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1、理论力学第十六章虚理论力学第十六章虚位移原理位移原理本讲稿第一页，共四十四页约约约约 束束束束非自由质点系在空间的位置以及在运动中受到非自由质点系在空间的位置以及在运动中受到非自由质点系在空间的位置以及在运动中受到非自由质点系在空间的位置以及在运动中受到 的限制的限制的限制的限制.1.1.几何约束与运动约束几何约束与运动约束几何约束与运动约束几何约束与运动约束几何约束几何约束几何约束几何约束 在质点系中，所加的约束只能限在质点系中，所加的约束只能限在质点系中，所加的约束只能限在质点系中，所加的约束只能限 制各质点在空间的位置或质点系的制各质点在空间的位置或质点系的制各质点在空间的位置或质点系的
2、制各质点在空间的位置或质点系的位形。位形。位形。位形。16-116-1 约束约束 约束的分类约束的分类或或或或yxO OA AA A0 0l l本讲稿第二页，共四十四页C COyxv vC CC C*运动约束运动约束运动约束运动约束 在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限在质点系中，所加的约束不仅限制各质点在空间的位置，还限制它们运动的速度。制它们运动的速度。制它们运动的速度。制它们运动的速度。本讲稿第三页，共四十四页本讲稿第四页，共四十四页运动约束运动约束OyxA Ax
3、 xB By yB Bx xA Ay yA AB Bv vA A其约束方程的一般形式其约束方程的一般形式其约束方程的一般形式其约束方程的一般形式:本讲稿第五页，共四十四页2.定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束定常约束定常约束定常约束定常约束约束方程中不显含时间的约束：约束方程中不显含时间的约束：约束方程中不显含时间的约束：约束方程中不显含时间的约束：非定常约束非定常约束非定常约束非定常约束约束方程中显含时间的约束：约束方程中显含时间的约束：约束方程中显含时间的约束：约束方程中显含时间的约束：yxvO OM本讲稿第六页，共四十四页3.3.单单面约束与
4、双面约束面约束与双面约束面约束与双面约束面约束与双面约束双面约束双面约束双面约束双面约束 约束方程可以写成等式的约束。约束方程可以写成等式的约束。约束方程可以写成等式的约束。约束方程可以写成等式的约束。单面约束单面约束单面约束单面约束 约束方程不能写成等式、但是可以写成约束方程不能写成等式、但是可以写成约束方程不能写成等式、但是可以写成约束方程不能写成等式、但是可以写成 不等式的约束。不等式的约束。不等式的约束。不等式的约束。B BB ByxOyxO本讲稿第七页，共四十四页yxO单面约束还是双面约束？单面约束还是双面约束？单面约束还是双面约束？单面约束还是双面约束？约束方程？约束方程？约束方程
5、？约束方程？yxOA AA AA A0 0l lA A0 0l3.3.单单单单面约束与双面约束面约束与双面约束面约束与双面约束面约束与双面约束本讲稿第八页，共四十四页4.4.完整完整完整完整约束与非完整约束约束与非完整约束约束与非完整约束约束与非完整约束 完整约束完整约束完整约束完整约束 约束方程不包含质点速度，或者包含质点约束方程不包含质点速度，或者包含质点约束方程不包含质点速度，或者包含质点约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但约束方程是可以积分的约束。速度但约束方程是可以积分的约束。速度但约束方程是可以积分的约束。速度但约束方程是可以积分的约束。非完整约束非完整约束非完整约束非完整约
6、束 约束方程包含质点速度、且约束方程不约束方程包含质点速度、且约束方程不约束方程包含质点速度、且约束方程不约束方程包含质点速度、且约束方程不可以积分的约束。可以积分的约束。可以积分的约束。可以积分的约束。本讲稿第九页，共四十四页约束方程不可积分，所以导弹所受约束方程不可积分，所以导弹所受约束方程不可积分，所以导弹所受约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。的约束为非完整约束。的约束为非完整约束。的约束为非完整约束。圆轮所受约束为完整约束。圆轮所受约束为完整约束。圆轮所受约束为完整约束。圆轮所受约束为完整约束。OyxA Ax xB By yB Bx xA Ay yA AB Bv vA
7、AC COyxv vC CC C*本讲稿第十页，共四十四页16-2 16-2 广义坐标与自由度广义坐标与自由度y yx xO Ol lA A(x x,y y)y yx xOA A(x x1 1,y y1 1)B B(x x2 2,y y2 2)ab广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标 确定质点确定质点确定质点确定质点系位形的独立参变量。系位形的独立参变量。系位形的独立参变量。系位形的独立参变量。本讲稿第十一页，共四十四页广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标 确定质点系位形的独立参变量。确定质点系位形的独立参变量。确定质点系位形的独立参变量。确定质点系位形的独立参变量。用用用用 q q1 1，q q2
8、2，表示。表示。表示。表示。自自自自 由由由由 度度度度 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变 量的数目等于系统的自由度数。量的数目等于系统的自由度数。量的数目等于系统的自由度数。量的数目等于系统的自由度数。对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的函数形式函数形式函数形式函数形式:N=3 3n ns s 本
