解的几何作图问题个不可解的几何作图问题在一百多年前，就已证明，三等分任在一百多年前，就已证明，三等分任意一个角是不可解的意一个角是不可解的为什么不可解？为什么不可解？为什么不可解？为什么不可解？数学问题漫谈数学问题漫谈8 8/55/55 在公元前四世
9、纪的古希腊，瘟疫流行，无法在公元前四世纪的古希腊，瘟疫流行，无法在公元前四世纪的古希腊，瘟疫流行，无法在公元前四世纪的古希腊，瘟疫流行，无法解除，导致人员大量死亡。有人便求教于当时的哲解除，导致人员大量死亡。有人便求教于当时的哲解除，导致人员大量死亡。有人便求教于当时的哲解除，导致人员大量死亡。有人便求教于当时的哲学家柏拉图。柏拉图说：将黛利亚神庙的立方体祭学家柏拉图。柏拉图说：将黛利亚神庙的立方体祭学家柏拉图。柏拉图说：将黛利亚神庙的立方体祭学家柏拉图。柏拉图说：将黛利亚神庙的立方体祭坛扩大一倍，这样就可以得到众神的宽赦，平息瘟坛扩大一倍，这样就可以得到众神的宽赦，平息瘟坛扩大一倍，这样就可
10、以得到众神的宽赦，平息瘟坛扩大一倍，这样就可以得到众神的宽赦，平息瘟疫。于是人们将祭坛的棱长延长一倍，重新修建祭疫。于是人们将祭坛的棱长延长一倍，重新修建祭疫。于是人们将祭坛的棱长延长一倍，重新修建祭疫。于是人们将祭坛的棱长延长一倍，重新修建祭坛。但瘟疫仍然流行。于是又去请教柏拉图。柏拉坛。但瘟疫仍然流行。于是又去请教柏拉图。柏拉坛。但瘟疫仍然流行。于是又去请教柏拉图。柏拉坛。但瘟疫仍然流行。于是又去请教柏拉图。柏拉图看了新建的祭坛后说：新祭坛的体积扩大了八倍，图看了新建的祭坛后说：新祭坛的体积扩大了八倍，图看了新建的祭坛后说：新祭坛的体积扩大了八倍，图看了新建的祭坛后说：新祭坛的体积扩大了八
11、倍，而不是二倍，所以不能解除瘟疫。而不是二倍，所以不能解除瘟疫。而不是二倍，所以不能解除瘟疫。而不是二倍，所以不能解除瘟疫。对任一给定的立方体，仅用直尺和圆规，作一个新对任一给定的立方体，仅用直尺和圆规，作一个新对任一给定的立方体，仅用直尺和圆规，作一个新对任一给定的立方体，仅用直尺和圆规，作一个新的立方体，使其体积是给定立方体体积的三倍的立方体，使其体积是给定立方体体积的三倍的立方体，使其体积是给定立方体体积的三倍的立方体，使其体积是给定立方体体积的三倍小插曲小插曲小插曲小插曲数学问题漫谈数学问题漫谈9 9/55/55于是人们想方设法建一个新的祭坛，使得其体积正于是人们想方设法建一个新的祭坛
12、，使得其体积正于是人们想方设法建一个新的祭坛，使得其体积正于是人们想方设法建一个新的祭坛，使得其体积正好是原祭坛体积的两倍。这样轰动了整个希腊，引好是原祭坛体积的两倍。这样轰动了整个希腊，引好是原祭坛体积的两倍。这样轰动了整个希腊，引好是原祭坛体积的两倍。这样轰动了整个希腊，引起了数学家的关注。由此倍立方问题又被称为起了数学家的关注。由此倍立方问题又被称为起了数学家的关注。由此倍立方问题又被称为起了数学家的关注。由此倍立方问题又被称为“黛黛黛黛利亚神问题利亚神问题利亚神问题利亚神问题”此问题是否可解？此问题是否可解？此问题是否可解？此问题是否可解？假设原立方体的棱长为假设原立方体的棱长为假设原
13、立方体的棱长为假设原立方体的棱长为 ，新立方体的棱长为，新立方体的棱长为，新立方体的棱长为，新立方体的棱长为 ；则倍立方体问题转化为下代数方程：；则倍立方体问题转化为下代数方程：；则倍立方体问题转化为下代数方程：；则倍立方体问题转化为下代数方程：解得解得解得解得若能用直尺和圆规作出一长度为若能用直尺和圆规作出一长度为若能用直尺和圆规作出一长度为若能用直尺和圆规作出一长度为 线段，则可倍立线段，则可倍立线段，则可倍立线段，则可倍立方体。方体。方体。方体。数学问题漫谈数学问题漫谈1010/55/55 要求仅用直尺和圆规，作一个正方形，使得其面积要求仅用直尺和圆规，作一个正方形，使得其面积要求仅用直
