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1、计数原理和 2021/8/8 星期日1变题变题2：若完成一件事，有若完成一件事，有n 类办法，在第类办法，在第1类办法中有类办法中有m1种不同方法，种不同方法，在第在第2类中有类中有m2种不同方法，种不同方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn种不同方种不同方 法。法。每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事情共有每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事情共有 多少种不同方法？多少种不同方法？分类计数原理分类计数原理（加法原理）（加法原理）：若完成一件事，有若完成一件事，有n 类办法，在第类办法，在第1类办法类办法 中有中有m1种不同方法，在第种不同方法，在第2类
2、中有类中有m2种不同方法，种不同方法，在第，在第n类办法中类办法中 有有mn 种不同方法。每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完种不同方法。每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完 成这件事情共有成这件事情共有 N=m1+m2+mn 种不同方法。种不同方法。变题变题1：若从甲地到乙地还有若从甲地到乙地还有4班飞机可乘，此时又有多少种不同走法？班飞机可乘，此时又有多少种不同走法？引例引例1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天 中，中，火车有火车有3班班,汽车有汽车有2班。那么一天中乘坐这些交通工具，班。那么一天中乘坐这些交通工具
3、，从甲地到乙地共有多少种不同的走法从甲地到乙地共有多少种不同的走法?2021/8/8 星期日2分类计数原理分类计数原理（加法原理）（加法原理）：若完成一件事，有若完成一件事，有n 类办法，在第类办法，在第1类办法类办法 中有中有m1种不同方法，在第种不同方法，在第2类中有类中有m2种不同方法，种不同方法，在第，在第n类办法中类办法中 有有mn 种不同方法。每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完种不同方法。每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完 成这件事情共有成这件事情共有 N=m1+m2+mn 种不同方法。种不同方法。注注:1、分类计数原理中的、分类计数原理中的“完成一件事，有
4、完成一件事，有n 类办法类办法”，是对完，是对完成成 这件事的所有方法的一个分类。各类之间相互独立，都能这件事的所有方法的一个分类。各类之间相互独立，都能 完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称 加法原理。加法原理。2、分类时，首先要根据问题的特点，确定一个分类标准，然、分类时，首先要根据问题的特点，确定一个分类标准，然 后在确定的分类标准下进行分类。后在确定的分类标准下进行分类。3、完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于、完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于 不同两类的两种方法都是不同的方法。不同两类的两
5、种方法都是不同的方法。2021/8/8 星期日3引例引例 2：从甲地到乙地，先从甲地乘火车到丙地，再于次日从丙地从甲地到乙地，先从甲地乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班，那么两天中，班，那么两天中，从甲地到乙地，共有多少种不同的走法从甲地到乙地，共有多少种不同的走法?甲地丙地乙地汽车1火车3火车2火车1汽车2分步计数原理分步计数原理（乘法原理）（乘法原理）：若完成一件事，分成若完成一件事，分成n 个步骤个步骤，做第，做第1 步有步有m1 种不同方法，种不同方法，做第做第2 步有步有m2 种不同方法，种不同方法，做第，做
6、第n 步有步有mn种不同方法。种不同方法。每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事情每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事情 共有共有N=m1m2mn种不同方法。种不同方法。2021/8/8 星期日4分步计数原理分步计数原理（乘法原理）（乘法原理）：若完成一件事，分成若完成一件事，分成n 个步骤个步骤，做第，做第1 步有步有m1 种不同方法，种不同方法，做第做第2 步有步有m2 种不同方法，种不同方法，做第，做第n 步有步有mn种不同方法。种不同方法。每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事情每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事情
7、共有共有N=m1m2mn种不同方法。种不同方法。注：注：1、分步计数原理与、分步计数原理与“分步分步”有关，各个步骤相互依存，有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，2、分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准。、分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准。3、分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续、分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续 完成完成n个步骤后这件事才算完成。个步骤后这件事才算完成。2021/8/8 星期日51、从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，、从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一