9、讲稿第十二页，共四十四页16-3 16-3 虚位移和理想约束虚位移和理想约束1.1.虚虚 位位 移移B BA AM 质点系在给定瞬时，为质点系在给定瞬时，为质点系在给定瞬时，为质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移约束所允许的无限小位移约束所允许的无限小位移约束所允许的无限小位移虚位移虚位移虚位移虚位移（1 1）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；）虚位移是假定约束不改变而设想的位移；（2 2）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；）虚位移不是任何随便的位移，
10、它必须为约束所允许；）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许；（3 3）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；）虚位移是一个假想的位移，它与实位移不同；（4 4）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。xyOF F本讲稿第十三页，共四十四页 虚位移与实位移的区别和联系虚位移与实位移的区别和联系虚位移与实位移的区别和联系虚位移与实位移的区别和联系（1 1）在完整定常约束下，
11、实位移是诸多虚位移中的一个；）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个；MMMM1 1d dr rd dr re er rd dr r 实位移实位移实位移实位移 r r 虚位移虚位移虚位移虚位移实位移实位移实位移实位移质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间 隔内发生的位移。隔内发生的位移。隔内发生的位移。隔内发生的位移。（2 2）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方
12、向。）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。本讲稿第十四页，共四十四页 2.虚虚虚虚 功功功功 质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功虚功虚功虚功虚功。W W=F r r 3.3.理想约束理想约束理想约束理想约束 质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把质点或质点系
13、的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为理想约束。这种约束系统称为理想约束。这种约束系统称为理想约束。这种约束系统称为理想约束。W=MM FN Ni r ri i =0 0本讲稿第十五页，共四十四页16-4 16-4 虚位移原理虚位移原理F Fi iF FN Ni im1 r ri im2miF Fi i 主动力主动力主动力主动力F FN Ni i约束反力约束反力约束反力约束反力 r ri i虚位移虚位移虚位移虚位移Fi i +F+FN Ni i=0 0F Fi i ri i+F+FNi i r ri i=0 0 F Fi i r ri i+F FNi i r ri i =
14、0 0 F Fi i r ri=0 0 FNi ri=0理想约束理想约束理想约束理想约束本讲稿第十六页，共四十四页F Fi iF FN Ni im1 r ri im2miF Fi i 主动力主动力主动力主动力F FN Ni i约束反力约束反力约束反力约束反力 r ri i虚位移虚位移虚位移虚位移 Fi i r ri i=0 0 对于具有理想约束的质点系，其平对于具有理想约束的质点系，其平对于具有理想约束的质点系，其平对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在衡条件是：作用于质点系的主动力在衡条件是：作用于质点系的主动力在衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功
15、的和等于零任何虚位移中所作的虚功的和等于零任何虚位移中所作的虚功的和等于零任何虚位移中所作的虚功的和等于零虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理16-4 16-4 虚位移原理虚位移原理本讲稿第十七页，共四十四页 F Fi i r ri i=0 0 上式称为虚位移原理的上式称为虚位移原理的上式称为虚位移原理的上式称为虚位移原理的解析表达式解析表达式解析表达式解析表达式 应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法：应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法：应用虚位移原理解题时，主要是建立虚位移间的关系，通常采用以下方法：应用虚位移原理解题时，主要是建