14、尺和圆规，作一个正方形，使得其面积要求仅用直尺和圆规，作一个正方形，使得其面积等于一个已知圆的面积等于一个已知圆的面积等于一个已知圆的面积等于一个已知圆的面积.小插曲小插曲小插曲小插曲关于此问题，在公元前古埃及的数学家曾得关于此问题，在公元前古埃及的数学家曾得关于此问题，在公元前古埃及的数学家曾得关于此问题，在公元前古埃及的数学家曾得到一个结果：到一个结果：到一个结果：到一个结果：“如果正方形的边长等于圆的如果正方形的边长等于圆的如果正方形的边长等于圆的如果正方形的边长等于圆的直径的直径的直径的直径的8/98/98/98/9，则它们的面积相等，则它们的面积相等，则它们的面积相等，则它们的面积相
15、等”结论显然是错的，但近似相等。在古代能得到如此结论显然是错的，但近似相等。在古代能得到如此结论显然是错的，但近似相等。在古代能得到如此结论显然是错的，但近似相等。在古代能得到如此的近似精度，不容易的近似精度，不容易的近似精度，不容易的近似精度，不容易此问题是否可解？此问题是否可解？此问题是否可解？此问题是否可解？数学问题漫谈数学问题漫谈1111/55/55解得解得解得解得若能用直尺和圆规作出一长度为若能用直尺和圆规作出一长度为若能用直尺和圆规作出一长度为若能用直尺和圆规作出一长度为 线段，则可化圆线段，则可化圆线段，则可化圆线段，则可化圆为方。为方。为方。为方。假设圆的半径为假设圆的半径为假
16、设圆的半径为假设圆的半径为 ，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为 ，则化，则化，则化，则化圆为方问题转化为下代数方程：圆为方问题转化为下代数方程：圆为方问题转化为下代数方程：圆为方问题转化为下代数方程：数学问题漫谈数学问题漫谈1212/55/55 17961796年德国哥廷根大学年仅年德国哥廷根大学年仅年德国哥廷根大学年仅年德国哥廷根大学年仅1919岁的大学生高岁的大学生高岁的大学生高岁的大学生高斯（斯（斯（斯（1777-18551777-1855）成功地用直尺和圆规作出了圆的内）成功地用直尺和圆规作出了圆的内）成功地用直尺和圆规作出了圆的内）成功地用直尺和圆规作出
17、了圆的内接正十七边形，轰动了整个数学界。接正十七边形，轰动了整个数学界。接正十七边形，轰动了整个数学界。接正十七边形，轰动了整个数学界。对任意给定的自然数对任意给定的自然数对任意给定的自然数对任意给定的自然数N N，能否只用直尺和圆规，将，能否只用直尺和圆规，将，能否只用直尺和圆规，将，能否只用直尺和圆规，将圆圆圆圆N N等分，作出其内接等分，作出其内接等分，作出其内接等分，作出其内接N N边形边形边形边形小插曲小插曲小插曲小插曲五年后，高斯给出下判别法：五年后，高斯给出下判别法：五年后，高斯给出下判别法：五年后，高斯给出下判别法：当当当当 ，必可用直尺和圆规作出了圆的内接，必可用直尺和圆规作
18、出了圆的内接，必可用直尺和圆规作出了圆的内接，必可用直尺和圆规作出了圆的内接 N N 边形。边形。边形。边形。数学问题漫谈数学问题漫谈1313/55/55 高高高高斯斯斯斯（Gauss,Gauss,1777177718551855 ）德德德德国国国国天天天天才才才才数数数数学学学学家家家家、天天天天文文文文学学学学家家家家和和和和物物物物理理理理学学学学家家家家.17991799年年年年高高高高斯斯斯斯于于于于黑黑黑黑尔尔尔尔姆姆姆姆施施施施泰泰泰泰特特特特大大大大学学学学因因因因证证证证明明明明代代代代数数数数基基基基本本本本定定定定理理理理获获获获博博博博士士士士学学学学位位位位.从从从从
19、18071807年年年年起起起起担担担担任任任任格格格格丁丁丁丁根根根根大大大大学学学学教教教教授授授授兼兼兼兼格格格格丁丁丁丁根根根根天天天天文文文文台台台台台台台台长直至逝世长直至逝世长直至逝世长直至逝世.高高高高斯斯斯斯和和和和牛牛牛牛顿顿顿顿、阿阿阿阿基基基基米米米米德德德德，被被被被誉誉誉誉为为为为有有有有史史史史以以以以来来来来的的的的三三三三大大大大数数数数学学学学家家家家.高高高高斯斯斯斯是是是是近近近近代代代代数数数数学学学学奠奠奠奠基基基基者者者者之之之之一一一一，在在在在历历历历史史史史上上上上影影影影响响响响之之之之大大大大，可可可可以以以以和和和和阿阿阿阿基基基基米米
