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1、第十六章 虚位移原理第1页，本讲稿共36页1 1、完整约束与非完整约束、完整约束与非完整约束 完整约束完整约束：如：单摆：曲面上的质点：约束方程的一般形式：约束方程中不含 ，或能够通过积分消去坐标对时间的导数。非完整约束非完整约束：约束方程中含有，且不可通过积分消除。xyOAzxyzM纯滚动的圆轮：几何约束运动约束第2页，本讲稿共36页非定常约束：非定常约束：约束方程中显含时间t 2、定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束定常约束：定常约束：约束方程中不包含时间t如：约束方程的一般形式：约束方程的一般形式：约束方程的一般形式：第3页，本讲稿共36页单面约束单面约束：在约束方程含有不等号表示的
2、约束。3、单面约束与双面约束、单面约束与双面约束双面约束双面约束：在约束方程中用严格的等号表示的约束。一般研究：定常、双面、完整约束。二、广义坐标、自由度二、广义坐标、自由度自由度：自由度：唯一确定质点系空间位置的独立参变量个数平面质点平面质点:空间质点空间质点:广义坐标：广义坐标：用以确定质点系位置的独立参变量 i=1,2,nn个质点一般地自由度为k取广义坐标：第4页，本讲稿共36页16-2 16-2 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 一、基本概念一、基本概念 虚位移：虚位移：质点系在给定瞬时为约束所容许的任何微小的位移M实位移实位移：在无限小时间间隔dt内,系统的真实运动所产生
3、的位移所谓真实运动,是指既满足约束方程又满足运动微分方程和初始条件的系统运动。因此,在任意时刻,系统的实位移是唯一的,1 1、虚位移与实位移、虚位移与实位移虚位移不唯一虚位移可以是线位移，也可以是角位移第5页，本讲稿共36页（1）静止质点可以有虚位移，但肯定没有实位移。即：实位移与力有关，而虚位移只与约束有关。（2）虚位移是约束允许的微小位移，与时间无关，实位移是真实发生的位移，可以是微小值，也可 以是有限值，而且与时间有关。2 2、虚位移与实位移的区别与联系、虚位移与实位移的区别与联系（4）在定常系统中，微小的实位移是虚位移之一，在非定常系统中，微小的实位移不再成为虚位移之一。（3）虚位移不
4、唯一，而实位移是唯一的。第6页，本讲稿共36页二、虚位移的分析方法二、虚位移的分析方法 1 1、几何法、几何法（虚速度法）自由度：k322211在同一时刻（位置），各点之间的虚位移的关系等同于各点之间的虚速度的关系。第7页，本讲稿共36页2 2、解析法、解析法(i=1,n)2 1BAabxyn个质点自由度为k取广义坐标：自由度：2取广义坐标：j1，j2第8页，本讲稿共36页16-3 16-3 虚位移原理虚位移原理 一、虚功一、虚功理想约束反力的虚功：理想约束反力的虚功：约束反力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零。(a)即约束处无虚位移，如固定端约束，铰支座等；(b)即约束力与虚位移相垂直
5、，如光滑接触面约束等；(c)即约束点上约束力的合力为零，如铰链连接；(d)即虚功之和即为零。如连接两质点的无重刚性杆。作用于质点或质点系上的力在给定虚位移上所作的功。作用于质点或质点系上的力在给定虚位移上所作的功。主动力的虚功：主动力的虚功：计算方法与力的元功计算一样。第9页，本讲稿共36页二、虚位移原理（虚功原理）二、虚位移原理（虚功原理）具具有有双双侧侧、定定常常、理理想想约约束束的的质质点点系系，在在给给定定位位置置平平衡衡的的充充要要条条件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零。解析式解析式证明：证明：（1 1）必要性）必
6、要性 命题：如质点系平衡，则上式成立。命题：如质点系平衡，则上式成立。第10页，本讲稿共36页（2 2）充分性）充分性 命题：上式成立，则质点系平衡。命题：上式成立，则质点系平衡。反证法：设上式成立，而质点系不平衡。反证法：设上式成立，而质点系不平衡。所以，质点系必定平衡。所以，质点系必定平衡。设第i个质点不平衡：第11页，本讲稿共36页例例16-1：已知已知 OA=L，求系统在图示位置平衡求系统在图示位置平衡时，力偶矩时，力偶矩M与力与力F的的关系（不计摩擦）关系（不计摩擦）ABO基本步骤：基本步骤：1.确定系统是否满足原理的应用条件确定系统是否满足原理的应用条件2.分析主动力作用点的虚位移
7、分析主动力作用点的虚位移3.求主动力的虚功之和求主动力的虚功之和 第12页，本讲稿共36页ABO解：解：第13页，本讲稿共36页例例16-2：结构及其受力如图所示，求结构及其受力如图所示，求A端的约束力偶。端的约束力偶。ABCD DAAAAFAyAAFAy第14页，本讲稿共36页解：解：给出虚位移（如图所示）给出虚位移（如图所示）ABCD D确定虚位移的关系确定虚位移的关系将固定端将固定端A变成固定铰链变成固定铰链,将约束力偶变为主动力偶将约束力偶变为主动力偶第15页，本讲稿共36页例例16-3:16-3:图示椭圆规机构图示椭圆规机构,连杆连杆A、B长为长为l,，杆重和摩擦力不计杆重和摩擦力不