16、立虚位移间的关系，通常采用以下方法：（1 1）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；）通过运动学关系，直接找出虚位移间的几何关系；（2 2）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐）建立坐标系，选广义坐标，然后仿照函数求微分的方法对坐标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。标求变分，从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。标求变分，
17、从而找出虚位移（坐标变分）间的关系。本讲稿第十八页，共四十四页B BA AO OMF F例例例例 题题题题 1 1已知：已知：已知：已知：OA=rOA=r ,AB=l,AB=l,不计各杆质量不计各杆质量不计各杆质量不计各杆质量。求：求：求：求：平衡时平衡时平衡时平衡时F F与与与与M M 间的关系。间的关系。间的关系。间的关系。解：解：解：解：取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象 F Fi i r ri i=0=0 由运动学关系可知：由运动学关系可知：由运动学关系可知：由运动学关系可知：本讲稿第十九页，共四十四页CBADMM 例例例例 题题题题 2 2已知：菱形边长
18、为已知：菱形边长为已知：菱形边长为已知：菱形边长为 a a ,螺距为螺距为螺距为螺距为 h h，顶角为，顶角为，顶角为，顶角为 2 2 ，主动力偶为，主动力偶为，主动力偶为，主动力偶为 M.M.求：求：求：求：物体物体物体物体 C C 所受到的压力。所受到的压力。所受到的压力。所受到的压力。本讲稿第二十页，共四十四页CBADMM F FN N r rA A r rC C解：解：解：解：(1)(1)取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象(2)(2)建立虚位移间的关系建立虚位移间的关系建立虚位移间的关系建立虚位移间的关系本讲稿第二十一页，共四十四页xy解法二：解法二：解法
19、二：解法二：取建立图示坐标系取建立图示坐标系取建立图示坐标系取建立图示坐标系F FN NCBADMM 本讲稿第二十二页，共四十四页OABCDP PQ Q例例例例 题题题题 3 3图示操纵汽门的杠杆系统，已知图示操纵汽门的杠杆系统，已知图示操纵汽门的杠杆系统，已知图示操纵汽门的杠杆系统，已知OA/OB OA/OB=1/3=1/3，求此系统平衡时主，求此系统平衡时主，求此系统平衡时主，求此系统平衡时主动力动力动力动力P P 和和和和Q Q 间的关系。间的关系。间的关系。间的关系。本讲稿第二十三页，共四十四页OABCDP PQ Q解：解：解：解：(1)(1)取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研
20、究对象取系统为研究对象由运动学关系可知：由运动学关系可知：由运动学关系可知：由运动学关系可知：r rC C r rB B r rA A本讲稿第二十四页，共四十四页例例例例 题题题题 4 4 图示系统中除连接图示系统中除连接图示系统中除连接图示系统中除连接HH点的点的点的点的两杆长度为两杆长度为两杆长度为两杆长度为 l l 外外外外,其余各杆长其余各杆长其余各杆长其余各杆长度均为度均为度均为度均为 2 2l l,弹簧的弹性系数为弹簧的弹性系数为弹簧的弹性系数为弹簧的弹性系数为k k,当未加水平力当未加水平力当未加水平力当未加水平力 P P 时弹簧不时弹簧不时弹簧不时弹簧不受力，且受力，且受力，且
21、受力，且 =0 0 ，求平衡时水平力求平衡时水平力求平衡时水平力求平衡时水平力P P 的大小。的大小。的大小。的大小。本讲稿第二十五页，共四十四页解：解：解：解：(1)(1)建立图示坐标系建立图示坐标系建立图示坐标系建立图示坐标系(2)(2)系统的虚功方程系统的虚功方程系统的虚功方程系统的虚功方程本讲稿第二十六页，共四十四页本讲稿第二十七页，共四十四页P PMMq ql ll l2 2l lABCDP PMMq qABCDF FD D s sE E s sD D例例例例 题题题题 5 5求图示连续梁的支座反力。求图示连续梁的支座反力。求图示连续梁的支座反力。求图示连续梁的支座反力。解：解：解：
22、解：(1)(1)解除解除解除解除D D处约束，代之以反处约束，代之以反处约束，代之以反处约束，代之以反力力力力F FD D ，并将其视为主动力。，并将其视为主动力。，并将其视为主动力。，并将其视为主动力。其中其中其中其中:解得解得解得解得:本讲稿第二十八页，共四十四页P PMMq ql ll l2 2l lABCDF FB B s sE E s sC CP PMMq qABCD s sB B(2)(2)解除解除解除解除B B处约束，代之以反力处约束，代之以反力处约束，代之以反力处约束，代之以反力F FB B ，并将其视为主动力。并将其视为主动力。并将其视为主动力。并将其视为主动力。其中其中其中
23、其中:解得解得解得解得:由虚功方程，得由虚功方程，得由虚功方程，得由虚功方程，得代入虚功方程，得代入虚功方程，得代入虚功方程，得代入虚功方程，得本讲稿第二十九页，共四十四页P PMMq ql ll l2 2l lABCDF FA A s sE E s sC CP PMMq qABCD s sA A(3)(3)解除解除解除解除A A处约束，代之以反力处约束，代之以反力处约束，代之以反力处约束，代之以反力F FA A ，并将其视为主动力。，并将其视为主动力。，并将其视为主动力。，并将其视为主动力。由虚功方程，得由虚功方程，得由虚功方程，得由虚功方程，得其中其中其中其中:代入虚功方程，得代入虚功方程