20、米米德德德德、牛牛牛牛顿顿顿顿、欧欧欧欧拉拉拉拉并并并并列列列列，有有有有“数数数数学王子学王子学王子学王子”之称之称之称之称.在在在在全全全全世世世世界界界界广广广广为为为为流流流流传传传传的的的的一一一一则则则则故故故故事事事事说说说说，高高高高斯斯斯斯1010岁岁岁岁时时时时算出数学老师布特纳给学生们出的算术题算出数学老师布特纳给学生们出的算术题算出数学老师布特纳给学生们出的算术题算出数学老师布特纳给学生们出的算术题1+2+1001+2+100布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案布特纳刚叙述完题目，高斯就
21、算出了正确答案.数学问题漫谈数学问题漫谈1414/55/55 17881788年，高斯年仅年，高斯年仅年，高斯年仅年，高斯年仅1111岁发现了二项式定理岁发现了二项式定理岁发现了二项式定理岁发现了二项式定理.1794 1794年，开始研究测量误差年，开始研究测量误差年，开始研究测量误差年，开始研究测量误差,提出最小二乘法提出最小二乘法提出最小二乘法提出最小二乘法.1795 1795年，年，年，年，1818岁时高斯发明了用圆规和直尺作正岁时高斯发明了用圆规和直尺作正岁时高斯发明了用圆规和直尺作正岁时高斯发明了用圆规和直尺作正1717边边边边形的方法，从而解决了形的方法，从而解决了形的方法，从而解
22、决了形的方法，从而解决了20002000年来悬而未解的难题年来悬而未解的难题年来悬而未解的难题年来悬而未解的难题.1799 1799年年年年,他证明了代数学的一个基本定理：实系数他证明了代数学的一个基本定理：实系数他证明了代数学的一个基本定理：实系数他证明了代数学的一个基本定理：实系数代数方程必有根，因而获得博士学位代数方程必有根，因而获得博士学位代数方程必有根，因而获得博士学位代数方程必有根，因而获得博士学位.1801 1801年年年年,出版了出版了出版了出版了算术研究算术研究算术研究算术研究一书，开创了近代数一书，开创了近代数一书，开创了近代数一书，开创了近代数论，这本书所讨论的内容成为直
23、到论，这本书所讨论的内容成为直到论，这本书所讨论的内容成为直到论，这本书所讨论的内容成为直到2020世纪数论研究的世纪数论研究的世纪数论研究的世纪数论研究的方向方向方向方向.18181818年年年年,他他他他提提提提出出出出了了了了关关关关于于于于非非非非欧欧欧欧几几几几里里里里德德德德可可可可能能能能性性性性的的的的思思思思想想想想，是非欧几何学的创始人之一是非欧几何学的创始人之一是非欧几何学的创始人之一是非欧几何学的创始人之一 ;18271827年年年年,他他他他又又又又建建建建立立立立了了了了微微微微分分分分几几几几何何何何中中中中关关关关于于于于曲曲曲曲面面面面的的的的系系系系统统统统
24、理理理理论论论论创立了微分几何创立了微分几何创立了微分几何创立了微分几何;1831 1831年，他建立了复数的代数学；年，他建立了复数的代数学；年，他建立了复数的代数学；年，他建立了复数的代数学；数学问题漫谈数学问题漫谈1515/55/55作点作点作点作点 ，使得，使得，使得，使得 ；以以以以 为圆心，为圆心，为圆心，为圆心，为半径，作为半径，作为半径，作为半径，作圆弧交圆弧交圆弧交圆弧交 轴于点轴于点轴于点轴于点 和和和和 ；分别以分别以分别以分别以 、为圆心，为圆心，为圆心，为圆心，和和和和 为半径，作圆弧交为半径，作圆弧交为半径，作圆弧交为半径，作圆弧交 轴于点轴于点轴于点轴于点 和和和
25、和 点；点；点；点；以以以以 为直径作圆，交为直径作圆，交为直径作圆，交为直径作圆，交 轴于轴于轴于轴于 ；以以以以 为圆心，为圆心，为圆心，为圆心，为半径作圆，交为半径作圆，交为半径作圆，交为半径作圆，交 轴于轴于轴于轴于 ；以以以以 为圆心，为圆心，为圆心，为圆心，为半径作圆，交为半径作圆，交为半径作圆，交为半径作圆，交 轴于轴于轴于轴于 ；过过过过 的中点作的中点作的中点作的中点作 轴的垂线，交单位圆于轴的垂线，交单位圆于轴的垂线，交单位圆于轴的垂线，交单位圆于 ；以以以以 为弦长，分割单位圆，即得到正十七边形。为弦长，分割单位圆，即得到正十七边形。为弦长，分割单位圆，即得到正十七边形。