8、天中，火车有火车有3班班,汽车有汽车有2班。那么一天中乘坐这些交通工具班。那么一天中乘坐这些交通工具 从甲地到乙地共有多少种不同的走法从甲地到乙地共有多少种不同的走法?2、从甲地到乙地，先从甲地乘火车到丙地，再于次日从丙地、从甲地到乙地，先从甲地乘火车到丙地，再于次日从丙地 乘汽车到乙地。一天中，火车有乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班，那么两天班，那么两天 中，中，从甲地到乙地，共有多少种不同的走法从甲地到乙地，共有多少种不同的走法?N=3+2=5N=32=6提示提示：如何正确使用这两个基本原理呢？：如何正确使用这两个基本原理呢？分类分类 一步到位一步到位 各类方法相互独
9、立各类方法相互独立 种数种数相加相加 分步分步 分步完成分步完成 各个步骤相互依存各个步骤相互依存 种数种数相乘相乘回顾两个引例：回顾两个引例：2021/8/8 星期日6分分类类计数原理（加法原理）：计数原理（加法原理）：做一件事情，完成它可以有做一件事情，完成它可以有n类类办法办法,在第在第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第在第2类办法中有类办法中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第在第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法。种不同的方法。那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法种不同的方法 分分步步计数原理（乘法原理）：计数原理（乘法原理
10、）：做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成n个个步步骤，骤，做第做第1步有步有m1种不同的方法，种不同的方法，做第做第2步有步有m2种不同的方法，种不同的方法，做第做第n步有步有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事有那么完成这件事有N=m1m2mn种不同的方法种不同的方法。2021/8/8 星期日7 例例 1、书架的第、书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2层放有层放有3本本 不同的文艺书，第不同的文艺书，第3层放有层放有2本不同的体育书。本不同的体育书。（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？
11、（2）从书架的第）从书架的第1、2、3层各取一本书，有多少种不同的取法？层各取一本书，有多少种不同的取法？解：（解：（1 1）事件：取一本书，有三类办法：事件：取一本书，有三类办法：第一类第一类 从第从第1 1层取一本计算机书，共层取一本计算机书，共4 4种不同方法种不同方法 第二类第二类 从第从第2 2层取一本文艺书，共层取一本文艺书，共3 3种不同方法种不同方法 第三类第三类 从第从第3 3层取一本体育书，共层取一本体育书，共2 2种不同方法种不同方法 由分类计数原理得由分类计数原理得 N=4+3+2=9 N=4+3+2=9种不同的方法。种不同的方法。例题解析例题解析解：（解：（2 2）事
12、件：从三层书架上各取一本书，分三步完成：）事件：从三层书架上各取一本书，分三步完成：第第1 1步步 从第从第1 1层取一本计算机书，共层取一本计算机书，共4 4种不同方法种不同方法 第第2 2步步 从第从第2 2层取一本文艺书，共层取一本文艺书，共3 3种不同方法种不同方法 第第3 3步步 从第从第3 3层取一本体育书，共层取一本体育书，共2 2种不同方法种不同方法 由分步计数原理得由分步计数原理得 N=432=24 N=432=24种不同的方法。种不同的方法。2021/8/8 星期日81、填空：（填空：（1 1）一件工作可以用）一件工作可以用2 2种方法完成，有种方法完成，有5 5人会用第一
13、种方法完成，人会用第一种方法完成，另有另有4 4人会用第二种方法完成，从中选出人会用第二种方法完成，从中选出1 1人来完成这件工人来完成这件工 作，不同的选法个数是作，不同的选法个数是 ；(2 (2）从）从A A村去村去B B村的道路有村的道路有3 3条，从条，从B B村去村去C C村的道路有村的道路有2 2条，从条，从A A 村经村经 B B村去村去C C村，不同走法的种数是村，不同走法的种数是 。（3 3）一个礼堂有）一个礼堂有4 4个门，若从一个门进，然后从一个门出，共有个门，若从一个门进，然后从一个门出，共有 种不同走法。种不同走法。（4 4）一个礼堂有）一个礼堂有4 4个门，若从一个
14、门进，然后从另一个门出，共个门，若从一个门进，然后从另一个门出，共 有有 种不同走法。种不同走法。2 2、选择：乘积、选择：乘积(a(a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4)(b)(b1 1+b+b2 2)(c)(c1 1+c+c2 2+c+c3 3)展开后的项数是（展开后的项数是（）A A、9 B9 B、11 C11 C、12 D12 D、2424 课堂练习课堂练习15+4=932=644=16D 43=122021/8/8 星期日9例例2、一个三位密码锁、一个三位密码锁,各位上数字由各位上数字由0到到9这十个数字组成这十个数字组成,问可问可 以设置多少种三位数字的密码以设置多少
15、种三位数字的密码(各位上的数字允许重复各位上的数字允许重复)？解解:按密码位数按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位从左到右依次设置第一位、第二位、第三位,分为三步完成：分为三步完成：第一步第一步,m,m1 1=10;=10;第二步第二步,m,m2 2=10;=10;第三步第三步,m,m3 3=10.=10.根据乘法原理根据乘法原理,共可以设置共可以设置 N=101010=10N=101010=103 3 种三位数字的密码。种三位数字的密码。由此可以看出由此可以看出,首位数字不为首位数字不为0 0的密码数与首位数字是的密码数与首位数字是0 0的密码数之和的密码数之和等于密码总数。等