24、，得代入虚功方程，得代入虚功方程，得解得解得解得解得:本讲稿第三十页，共四十四页 考察由考察由考察由考察由n n个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔原个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔原个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔原个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，有理，有理，有理，有主动力主动力主动力主动力约束力约束力约束力约束力惯性力惯性力惯性力惯性力 令系统有任意一组虚位移令系统有任意一组虚位移令系统有任意一组虚位移令系统有任意一组虚位移系统的总虚功为系统的总虚功为系统的总虚功为系统的总虚功为16-5 16-5 动力学普遍方程动力学普遍方程本讲稿第三十一页，共四
25、十四页利用理想约束条件利用理想约束条件利用理想约束条件利用理想约束条件得到得到得到得到 动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和等于零。等于零。等于零。等于零。本讲稿第三十二页，共四十四页动力学普遍方程的直角坐标形式动力学普遍方程的直角坐
26、标形式动力学普遍方程的直角坐标形式动力学普遍方程的直角坐标形式动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。适用于具有理想约束或双面约束的系统。适用于具有理想约束或双面约束的系统。适用于具有理想约束或双面约束的系统。动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。定常约束的系统。定常约束的系统。定常约束的系统。动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力
27、学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。非完整约束的系统。非完整约束的系统。非完整约束的系统。动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具既适用于具有有势力的系统，也适用于具既适用于具有有势力的系统，也适用于具既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。有无势力的系统。有无势力的系统。有无势力的系统。本讲稿第三十三页，共四十四页 动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 主
28、要应用于求解动力学第二类问题，即：已主要应用于求解动力学第二类问题，即：已主要应用于求解动力学第二类问题，即：已主要应用于求解动力学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规律。知主动力求系统的运动规律。知主动力求系统的运动规律。知主动力求系统的运动规律。应用应用应用应用 动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 求解系统运动规律时，重要的是正确分求解系统运动规律时，重要的是正确分求解系统运动规律时，重要的是正确分求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。析运动，并在系统上施加惯性力。析运动，并在系统上施加惯性力。析运动，并在系统上施加惯性力。由于由于由于由
29、于 动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 中不包含约束力，因此，不需要解除约中不包含约束力，因此，不需要解除约中不包含约束力，因此，不需要解除约中不包含约束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。束，也不需要将系统拆开。束，也不需要将系统拆开。束，也不需要将系统拆开。应用应用应用应用 动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 ，需要正确分析主动力和惯性力作用点，需要正确分析主动力和惯性力作用点，需要正确分析主动力和惯性力作用点，需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。的虚位移，并正确计算相应的虚功。的虚位移，并正确计算相应的虚功
30、。的虚位移，并正确计算相应的虚功。动力学普遍方程的应用动力学普遍方程的应用本讲稿第三十四页，共四十四页例例例例 题题题题 6 6已知：已知：已知：已知：m m ，R,fR,f ，。求：圆盘纯滚时质心的加速度。求：圆盘纯滚时质心的加速度。求：圆盘纯滚时质心的加速度。求：圆盘纯滚时质心的加速度。CmgaCF FIR IR MMICIC x x解：解：解：解：1 1、分析运动，施加惯性力、分析运动，施加惯性力、分析运动，施加惯性力、分析运动，施加惯性力 2 2、本系统有一个自由度，令其有一虚位移、本系统有一个自由度，令其有一虚位移、本系统有一个自由度，令其有一虚位移、本系统有一个自由度，令其有一虚位