26、为弦长，分割单位圆，即得到正十七边形。数学问题漫谈数学问题漫谈1616/55/55 印度人对世界数学最重大的贡献就是采用符号印度人对世界数学最重大的贡献就是采用符号印度人对世界数学最重大的贡献就是采用符号印度人对世界数学最重大的贡献就是采用符号“0 0、1 1、2 2、9”9”进行记数。进行记数。进行记数。进行记数。法国数学家拉普拉斯（法国数学家拉普拉斯（法国数学家拉普拉斯（法国数学家拉普拉斯（1749-18271749-1827）对此贡献的评价：）对此贡献的评价：）对此贡献的评价：）对此贡献的评价：“用很少的几个符号，表示所有的数目，使符号不用很少的几个符号，表示所有的数目，使符号不用很少的
27、几个符号，表示所有的数目，使符号不用很少的几个符号，表示所有的数目，使符号不仅具有形状上的意义，还具有数位的意义。这一思仅具有形状上的意义，还具有数位的意义。这一思仅具有形状上的意义，还具有数位的意义。这一思仅具有形状上的意义，还具有数位的意义。这一思想是如此自然，如此使人容易理解，简直无法估计想是如此自然，如此使人容易理解，简直无法估计想是如此自然，如此使人容易理解，简直无法估计想是如此自然，如此使人容易理解，简直无法估计它奇妙的程度。阿基米德和阿波罗尼是欧几里德时它奇妙的程度。阿基米德和阿波罗尼是欧几里德时它奇妙的程度。阿基米德和阿波罗尼是欧几里德时它奇妙的程度。阿基米德和阿波罗尼是欧几里
28、德时代希腊数学届最伟大且最有天才的人，但他们也没代希腊数学届最伟大且最有天才的人，但他们也没代希腊数学届最伟大且最有天才的人，但他们也没代希腊数学届最伟大且最有天才的人，但他们也没有想出用这样德方式来记数，可见要取得这一成就有想出用这样德方式来记数，可见要取得这一成就有想出用这样德方式来记数，可见要取得这一成就有想出用这样德方式来记数，可见要取得这一成就是多么不任意啊是多么不任意啊是多么不任意啊是多么不任意啊!”!”数学问题漫谈数学问题漫谈1717/55/55 正是有了数的这种正是有了数的这种正是有了数的这种正是有了数的这种“合理合理合理合理”表示，几千年来引起了表示，几千年来引起了表示，几千
29、年来引起了表示，几千年来引起了人们对数的变化规律的研究。人们对数的变化规律的研究。人们对数的变化规律的研究。人们对数的变化规律的研究。自然数可以分为以下三大类：自然数可以分为以下三大类：自然数可以分为以下三大类：自然数可以分为以下三大类：数学问题漫谈数学问题漫谈1818/55/55 欧几里德证明下定理：欧几里德证明下定理：欧几里德证明下定理：欧几里德证明下定理：定理：质数的个数是无穷的。定理：质数的个数是无穷的。定理：质数的个数是无穷的。定理：质数的个数是无穷的。如何证明？如何证明？如何证明？如何证明？证明：反证法，假设存在最大的质数，设为证明：反证法，假设存在最大的质数，设为证明：反证法，假
30、设存在最大的质数，设为证明：反证法，假设存在最大的质数，设为记所有质数的乘积为：记所有质数的乘积为：记所有质数的乘积为：记所有质数的乘积为：令令令令则有则有则有则有是质数。是质数。是质数。是质数。矛盾！矛盾！矛盾！矛盾！数学问题漫谈数学问题漫谈1919/55/55质数在自然数列的分布很奇妙，从公元前三世纪开质数在自然数列的分布很奇妙，从公元前三世纪开质数在自然数列的分布很奇妙，从公元前三世纪开质数在自然数列的分布很奇妙，从公元前三世纪开始，人们一直在研究其分布规律。始，人们一直在研究其分布规律。始，人们一直在研究其分布规律。始，人们一直在研究其分布规律。公元前三世纪古希腊数学家、哲学家埃拉托色