16、于密码总数。变题变题1：首位数字是：首位数字是0的密码数有多少种？的密码数有多少种？变题变题2：首位数字不为：首位数字不为0的密码数有多少种？的密码数有多少种？首位数字是首位数字是0 0的密码数有的密码数有 N=11010=10 N=11010=102 2 种。首位数字不为首位数字不为0 0的密码数有的密码数有 N=91010=910 N=91010=9102 2 种种,变题变题3：0到到9这十个数字可组成多少个三位数？这十个数字可组成多少个三位数？引申：引申：“6+1”体育彩票要的号码共有体育彩票要的号码共有7位数字，每一数位都可以位数字，每一数位都可以 从从0到到9共共10个数字任选一个，
17、求所有可能的号码的种数。个数字任选一个，求所有可能的号码的种数。2021/8/8 星期日10 例例 1 1、书架的第、书架的第1 1层放有层放有4 4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2 2层放有层放有3 3本不同的文艺书，本不同的文艺书，第第3 3层放有层放有2 2本不同的体育书。本不同的体育书。（1 1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2 2）从书架的第）从书架的第1 1、2 2、3 3层各取一本书，有多少种不同的取法？层各取一本书，有多少种不同的取法？变题变题：从这书架上取：从这书架上取2本不同种类的书，有多少种不同取法？本不同种
18、类的书，有多少种不同取法？提示提示：对于有些较对于有些较“复杂复杂”的问题，往往不是单纯的的问题，往往不是单纯的“分类分类”、“分步分步”就可解决的，而往往将两者就可解决的，而往往将两者结合使用结合使用，一般是一般是先先“分类分类”，再在每一类中进行，再在每一类中进行“分步分步”。解：事件：取两本不同种类的书，有三类办法：解：事件：取两本不同种类的书，有三类办法：第一类第一类 取取1 1本计算机书，再取本计算机书，再取1 1本文艺书，本文艺书，第二类第二类 取取1 1本计算机书，再取本计算机书，再取1 1本体育书，本体育书，第三类第三类 取取1 1本文艺书，再取本文艺书，再取1 1本体育书，本
19、体育书，共共43 43 种不同方法种不同方法；共共42 42 种不同方法种不同方法；共共32 32 种不同方法。种不同方法。答：从书架上取答：从书架上取2 2本不同种类的书，共本不同种类的书，共2626种不同方法。种不同方法。由加法原理由加法原理N=43+42+32=26 N=43+42+32=26 种不同取法。种不同取法。2021/8/8 星期日11注意注意：在运用两个基本原理处理具体应用题时在运用两个基本原理处理具体应用题时,除要弄清是除要弄清是“分类分类”还是还是“分步分步”外外,还要搞清楚还要搞清楚“分类分类”或或“分步分步”的具体标准。的具体标准。在在 “分类分类”或或“分步分步”过
20、程中过程中,标准必须一致标准必须一致,才能保证不重、不遗才能保证不重、不遗 漏。漏。例例3 要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3名工人中选出名工人中选出2名分别上日班和晚班，名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？20D2 2、从互不相同的数学书、从互不相同的数学书8 8本，物理书本，物理书6 6本，化学书本，化学书4 4本中任取不是同学科本中任取不是同学科 的书的书2 2本，不同的取法有（本，不同的取法有（）种）种 。A A、98 B98 B、102 C102 C、104 D104 D、108108。3 3、从集合、从集合1 1，2 2，3 3和和1 1，4 4，5 5，6 6
21、中各取中各取1 1个元素作为点的坐标，个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是（则在直角坐标系中能确定不同点的个数是（）A A、12 B12 B、11 C11 C、24 D24 D、2323课堂练习课堂练习21 1、从、从5 5位同学中产生位同学中产生1 1名组长、名组长、1 1名副组长，有名副组长，有 种不同的选法。种不同的选法。C2021/8/8 星期日12课堂小结课堂小结1、本节课学习了那些主要内容？本节课学习了那些主要内容？分类计数原理和分步计数原理分类计数原理和分步计数原理。2、加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同点是什么？加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同点是
22、什么？共同点是共同点是-它们都是研究完成一件事情的方法种数；它们都是研究完成一件事情的方法种数；不同点是不同点是-它们研究完成一件事情的方式不同。它们研究完成一件事情的方式不同。分类计数原理分类计数原理是是“分类分类”完成完成,一步到位一步到位；分步计数原理分步计数原理是是“分步完成分步完成”,各个步骤各个步骤 缺一不可缺一不可,且每一步都完成了且每一步都完成了,才能完成这件事情才能完成这件事情。2021/8/8 星期日13（1）、加法原理中的加法原理中的“分类分类”要全面要全面,不能遗漏不能遗漏;但也不能重复、但也不能重复、交叉交叉;“;“类类”与与“类类”之间是并列的、互斥的、独立的之间是
23、并列的、互斥的、独立的。（2）、乘法原理中的乘法原理中的“分步分步”程序要正确。程序要正确。“步步”与与“步步”之间是之间是 连续的连续的,不间断的不间断的,缺一不可缺一不可;但也不能重复、交叉。但也不能重复、交叉。3、应用两个原理要注意的地方：应用两个原理要注意的地方：2021/8/8 星期日14两大原理妙无穷两大原理妙无穷,解题应用各不同；解题应用各不同；多思慎密最重要，多思慎密最重要，茫茫数理此中求茫茫数理此中求.2021/8/8 星期日15作业：书本作业：书本87页的页的1、2、3、42021/8/8 星期日16 如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从它的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？课堂练习课堂练习3AC1 解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法 从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类,m1=12=2 条 第二类,m2=12=2 条 第三类,m3=12=2 条根据分类计数原理,从顶点A到顶点C1最近路线共有 N=2+2+2=6 条。2021/8/8 星期日172021/8/8 星期日182021/8/8 星期日19