31、移 x x。3 3、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程其中：其中：其中：其中：本讲稿第三十五页，共四十四页C2DC1ACB求：求：求：求：1 1、三棱柱后退的加速度、三棱柱后退的加速度、三棱柱后退的加速度、三棱柱后退的加速度a a1 1；2 2、圆轮质心、圆轮质心、圆轮质心、圆轮质心C C2 2相对于三棱加速度相对于三棱加速度相对于三棱加速度相对于三棱加速度 a ar r。例例例例 题题题题 7 7质量为质量为质量为质量为m m1 1的三棱柱的三棱柱的三棱柱的三棱柱ABCABC通过滚轮通过滚轮通过滚轮通过滚轮搁置在光滑的水平面上。质量为搁置在光滑的水
32、平面上。质量为搁置在光滑的水平面上。质量为搁置在光滑的水平面上。质量为m m2 2、半径为、半径为、半径为、半径为R R的均质圆轮沿三棱的均质圆轮沿三棱的均质圆轮沿三棱的均质圆轮沿三棱柱的斜面柱的斜面柱的斜面柱的斜面ABAB无滑动地滚下。无滑动地滚下。无滑动地滚下。无滑动地滚下。本讲稿第三十六页，共四十四页C2DC1ACB解：解：解：解：1 1、分析运动、分析运动、分析运动、分析运动三棱柱作平动，加速度为三棱柱作平动，加速度为三棱柱作平动，加速度为三棱柱作平动，加速度为 a a1 1。圆轮作平面运动，质心的牵连圆轮作平面运动，质心的牵连圆轮作平面运动，质心的牵连圆轮作平面运动，质心的牵连加速度
33、为加速度为加速度为加速度为a ae e=a a1 1 ；质心的相对加质心的相对加质心的相对加质心的相对加速度为速度为速度为速度为a ar r；圆轮的角加速度为圆轮的角加速度为圆轮的角加速度为圆轮的角加速度为 2 2。a a1 1a ae ea ar r 2 2本讲稿第三十七页，共四十四页C2DC1ACBa a1 1a ae ea ar r 2 22 2、施加惯性力、施加惯性力、施加惯性力、施加惯性力F FI 2 eI 2 eF FI 2 rI 2 rMMI2I2F FI1I1m m1 1g gm m2 2 g g3 3、确定虚位移、确定虚位移、确定虚位移、确定虚位移 考察三棱柱和圆盘组成的考察
34、三棱柱和圆盘组成的考察三棱柱和圆盘组成的考察三棱柱和圆盘组成的系统，系统具有两个自由度。系统，系统具有两个自由度。系统，系统具有两个自由度。系统，系统具有两个自由度。第一组第一组第一组第一组第二组第二组第二组第二组 二自由度系统具有两组虚二自由度系统具有两组虚二自由度系统具有两组虚二自由度系统具有两组虚位移：位移：位移：位移：x x,x x 本讲稿第三十八页，共四十四页C2DC1ACBF FI 2 eI 2 eF FI 2 rI 2 rMMI2I2F FI1I1m m1 1g gm m2 2 g g x x 4 4、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程、应用动力学普遍方程
35、 令令令令本讲稿第三十九页，共四十四页C2DC1ACBF FI 2 eI 2 eF FI 2 rI 2 rMMI2I2F FI1I1m m1 1g gm m2 2 g g x x 令令令令本讲稿第四十页，共四十四页C2DC1ACBF FI 2 eI 2 eF FI 2 rI 2 rMMI2I2F FI1I1m m1 1g gm m2 2 g g x x 5 5、求解联立方程、求解联立方程、求解联立方程、求解联立方程本讲稿第四十一页，共四十四页 结论与讨论结论与讨论1.1.虚虚 位位 移移 质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移质点系在给定瞬时，为约
36、束所允许的无限小位移质点系在给定瞬时，为约束所允许的无限小位移虚位移虚位移虚位移虚位移 作用在质点上的力在虚位移上所做的功作用在质点上的力在虚位移上所做的功作用在质点上的力在虚位移上所做的功作用在质点上的力在虚位移上所做的功虚功虚功虚功虚功 2.2.理想约束理想约束理想约束理想约束 质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这质点或质点系的约束反力在虚位移上所作的虚功等于零，我们把这种约束系统称为种约束系统称为种约束系统称为种约束系统称为 理想约束。理想约束。理想约
37、束。理想约束。广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标 确定质点系位形的独立参变量。确定质点系位形的独立参变量。确定质点系位形的独立参变量。确定质点系位形的独立参变量。自自自自 由由由由 度度度度 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参 变量的数目等于系统的自由度数。变量的数目等于系统的自由度数。变量的数目等于系统的自由度数。变量的数目等于系统的自由度数。本讲稿第四十二页，共四十四页 F Fi r ri i=0 具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在具有理想约束
38、的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零任何虚位移中所作的虚功的和等于零任何虚位移中所作的虚功的和等于零任何虚位移中所作的虚功的和等于零虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理3.3.虚位移原理虚位移原理虚位移原理虚位移原理 4.4.动力学普遍方程动力学普遍方程 任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和等于零。系统的任意虚位移上的元功之和等于零。系统的任意虚位移上的元功之和等于零。系统的任意虚位移上的元功之和等于零。本讲稿第四十三页，共四十四页本讲稿第四十四页，共四十四页