31、尼提公元前三世纪古希腊数学家、哲学家埃拉托色尼提公元前三世纪古希腊数学家、哲学家埃拉托色尼提公元前三世纪古希腊数学家、哲学家埃拉托色尼提出了一种叫出了一种叫出了一种叫出了一种叫“筛法筛法筛法筛法”的方法，造出了世界上第一张的方法，造出了世界上第一张的方法，造出了世界上第一张的方法，造出了世界上第一张质数表。质数表。质数表。质数表。在一框子中，将自然数按从小到大的顺序排列，然在一框子中，将自然数按从小到大的顺序排列，然在一框子中，将自然数按从小到大的顺序排列，然在一框子中，将自然数按从小到大的顺序排列，然后将合数挖掉，剩下的都是质数。后将合数挖掉，剩下的都是质数。后将合数挖掉，剩下的都是质数。后
32、将合数挖掉，剩下的都是质数。数学问题漫谈数学问题漫谈2020/55/55从表中可得到简从表中可得到简从表中可得到简从表中可得到简单规律：随着自单规律：随着自单规律：随着自单规律：随着自然数的增大，质然数的增大，质然数的增大，质然数的增大，质数的分布越来越数的分布越来越数的分布越来越数的分布越来越稀疏。稀疏。稀疏。稀疏。在给定的自然数范围内，质数占的比例在给定的自然数范围内，质数占的比例在给定的自然数范围内，质数占的比例在给定的自然数范围内，质数占的比例为多少？为多少？为多少？为多少？数学问题漫谈数学问题漫谈2121/55/55统计结果如下：统计结果如下：统计结果如下：统计结果如下：范范范范 围
33、围围围质数个数质数个数质数个数质数个数 比比比比 例例例例 误差误差误差误差十九世纪末法国数学家阿达姆和比利时数学家布十九世纪末法国数学家阿达姆和比利时数学家布十九世纪末法国数学家阿达姆和比利时数学家布十九世纪末法国数学家阿达姆和比利时数学家布散证明散证明散证明散证明数学问题漫谈数学问题漫谈2222/55/55若若若若 与与与与 均是质数，则把均是质数，则把均是质数，则把均是质数，则把 和和和和 称为孪生称为孪生称为孪生称为孪生质数。质数。质数。质数。如：如：如：如：1 1 1 1、孪生质数的分布规律是什么？、孪生质数的分布规律是什么？、孪生质数的分布规律是什么？、孪生质数的分布规律是什么？2
34、 2 2 2、共有多少对孪生质数？、共有多少对孪生质数？、共有多少对孪生质数？、共有多少对孪生质数？3 3 3 3、是否存在最大的孪生质数？、是否存在最大的孪生质数？、是否存在最大的孪生质数？、是否存在最大的孪生质数？目前所知的最大孪生质数为：目前所知的最大孪生质数为：目前所知的最大孪生质数为：目前所知的最大孪生质数为：数学问题漫谈数学问题漫谈2323/55/55 19551955年卡普耶卡年卡普耶卡年卡普耶卡年卡普耶卡(D.R.KaprekarD.R.Kaprekar)研究了对四位自然研究了对四位自然研究了对四位自然研究了对四位自然数的一种变换：数的一种变换：数的一种变换：数的一种变换：对于
35、一个任意的四位正整数对于一个任意的四位正整数对于一个任意的四位正整数对于一个任意的四位正整数K K，将它的四个数字按，将它的四个数字按，将它的四个数字按，将它的四个数字按由大到小的顺序重新排列成一个四位整数由大到小的顺序重新排列成一个四位整数由大到小的顺序重新排列成一个四位整数由大到小的顺序重新排列成一个四位整数N N，同时，同时，同时，同时按从小到大的顺序排列一个四位整数按从小到大的顺序排列一个四位整数按从小到大的顺序排列一个四位整数按从小到大的顺序排列一个四位整数MM，称为，称为，称为，称为N N的的的的反序数，然后将此两数相减，得到一个新的整数：反序数，然后将此两数相减，得到一个新的整数
36、：反序数，然后将此两数相减，得到一个新的整数：反序数，然后将此两数相减，得到一个新的整数：K K1 1N NMM对整数对整数对整数对整数K K1 1重复上述变换，得到整数重复上述变换，得到整数重复上述变换，得到整数重复上述变换，得到整数K K2 2，如此重复进，如此重复进，如此重复进，如此重复进行下去。行下去。行下去。行下去。卡普耶卡发现，只要四位数字不完全相同，最多进卡普耶卡发现，只要四位数字不完全相同，最多进卡普耶卡发现，只要四位数字不完全相同，最多进卡普耶卡发现，只要四位数字不完全相同，最多进行行行行7 7次变换，就会出现次变换，就会出现次变换，就会出现次变换，就会出现61746174。