8、计，求求:在图示位置平衡时主动力在图示位置平衡时主动力FA和和FB之间的关系。之间的关系。1.几何法几何法2.解析法解析法解：解：xy0 rB rA第16页，本讲稿共36页虚位移：虚位移：质点系在给定瞬时为约束所容许的任何微小的位移虚位移原理虚位移原理 具具有有双双侧侧、定定常常、理理想想约约束束的的质质点点系系，在在给给定定位位置置平平衡衡的的充充要要条条件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零。几何法：几何法：1 确定自由度数，选广义坐标。确定自由度数，选广义坐标。2 给虚位移，画虚位移图。给虚位移，画虚位移图。3 列方程。列
9、方程。4 找虚位移之间关系，解方程。找虚位移之间关系，解方程。解题步骤解题步骤:解析法：解析法：1 确定自由度数，选广义坐标。确定自由度数，选广义坐标。2 取坐标。取坐标。3 列方程。列方程。4 取相关点位置坐标，变分，解方程。取相关点位置坐标，变分，解方程。第17页，本讲稿共36页例例16-516-5:图示桁架，各图示桁架，各杆长度均为杆长度均为l。求求:FDE,FBC内力内力。10kN15kNACDEB第18页，本讲稿共36页解：解：几何法几何法:先求先求FDE,A C10kN15kNACDEB yB xD xE yE对具有转动中心的刚体，可用力对转动中心的矩所做的虚功来代替。第19页，本
10、讲稿共36页再求再求FBC rE AI EC10kN15kNACDEB xC yB第20页，本讲稿共36页例例16-616-6：拱架结构拱架结构,F1=2kN，F2=1kN，求求:支架支架D、C处反力。处反力。aBCDGFEH2a2a2aADDFDxDDFDy第21页，本讲稿共36页第22页，本讲稿共36页解：解：1.求求FDyaBCDGFEH2a2a2aA rF rE rB A D rGFDy B rC rD第23页，本讲稿共36页2.求求FDxaBCDGFEH2a2a2aA rF rE rB rG A B DFDx第24页，本讲稿共36页3.求求FCyaBCDGFEH2a2a2aAFCy
11、rF rE rB rG rc A B D第25页，本讲稿共36页16-4 16-4 广义力及以广义力表示的质点系平衡条件广义力及以广义力表示的质点系平衡条件一、广义力一、广义力令：Qj为对应于广义虚位移为对应于广义虚位移 的力，称作为广义力的力，称作为广义力 (j=1,k)解析表达式：解析表达式：j=1,k)(i=1,n ；第26页，本讲稿共36页二、以广义力表示的质点系平衡条件二、以广义力表示的质点系平衡条件 Qj=0 (j=1,k)具有双侧、定常、理想约束的质点系，在给定位置上保持平衡的具有双侧、定常、理想约束的质点系，在给定位置上保持平衡的必要与充分条件是：所有与广义坐标对应的广义力均等
12、于零。必要与充分条件是：所有与广义坐标对应的广义力均等于零。以广义力表示的质点系平衡条件以广义力表示的质点系平衡条件 1 1、解析法、解析法 2 2、几何法、几何法 取一组除 ，其余广义坐标变分均为零的虚位移，则第27页，本讲稿共36页例例16-7:16-7:已知各杆长为已知各杆长为L L，重为重为W W，求维持平衡所需力求维持平衡所需力F F 的大小的大小?解：解：不不计计摩摩擦擦自由度：1或广义力平衡条件：选为广义坐标第28页，本讲稿共36页例例16-816-8：均质杆长均为均质杆长均为l，求图示双摆平衡时的力求图示双摆平衡时的力F和力偶和力偶M。解：解：1.令令 q1=1 0,q2=2=
13、02.令令 q2=2 0,q1=1=0 1M 1 2M 2 2自由度：2，取广义坐标：j1，j2第29页，本讲稿共36页MPPF 1 2yxAB得解析法：解析法：第30页，本讲稿共36页虚位移原理：虚位移原理：MPPF 1 2yxAB第31页，本讲稿共36页16-5 16-5 势力场中质点系的平衡条件及平衡稳定性势力场中质点系的平衡条件及平衡稳定性 一一、势力场中质点系的平衡条件势力场中质点系的平衡条件势力场中质点系的平衡条件为：即第32页，本讲稿共36页二、势力场中质点系平衡稳定性二、势力场中质点系平衡稳定性 稳定平衡稳定平衡不稳不稳定平衡定平衡随遇平衡随遇平衡一个自由度时，一个自由度时，稳
14、定平衡条件稳定平衡条件：PPP第33页，本讲稿共36页例例16-916-9：图示平面缓冲机构图示平面缓冲机构,各杆的重量和摩擦不记，弹簧原长为各杆的重量和摩擦不记，弹簧原长为l，刚性系数为刚性系数为k。求求:平衡时平衡时P与与 之间关系。之间关系。解：解：lllll0ACBk yx重力势能以x轴、弹性势能以弹簧原长为为零势能2h为重物C的高度第34页，本讲稿共36页例例16-1016-10：图示平面缓冲机构图示平面缓冲机构,各杆的重量和摩擦不记，弹簧原长为各杆的重量和摩擦不记，弹簧原长为l，刚性系数为刚性系数为k。求求:稳定平衡的位置。稳定平衡的位置。解：解：lllll0ACBk yx第35页，本讲稿共36页解：xyzFRM0例例16-1116-11：利用广义力推导空间一般力系平衡力系。利用广义力推导空间一般力系平衡力系。第36页，本讲稿共36页