37、数学问题漫谈数学问题漫谈2424/55/55 更一般地，从更一般地，从更一般地，从更一般地，从0 0，1 1，2 2，9 9中任取中任取中任取中任取n n个不完全相个不完全相个不完全相个不完全相同的数字组成一个整数同的数字组成一个整数同的数字组成一个整数同的数字组成一个整数K K0 0，然后从，然后从，然后从，然后从K K0 0开始不断进行开始不断进行开始不断进行开始不断进行K K变换，得到一系列整数变换，得到一系列整数变换，得到一系列整数变换，得到一系列整数K K1 1，K K2 2，K K3 3，.已知的规律如下：已知的规律如下：已知的规律如下：已知的规律如下：有什么规律？有什么规律？有什
38、么规律？有什么规律？n n2 2：形成一个循环：形成一个循环：形成一个循环：形成一个循环：2727，4545，0909，8181，6363n n3 3：495495n n5 5：发现三个循环：发现三个循环：发现三个循环：发现三个循环:(53855,59994),:(53855,59994),(62964,71973,83952,74943),(62964,71973,83952,74943),(63954,61974,82962,75933)(63954,61974,82962,75933)易证明：对于任意自然数，做易证明：对于任意自然数，做易证明：对于任意自然数，做易证明：对于任意自然数，做
39、K K变换必形成循环！变换必形成循环！变换必形成循环！变换必形成循环！为什么？循为什么？循环的个数与环的个数与长度？长度？数学问题漫谈数学问题漫谈2525/55/55“古往今来，大量的悖论促进了逻辑思想的发展古往今来，大量的悖论促进了逻辑思想的发展古往今来，大量的悖论促进了逻辑思想的发展古往今来，大量的悖论促进了逻辑思想的发展”.布尔巴基布尔巴基布尔巴基布尔巴基什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多看上去是合理的
40、，但结果却得出了矛盾。悖论在很多看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：假设情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：假设情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：假设情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：假设它为真，却可以推出它为假；若假设它为假，则可以它为真，却可以推出它为假；若假设它为假，则可以它为真，却可以推出它为假；若假设它为假，则可以它为真，却可以推出它为假；若假设它为假，则可以推出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要推出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要推出它为真。由于
41、严格性被公认为是数学的一个主要推出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识击波会更为强烈，由
42、此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。上的普遍危机感。上的普遍危机感。上的普遍危机感。数学问题漫谈数学问题漫谈2626/55/55悖论往往会直接导致悖论往往会直接导致悖论往往会直接导致悖论往往会直接导致“数学危机数学危机数学危机数学危机”的产生。按照西的产生。按照西的产生。按照西的产生。按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的数学危机。这样的数学危机。这样的数学危机。这样的数学危机。毕达哥拉斯毕达哥拉斯 数学问题漫谈数学问题漫谈272
43、7/55/55希帕索斯悖论希帕索斯悖论希帕索斯悖论希帕索斯悖论的提出与的提出与的提出与的提出与勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理的发现密切相关。的发现密切相关。的发现密切相关。的发现密切相关。勾勾勾勾股定理股定理股定理股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的
44、应用，同时也学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作早的一部天文数学著作早的一部天文数学著作早的一部天文数学著作周髀算经周髀算经周髀算经周髀算经中就已有了关于中就已有了关于中就已有了关于中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的这一定
45、理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。积割补给出它的第一种证明。积割补给出它的第一种证明。积割补给出它的第一种证明。数学问题漫谈数学问题漫谈2828/55/55在国外，对在国外，对勾股定理勾股定理最早给出证明的是古希腊的最早给出证明的是古希腊的毕达毕达哥拉斯哥拉斯。因而国外一般称之为。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”。并且
46、据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：带神秘色彩的称号：“百牛定理百牛定理”。人物介绍人物介绍人物介绍人物介绍毕达哥拉斯毕达哥拉斯毕达哥拉斯毕达哥拉斯 公元前五世纪古希腊的著公元前五世纪古希腊的著 名数学家与哲学名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题名命题“万物
47、皆数万物皆数”是该学派的哲学基石。而是该学派的哲学基石。而“一切数一切数均可表成整数或整数之比均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人掘墓人”。数学问题漫谈数学问题漫谈2929/55/55毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索希帕索斯斯考虑了一个问题：考虑了一个问题：边长为边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？的正方形其对角线长度是多少呢？希帕索
48、斯希帕索斯他发现这一长度既不能用整数，也不能用分他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个导致了数学史上第一个无理数无理数 的诞生。的诞生。无理数无理数 的出现，在当时的数学界掀起了一场巨大的出现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。数学问题漫谈数学问题漫谈3030/55/55实际上，这一伟大发现对于当时所有古希腊人的观念实际上，这一伟大发现对于当时
49、所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的确信的，完全符合常识的论断居然被小小的 的存在的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，
50、多么荒谬的事！而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称场大的风波，史称“第一次数学危机第一次数学危机”。数学问题漫谈数学问题漫谈3131/55/55二百年后，大约在公元前二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多克年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。他的成果被保存在欧索斯建立起一套